Vektorfeld < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 15:18 Do 23.06.2005 | | Autor: | DeusRa |
Hey,
ich habe folgende Aufgabe bekommen:
Seien [mm] U \subset \IR[sup]n[/sup][/mm] offen
und [mm]h[sub]1[/sub],h[sub]2[/sub],...,h[sub]n[/sub]:U\to \IR[sup]n[/sup][/mm] differenzierbare Funktionen.
Dann heißt [mm]h = (h[sub]1[/sub],h[sub]2[/sub],...,h[sub]n[/sub]):U\to \IR[sup]n[/sup] ein [/mm] Vektorfeld.
Definiere eine Abbildung
[mm]T[sub]h[/sub]:C[sup]\infty[/sup](U,\IR)\to C[sup]\infty[/sup](U,\IR)[/mm]
durch
[mm](T[sub]h[/sub]f)(x)= \summe_{i=1}^{n}h[sub]i[/sub](x) \bruch{df}{dx[sub]i[/sub]}(x)[/mm]
(kurz:[mm]T[sub]h[/sub]f=h*\bruch{df}{dx}[/mm]).
Beweise:
(i) [mm]T[sub]h[/sub][/mm] ist eine lineare Abbildung mit der "Derivations-Eigenschaft"
[mm]T[sub]h[/sub](fg) = (T[sub]h[/sub]f)\circ g + f\circ(T[sub]h[/sub]g)[/mm]
für alle [mm]f,g \in C[sup]\infty[/sup](U,\IR)[/mm].
(ii) Für Vektorfelder [mm]h = (h[sub]1[/sub],h[sub]2[/sub],...,h[sub]n[/sub])[/mm] und [mm]k = (k[sub]1[/sub],k[sub]2[/sub],...,k[sub]n[/sub])[/mm] ist der Kommutator
[mm](T[sub]h[/sub],T[sub]k[/sub]):=T[sub]h[/sub]T[sub]k[/sub]-T[sub]k[/sub]T[sub]h[/sub][/mm]
wieder durch ein Vektorfeld gegeben.
----------------------------------------------------------------
So das war bisher die Aufgabe.........da wir in der Vorlesung noch keine Vektorfelder hatten, bin ich mit dieser Aufgabe total überfordert.
Kann mir da jemand weiterhelfen ???
Mein Ansatz ist nämlich folgender:
Zu (i):
Da ich diese Gleichung irgendwie beweisen muss,
habe ich ma so angefangen:
[mm](T[sub]h[/sub])(fg)(x)= \summe_{i=1}^{n}h[sub]i[/sub](x) \bruch{d(fg)}{dx[sub]i[/sub]}(x)
= \summe_{i=1}^{n}h[sub]i[/sub](x) \bruch{df*dg}{dx[sub]i[/sub]}(x) [/mm]
Hier bin ich mir jedoch unsicher, ob die Linearität [mm]d(fg)=df*dg[/mm] gilt.
[mm]=\summe_{i=1}^{n}h[sub]i[/sub](x)\bruch{df}{dx[sub]i[/sub]}*dg(x) [/mm]
Kann man hier das dg(x) so rausziehen ???
Und da dg(x) nicht von i abhängt, würde ich es rausziehen
[mm]=dg(x)*\summe_{i=1}^{n}h[sub]i[/sub](x)\bruch{df}{dx[sub]i[/sub]}
\Rightarrow g*(T[sub]h[/sub]f)[/mm]
Aber ich komme einfach nicht auf das was rauskommen soll.
Ich bin mir sicher, dass ich fehlerhaft gerechnet habe, deshalb brauche ich Hilfe.
Und (ii) ist ein bisschen blöd.
____________________________________________
HELP, I need somebody,
HELP, not just anybody,
H E L P
|
|
| |
|
Hallo,
du hast geschrieben:
...
$ [mm] (T_{h})(fg)(x)= \summe_{i=1}^{n}h_{i}(x) \bruch{d(fg)}{dx_{i}}(x) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}h_{i}(x) \bruch{df\cdot{}dg}{dx_{i}}(x) [/mm] $
Hier bin ich mir jedoch unsicher, ob die Linearität $ [mm] d(fg)=df\cdot{}dg [/mm] $ gilt.
----------------------------------------------------------------------------------------------
Wir wissen, dass das Differential ein linearer Operator ist, d.h. für f,g: U [mm] \to \IR^n, \lambda [/mm] , [mm] \mu \in \IR [/mm] gilt: [mm] d(\lambda [/mm] f + [mm] \mu [/mm] g) = [mm] \lambda [/mm] d(f) + [mm] \mu [/mm] d(g).
Ausserdem gilt die Pruduktregel der Differentiation: d(f [mm] \cdot [/mm] g) = d(f) [mm] \cdot [/mm] g + d(g) [mm] \cdot [/mm] f.
Setze das alles in [mm] (T_{h})(\lambda [/mm] f + [mm] \mu [/mm] g)(x) = ... = [mm] \lambda (T_{h}f)(x) [/mm] + [mm] \mu(T_{h}g)(x) [/mm] (beweisen!) und [mm] T_{h}(0) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Linearität.
Derivations-Eigenschaft beweist man mit Hilfe von Produktregel.
Gruss,
logarithmus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Sa 25.06.2005 | | Autor: | matux |
Hallo DeusRa!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem vollständig in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
|
|
|
|
