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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:17 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Dante19 |
| Aufgabe | Gegeben:
[mm] i:(1,2,2)+\lambda(0,1,0)
[/mm]
Frage: In welchem Punkt der Geraden wird der minimale Abstand zum Ursprung angenommen ? |
Ich glaube ich muss die Geleichung gleichsetzen und für den Ursprung (0,0,0) verwenden bin mir aber nicht sicher, bitte um Hilfe
Das würde dan wie folgt aussehen
0=1
[mm] 0=2+\lambda
[/mm]
0=2
ich weiß nicht genau ob das stimmt, deshalb hoffe ich bald auf eine Antwort
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Wredi |
> Gegeben:
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> [mm]i:(1,2,2)+\lambda(0,1,0)[/mm]
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> Frage: In welchem Punkt der Geraden wird der minimale
> Abstand zum Ursprung angenommen ?
> Ich glaube ich muss die Geleichung gleichsetzen und für
> den Ursprung (0,0,0) verwenden bin mir aber nicht sicher,
> bitte um Hilfe
>
> Das würde dan wie folgt aussehen
> 0=1
> [mm]0=2+\lambda[/mm]
> 0=2
>
> ich weiß nicht genau ob das stimmt, deshalb hoffe ich bald
> auf eine Antwort
wie du siehst kann das nicht stimmen, da 0 nicht 1 und auch nicht 2 ist.
eine bessere Variante ist den abstand der Gerade und dem Ursprung zu bestimmen.
nun, wie macht man das:
1. bestimmung der Geradengleichung
2. Konstruktion einer Hilfsebene
- Ebene wird in der Normalform gebildet
- Normalvektor ist der Richtungsvektor der Geraden
- Ortsvektor wird die gesamte gerade, da du nicht weißt, welcher punkt den geringsten abstand hat.
3. den Ursprung in die Ebenengleichung einsetzen
4. Lotfußpunkt auf der Gerade ermitteln.
5. Abstand zwischen Ursprung und Lotfußpunkt ausrechnen.
MfG Wredi
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> > Gegeben:
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> > [mm]i:(1,2,2)+\lambda(0,1,0)[/mm]
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> > Frage: In welchem Punkt der Geraden wird der minimale
> > Abstand zum Ursprung angenommen ?
>
> eine bessere Variante ist den abstand der Gerade und dem
> Ursprung zu bestimmen.
>
> nun, wie macht man das:
> 1. bestimmung der Geradengleichung
> 2. Konstruktion einer Hilfsebene
> - Ebene wird in der Normalform gebildet
> - Normalvektor ist der Richtungsvektor der Geraden
> - Ortsvektor wird die gesamte gerade, da du nicht weißt,
> welcher punkt den geringsten abstand hat.
> 3. den Ursprung in die Ebenengleichung einsetzen
> 4. Lotfußpunkt auf der Gerade ermitteln.
> 5. Abstand zwischen Ursprung und Lotfußpunkt ausrechnen.
Hallo,
die Grundidee, mit einer zur Geraden senkrechten Ebene zu arbeiten, ist auf jeden Fall gut.
Aber Deine Gebrauchsanweisung finde ich etwas umständlich/ leicht wirr.
Man würde es doch eher so machen:
Die Gleichung der Ebene aufstellen, welche senkrecht zur Geraden ist und durch den Ursprung geht.
Den Schnittpunkt S dieser Ebene mit der Geraden berechnen.
Abstand von S zum Ursprung berechnen.
Gruß v. Angela
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> Gegeben:
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> [mm]i:(1,2,2)+\lambda(0,1,0)[/mm]
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> Frage: In welchem Punkt der Geraden wird der minimale
> Abstand zum Ursprung angenommen ?
Hallo,
ich möchte Dir noch zwei weitere Möglichkeiten vorstellen, wie Du an den Abstand kommen kannst.
Es wäre gut, wenn Du mindestens eine der drei Möglichkeiten nicht nur umsetzen, sondern auch verstehen könntest.
Was man versteht, kann man sich nämlich besser merken.
1. Der Abstand d eines Geradenpunktes zum Ursprung beträgt in Abhängigkeit von [mm] \lambda
[/mm]
[mm] d(\lambda)=\wurzel{1^2+(2+\lambda)^2+2^2}.
[/mm]
Du kannst jetzt mit methoden, die Du in der Analysis gelernt hast, ausrechnen, für welches [mm] \lambda [/mm] der Abstand d minimal wird, und wie groß er dann ist.
Mit der Erkenntnis, daß [mm] d(\lambda) [/mm] genau dann minimal ist, wenn [mm] D(\lambda)=1^2+(2+\lambda)^2+2^2 [/mm] minimal ist, kannst Du Dir die Rechnung vereinfachen. (Minimum von D bestimmen.)
2. Der Punkt [mm] P_{\lambda}(1|2+\lambda|2) [/mm] der Geraden, für den der Abstand zum Ursprung minimal ist, hat die Eigenschaft, daß der Verbindungsvektor zwischen dem Ursprung und [mm] P_{\lambda} [/mm] senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden steht.
Dies führt Dich auf eine Gleichung, mit der Du diesen Punkt bestimmen kannst, anschließend dann seinen Abstand zum Ursprung.
Gruß v. Angela
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