Vektorfeld / Gradient < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Mo 15.12.2008 | | Autor: | dunno |
| Aufgabe | | Für welche a>0 ist das Vektorfeld [mm] \vec{v} [/mm] : (x,y,z,) [mm] \mapsto (ln(1+x^{2}) [/mm] + [mm] ay^{2}, [/mm] xy + [mm] y^{2}, z^{3}) [/mm] von der Form [mm] \vec{v} [/mm] = grad(f) (für eine gewisse Funktion f, die nicht bestimmt werden muss)? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wenn ich ja den Von f bilde, dann leite ich den ersten Term nach x ab, den zweiten nach y etc.
da in [mm] ln(1+x^{2}) [/mm] + [mm] ay^{2} [/mm] nur ein y habe muss ja in f ein xy gewesen sein.
Ist somit a=1? Oder mache ich mir da das Leben ein bisschen zu einfach?
Wäre sehr froh um eine Antwort. Danke schon im voraus!
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Hallo dunno,
> Für welche a>0 ist das Vektorfeld [mm]\vec{v}[/mm] : (x,y,z,)
> [mm]\mapsto (ln(1+x^{2})[/mm] + [mm]ay^{2},[/mm] xy + [mm]y^{2}, z^{3})[/mm] von der
> Form [mm]\vec{v}[/mm] = grad(f) (für eine gewisse Funktion f, die
> nicht bestimmt werden muss)?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Wenn ich ja den Von f bilde, dann leite ich den ersten Term
> nach x ab, den zweiten nach y etc.
>
> da in [mm]ln(1+x^{2})[/mm] + [mm]ay^{2}[/mm] nur ein y habe muss ja in f ein
> xy gewesen sein.
> Ist somit a=1? Oder mache ich mir da das Leben ein bisschen
> zu einfach?
Ja, das ist wohl etwas zu einfach.
Wende hier doch den ![[]](/images/popup.gif) Satz von Schwarz an.
Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f muß gelten:
[mm]\left(f_{x}\right)_{y}=\left(f_{y}\right)_{x}[/mm]
[mm]\left(f_{x}\right)_{z}=\left(f_{z}\right)_{x}[/mm]
[mm]\left(f_{y}\right)_{z}=\left(f_{z}\right)_{y}[/mm]
,wobei
[mm]\pmat{f_{x} \\ f_{y} \\ f_{z} } = \pmat{\ln\left(1+x^{2}\right) + ay^{2} \\ xy+y^{2} \\ z^{3}}[/mm]
Mit Hilfe der obigen Gleichungen erhältst Du eine Bedingung für das "a".
>
> Wäre sehr froh um eine Antwort. Danke schon im voraus!
Gruß
MathePower
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