Vektorfeld mit LaPlace-Operato < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Fr 29.08.2008 | | Autor: | Kulli1 |
| Aufgabe | Für eine Funktion h : [mm] [1,\infty) \to \IR [/mm] ist v : [mm] \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] gegeben durch
[mm] v(x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] = [mm] \pmat{ v_{1}(x_{1},x_{2},x_{3}) \\ v_{2}(x_{1},x_{2},x_{3}) \\ v_{3}(x_{1},x_{2},x_{3}) } [/mm] = [mm] h(x_{1}+x_{2}+x_{3}) \pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} } [/mm] .
a) Berechnen Sie [mm] \Delta v_{1}, \Delta v_{2},\ [/mm] Delta [mm] v_{3}.
[/mm]
b) Bestimmen Sie h mit h(1) = 1 und h'(1) = 1, so dass das Vektorfeld v die Bedingung
[mm] \Delta v_{1} [/mm] + [mm] \Delta v_{2} [/mm] + [mm] \Delta v_{3} [/mm] = 0
erfüllt.
Hinweis: Machen Sie die Substitution u = [mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}. [/mm] |
Hallo,
ich habe leider Probleme den Aufgabenteil b) zu lösen und bitte daher um Hilfe
Den Aufgaben teil a) habe ich so gelöst, dass ich die Funktion v 2mal abgeleitet habe, ich habe dabei die Produktregel beachtet
Ich erhalte
[mm] \Delta [/mm] v = div(div(v)) = [mm] \bruch{\partial^{2} h(x_{1}+x_{2}+x_{3})}{\partial x_{i}^{2}} x_{i} [/mm] + 2 [mm] \bruch{\partial h(x_{1}+x_{2}+x_{3})}{\partial x_{i}}
[/mm]
Beim Aufgabenteil b) fehlt mir leider jeglicher Ansatz : /
Danke im Vorraus !
|
|
| |
|
Hallo Kulli1,
> Für eine Funktion h : [mm][1,\infty) \to \IR[/mm] ist v : [mm]\IR^{3} \to \IR^{3}[/mm]
> gegeben durch
>
> [mm]v(x_{1},x_{2},x_{3})[/mm] = [mm]\pmat{ v_{1}(x_{1},x_{2},x_{3}) \\ v_{2}(x_{1},x_{2},x_{3}) \\ v_{3}(x_{1},x_{2},x_{3}) }[/mm]
> = [mm]h(x_{1}+x_{2}+x_{3}) \pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }[/mm] .
>
> a) Berechnen Sie [mm]\Delta v_{1}, \Delta v_{2},\[/mm] Delta [mm]v_{3}.[/mm]
>
> b) Bestimmen Sie h mit h(1) = 1 und h'(1) = 1, so dass das
> Vektorfeld v die Bedingung
>
> [mm]\Delta v_{1}[/mm] + [mm]\Delta v_{2}[/mm] + [mm]\Delta v_{3}[/mm] = 0
>
> erfüllt.
>
> Hinweis: Machen Sie die Substitution u =
> [mm]x_{1}+x_{2}+x_{3}.[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe leider Probleme den Aufgabenteil b) zu lösen und
> bitte daher um Hilfe
>
> Den Aufgaben teil a) habe ich so gelöst, dass ich die
> Funktion v 2mal abgeleitet habe, ich habe dabei die
> Produktregel beachtet
>
> Ich erhalte
>
> [mm]\Delta[/mm] v = div(div(v)) = [mm]\bruch{\partial^{2} h(x_{1}+x_{2}+x_{3})}{\partial x_{i}^{2}} x_{i}[/mm]
> + 2 [mm]\bruch{\partial h(x_{1}+x_{2}+x_{3})}{\partial x_{i}}[/mm]
>
> Beim Aufgabenteil b) fehlt mir leider jeglicher Ansatz : /
Da hilft Dir die Substitution schon weiter.
Berechne also die ersten und zweiten partiellen Ableitungen von [mm]h\left(u\left(x_{1}, \ x_{2}, \ x_{3}\right)\right)[/mm]
[mm]\bruch{\partial \ h}{\partial x_{i}}=\bruch{\partial \ h}{\partial u}*\bruch{\partial u}{\partial x_{i}}[/mm]
Nun versuche Dich an der zweiten Ableitung;
[mm]\bruch{\partial^{2} \ h}{\partial x_{i}^{2}}= \ \dots[/mm]
Setze diese partiellen Ableitungen dann in Deine gewonnene Lösung aus a) ein
und löse die entstehende DGL.
>
> Danke im Vorraus !
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Sa 30.08.2008 | | Autor: | Kulli1 |
Danke, das hat mir auf jeden Fall schon mal weiter geholfen !
Bin mir noch etwas unsicher mit der zweifachen partiellen Ableitung. Ich reche:
[mm] \bruch{\partial h(u)}{\partial u^{2}} \bruch{\partial u^{2}}{\partial x_{i}^{2}} x_{i}
[/mm]
Gehe ich jetzt Recht in der Annahme, dass ich von u² nur die x² therme ableite, also das Ergebniss wieder 1 ist ? - Weil ja kein [mm] \partial^{2} [/mm] da steht... Oder muss ich u² zweimal nach x ableiten ?
Und kann ich das [mm] x_{i} [/mm] einfach ohne Substituion hintendran stehen lassen ?
|
|
|
| |
|
Hallo Kulli1,
> Danke, das hat mir auf jeden Fall schon mal weiter geholfen
> !
>
> Bin mir noch etwas unsicher mit der zweifachen partiellen
> Ableitung. Ich reche:
>
> [mm]\bruch{\partial h(u)}{\partial u^{2}} \bruch{\partial u^{2}}{\partial x_{i}^{2}} x_{i}[/mm]
>
> Gehe ich jetzt Recht in der Annahme, dass ich von u² nur
> die x² therme ableite, also das Ergebniss wieder 1 ist ? -
> Weil ja kein [mm]\partial^{2}[/mm] da steht... Oder muss ich u²
> zweimal nach x ableiten ?
Wir haben
[mm]h\left(u\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\right)[/mm]
Dann ist
[mm]\bruch{\partial h}{\partial x_{i}}=\bruch{\partial h}{\partial u}*\bruch{\partial u}{\partial x_{i}}, \ i=1,2,3[/mm]
Nochmal abgeleitet ergibt:
[mm]\bruch{\partial^{2} h}{\partial x_{i}^{2}}=\bruch{\partial }{\partial u}\left(\bruch{\partial h}{\partial u}*\bruch{\partial u}{\partial x_{i}}\right)*\bruch{\partial u}{\partial x_{i}}+\bruch{\partial}{\partial x_{i}}\left(\bruch{\partial h}{\partial u}*\bruch{\partial u}{\partial x_{i}}\right), \ i=1,2,3[/mm]
[mm]=\bruch{\partial^{2} h}{\partial u^{2}}*\left(\bruch{\partial u}{\partial x_{i}}\right)^{2}+\bruch{\partial h}{\partial u}*\bruch{\partial^{2} u}{\partial x_{i}^{2}}, \ i=1,2,3[/mm]
> Und kann ich das [mm]x_{i}[/mm] einfach ohne Substituion hintendran
> stehen lassen ?
Ja.
Gruß
MathePower
|
|
|
|
