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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:57 Do 21.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
| Aufgabe | Gegeben ist das Vektorfeld [mm]\vec{F}(x,y,z)=(\alpha*x*y*sin(z), x^2*sin(z)+z^2,x^2*y*cos(z) + 2*y*z-sin(z))^t, (x,y,z)^t \in \IR^3[/mm] mit einer reelen Konstante [mm] \alpha.
[/mm]
(a) Berechnen Sie [mm]rot\vec{F}(x,y,z) und vec{F}div(x,y,z)[/mm]
(b) Für welches [mm] \alpha [/mm] ist [mm]\vec{F}(x,y,z)[/mm] konservativ ?
(c) Bestimmen Sie ein Potential [mm]\phi(x,y,z) zu \vec{F}(x,y,z), falls \vec{F} konservativ ist.[/mm]
(d)Berechnen Sie die Kurvenintegrale [mm]\integral_{K}^{}{\vec{F}*d\vec{r}} für \alpha=0 und für \alpha=2[/mm] wobei K die geradlinige Verbindung der Punkte A(1;1;0) und E=(1;1;1) ist. |
Hallo,
habe einige Fragen, unter anderem zum Verständnis zu obiger Aufgabe. Müssen ja nicht alle Fragen auf einmal bearbeitet werden  Erstmal meine Ansätze und Lösungen:
Teilaufgabe (a)
[mm]rot\vec{F}=\vektor{\bruch{d}{dy}F_z-\bruch{d}{dz}F_y \\ \bruch{d}{dz}F_x-\bruch{d}{dx}F_z \\ \bruch{d}{dx}F_y-\bruch{d}{dy}F_x}[/mm]
[mm]rot\vec{F}=\vektor{x^2cosz+2z- (x^2cos(z)+2z) \\ \alpha*x*y*cos(z) - (2x*y*cos(z)) \\ 2x*sin(z) - (\alpha*x*sin(x))}[/mm]
[mm]rot\vec{F}=\vektor{0 \\ cos(z)*y*x(\alpha-2) \\ x(2sin(z)-\alpha*sin(x))}[/mm]
[mm]div\vec{F}=\bruch{d}{dx}F_x+\bruch{d}{dy}F_y+\bruch{d}{dz}F_z[/mm]
[mm]div\vec{F}=\bruch{d}{dx}(\alpha*x*y*sin(z))+\bruch{d}{dy}(x^2*sin(z)+z^2)+\bruch{d}{dz}(x^2*y*cos(z) + 2*y*z-sin(z))[/mm]
[mm]div\vec{F}=\alpha*y*sin(z)+0+(x^2*y*cos(z) + y-cos(z)[/mm]
[mm]div\vec{F}=\alpha*y*sin(z)+y-cos(z)[/mm]
Gut, ich habe es ausgerechnet- aber was ist Differgenz und Rotation des Vektors eigentlich? Wie kann ich mir das bildlich vorstellen? Bzw. gibt es ein Programm, welches mir das in 3d zeichnen kann?
Teilaufgabe (b)
Meine Papula Formelsammlung sagt, dass ein Vektorfeld dann konservativ ist, wenn ich mich von einem Punkt 1 zu Punkt 2 im Feld bewegen kann und der Weg quasi egal ist- es zählt nur der Abstand. Das wäre ja dann wie das Gravitationsfeld oder das E-Feld. Und wenn es nicht konservativ ist, wäre es dann z.B. ein Magnetfeld, ist meine Feststellung so richtig ?
Aufjedenfall habe ich 5 Bedingungen im Papula für Konservativität zur Verfügung. Ich habe davon folgenden Ansatz gewählt, , da ich rot() ja schon ausgerechnet ha:
[mm]rot\vec{F}=\vec{0}[/mm]
[mm]rot\vec{F}=\vektor{0 \\ cos(z)*y*x(\alpha-2) \\ x(2sin(z)-\alpha*sin(x))}[/mm]
Daraus kann ich ablesen, dass [mm]\alpha=2[/mm] sein muss, damit das Vektorfeld konservativ ist.
Teilaufgabe (c)
Wie berechne ich überhaupt das Potenzial? In meiner Formelsammlung steht nichts über das Potenzial, gibt es dafür noch einen anderen Ausdruck, damit ich es in der Formelsammlung finden kann? In der Teilaufgabe heißt es ja "falls das Vektorfeld konservativ ist", d.h. ich verwende hier [mm]\alpha=2[/mm] ?
Teilaufgabe (d)
So, in meiner Formelsammlung steht zu Kurvenintegralen folgendes:
[mm]\integral_{C}^{}{\vec{F}*\vec{dr}}=\integral_{t_1}{t_2}{\vec{F}*\vec{r}dt}[/mm] (Über dem Vektor r soll noch ein Punkt sein)
So jetzt bin ich mit meinem Latein etwas am Ende. Was bedeutet der Punkt über dem Vektor r? Wie komme ich auf die Raumkurve (bzw. Gerade) C, die ja durch die beiden Punkte A und E begrenzt ist? Der Tangentenvektor ist dann C abgeleitet richtig? Die Integrationsgrenzen t1 und t2, wie ermittele ich die? Ich meine, das müssten ja der Anfangs und der Endpunkt sein, aber wie mache ich aus dem Vektor eine Zahl?
Und vorallem, was integriere ich da überhaupt ? Die Fläche unter der Raumkurve, aber in welche Richtung? Verstehe da momentan nur Bahnhof.
Lieben Gruß,
Dirk
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 25.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:40 Mo 14.07.2008 | | Autor: | eumel |
hi ^^
mit dem potential bin ich mir gerade selbst nicht unsicher, kann ich nomma nachschauen, bzw ersma das hier schicken: http://de.wikipedia.org/wiki/Potential
aber zu den anderen fragen:
- F ist konservativ <=> rot(F)=0
- der punkt über dem r bedeutet die erste ableitung; 2 punkte demnach die 2. ableitung; physik: r : "strecke", r punkt : "geschwindigkeitsvektor"; r 2punkt: beschleunigungsvektor
- zum thema rotation: http://de.wikipedia.org/wiki/Rotation_(Mathematik)
wenn ihr die rotation nur in der mathe gemacht habt und euer prof nix dazu gesagt hat, schade ^^ ich studier noch physik, da wurd uns das schön eingetrichtert im 1. sem
- zu d:
was meinst du ist denn [mm] d\overrightarrow{r}? [/mm] die integrale sind im prinzip über das skalarprodukt von den jeweiligen vektoren und darüber wird halt, wenn man sich das alles ausmultipliziert hat, integriert.
lg
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