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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Vektorfeld
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Vektorfeld: Aufagbe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:52 Di 21.06.2011
Autor: mathestudent111

Aufgabe
Betrachten Sie das Vektorfeld v : D [mm] \subset \IR^3 \to \IR^3. [/mm] f stetig differenzierbar.

D = [mm] \{(x,y,z) \in \IR^3 | \wurzel{x^2+y^2} \not= 0 } [/mm]

v(x,y,z) = [mm] \bruch{f(p)}{p}\vektor{-y \\ x \\0} [/mm]

p = [mm] \wurzel{x^2+y^2} \not= [/mm] 0

Bereche div v und rot v.

Hallo Leute,

ich bin zurzeit bei dieser Aufgabe und weiß nicht mehr weiter.

Dabei soll die Divergenz und Rotation ausgerechnet werden.

Divergenz ist ja die Addition der Diagonale der Jakobi-matrix und Rotation das Kreuzprodukt der JM. Soweit bin ich schon.

Es ist eigentlich auch nicht so schwer, aber mich stört dass [mm] \bruch{f(p)}{p}. [/mm] Was ist denn f(p) ????

Vielen Dank dann für eure Hilfe!

        
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Vektorfeld: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:09 Di 21.06.2011
Autor: chrisno

$f(p)$ ist irgendeine Funktion. Wenn Du sie ableiten musst, dann schreibst Du als Ergebnis $f'(p)$ hin.

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Vektorfeld: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:28 Di 21.06.2011
Autor: mathestudent111

Achso danke.

Ich hab jetzt die Divergenz ausgerechnet. Ist das korrekt?


div v = -y [mm] ((\bruch{f(p)}{p})') [/mm] + x [mm] ((\bruch{f(p)}{p})') [/mm] + 0

Dabei leite ich -y [mm] ((\bruch{f(p)}{p})') [/mm] nach x ab und
x [mm] ((\bruch{f(p)}{p})') [/mm] nach y.


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Vektorfeld: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:45 Di 21.06.2011
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Prinzipiell meinst du das richtige. Allerdings siehst du selbst, daß du ohne erklärende Worte nicht auskommst.

Bleib daher besser erstmal bei

[mm] $\partial_y\left(x *\bruch{f(p)}{p}\right) [/mm] $

Wenn du das weiter ausrechnest, kommst du ja zu [mm] $\partial_yf(p)$ [/mm] , und das sollst du als [mm] $f'(p)*\partial_yp$ [/mm] schreiben. (Denk dran, p ist eine Funktion von x und y)




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Vektorfeld: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:50 Di 21.06.2011
Autor: mathestudent111

Okay. Das habe ich jetzt fertig gemacht. Danke.

Hab noch die Rotation ausgerechnet, aber bin mir nicht sicher.

rot v = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ \partial_x\left(x \bruch{f(p)}{p}\right) - \partial_y\left(-y \bruch{f(p)}{p}\right)} [/mm]

Stimmt das???

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Vektorfeld: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:08 Di 21.06.2011
Autor: MathePower

Hallo mathestudent111,


> Okay. Das habe ich jetzt fertig gemacht. Danke.
>  
> Hab noch die Rotation ausgerechnet, aber bin mir nicht
> sicher.
>  
> rot v = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ \partial_x\left(x \bruch{f(p)}{p}\right) - \partial_y\left(-y \bruch{f(p)}{p}\right)}[/mm]
>  
> Stimmt das???


Ja, das stimmt. [ok]


Gruss
MathePower

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Vektorfeld: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:10 Di 21.06.2011
Autor: mathestudent111

Danke ;)

Bezug
                                        
Bezug
Vektorfeld: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:50 Di 21.06.2011
Autor: chrisno

Nun ist die Frage, ob Du nicht die Ableitungen noch ein wenig weiter ausrechnen kannst. $p = [mm] \sqrt{x^2 + y^2}$ [/mm]

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