Vektorfeld und Flächenstück < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 So 26.12.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Parameterisierung [mm] \delta [/mm] eines Flächenstücks:
[mm] \delta: [0,2\pi] [/mm] x [mm] [0,\pi/2] [/mm] -> [mm] R^3: (\alpha, \beta) [/mm] -> [mm] ((cos(\alpha) [/mm] + [mm] 2)*cos(\beta), (cos(\alpha) [/mm] + [mm] 2)*sin(\beta), sin(\alpha))
[/mm]
Vektorfeld g:
(x,y,z) -> (z,0,0)
Bestimmen Sie [mm] \integral \integral [/mm] rot(g) * n dO |
So zunächst habe ich die Rotation des Vektorfeldes g berechnet.
rot(g) = (0,1,0)
Nun benötige ich ja noch n(Normalenvektor?)
Den erhalte ich doch durch H nach [mm] \alpha [/mm] abgeleitet Kreuzprodukt mit H nach [mm] \beta [/mm] abgeleitetet!?!
Ich erhalte dann:
n = [mm] \vektor{ cos(\beta) * (-sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) * sin(\beta) \\ cos(\alpha) } [/mm] X [mm] \vektor{ (cos(\alpha) + 2) * (-sin(\beta)) \\ (cos(\alpha) + 2)* cos(\beta) \\ 0 } [/mm]
Ist die vorgehensweise korrekt?Dann kann ich ja mein Integral berechnen mit den gegebenen Grenzen... Vielen Dank
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Hallo zocca21,
> Gegeben ist die Parameterisierung [mm]\delta[/mm] eines
> Flächenstücks:
> [mm]\delta: [0,2\pi][/mm] x [mm][0,\pi/2][/mm] -> [mm]R^3: (\alpha, \beta)[/mm] ->
> [mm]((cos(\alpha)[/mm] + [mm]2)*cos(\beta), (cos(\alpha)[/mm] +
> [mm]2)*sin(\beta), sin(\alpha))[/mm]
>
> Vektorfeld g:
> (x,y,z) -> (z,0,0)
>
> Bestimmen Sie [mm]\integral \integral[/mm] rot(g) * n dO
> So zunächst habe ich die Rotation des Vektorfeldes g
> berechnet.
>
> rot(g) = (0,1,0)
>
> Nun benötige ich ja noch n(Normalenvektor?)
>
> Den erhalte ich doch durch H nach [mm]\alpha[/mm] abgeleitet
> Kreuzprodukt mit H nach [mm]\beta[/mm] abgeleitetet!?!
>
> Ich erhalte dann:
>
> n = [mm]\vektor{ cos(\beta) * (-sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) * sin(\beta) \\ cos(\alpha) }[/mm]
> X [mm]\vektor{ (cos(\alpha) + 2) * (-sin(\beta)) \\ (cos(\alpha) + 2)* cos(\beta) \\ 0 }[/mm]
>
> Ist die vorgehensweise korrekt?Dann kann ich ja mein
> Integral berechnen mit den gegebenen Grenzen... Vielen Dank
Die Vorgehensweise ist korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Mo 27.12.2010 | | Autor: | zocca21 |
Beim auflösen:
n = [mm] \vektor{- (cos(\alpha)^2 + 2cos(\alpha)) *cos(\beta) \\ - (cos(\alpha)^2 + 2cos(\alpha))*sin(\beta) \\ (-sin(\alpha)*cos(\alpha)-2sin(\alpha))*cos(\beta)^2 - (-sin(\alpha)*cos(\alpha)-2sin(\alpha))*(-sin(\beta)^2) }
[/mm]
Kann ich da in der 3.Zeile folgendes nutzen? [mm] cos(\beta)^2 [/mm] + [mm] sin(\beta^2) [/mm] = 1 ?
Ich dachte ich kann es folgenderweise ausklammern:
[mm] -sin(\alpha)*cos(\alpha)-2sin(\alpha) [/mm] * [mm] (sin(\beta)^2 [/mm] + [mm] cos(\beta)^2)
[/mm]
Stimmt so mein Normalenvektor?
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Hallo zoca21,
> Beim auflösen:
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> n = [mm]\vektor{- (cos(\alpha)^2 + 2cos(\alpha)) *cos(\beta) \\
- (cos(\alpha)^2 + 2cos(\alpha))*sin(\beta) \\
(-sin(\alpha)*cos(\alpha)-2sin(\alpha))*cos(\beta)^2 - (-sin(\alpha)*cos(\alpha)-2sin(\alpha))*(-sin(\beta)^2) }[/mm]
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> Kann ich da in der 3.Zeile folgendes nutzen? [mm]cos(\beta)^2[/mm] + [mm]sin(\beta^2)[/mm] = 1 ?
Vertippt, aber ja, das darfst du in der korrekten Version natürlich benutzen!
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> Ich dachte ich kann es folgenderweise ausklammern:
> [mm]-sin(\alpha)*cos(\alpha)-2sin(\alpha)[/mm] * [mm](sin(\beta)^2[/mm] + [mm]cos(\beta)^2)[/mm]
Jo!
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> Stimmt so mein Normalenvektor?
Ich erhalte zumindest dasselbe, wenn ich das Kreuzprodukt aus dem anderen post ausrechne!
Da sind wir also schon zu zweit 
Gruß
schachuzipus
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