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| Aufgabe | Besitzen die folgenden Vektorfelder eine Stammfunktion? Wenn ja, gib eine an.
(a) [mm] v(x,y)=(x²+2y,2x-y^3) [/mm] auf [mm] \IR²
[/mm]
(b) w(x,y)=(xlog(y),ylog(x)) auf [mm] ]0,\infty[
[/mm]
(c) u(x,y,z)=(x+2z,-y-z,2x-2y) auf [mm] \IR^3 [/mm] |
Wie kann ich das überprüfen? Lg
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Hallo,
> Besitzen die folgenden Vektorfelder eine Stammfunktion?
> Wenn ja, gib eine an.
>
> (a) [mm]v(x,y)=(x²+2y,2x-y^3)[/mm] auf [mm]\IR²[/mm]
> (b) w(x,y)=(xlog(y),ylog(x)) auf [mm]]0,\infty[[/mm]
> (c) u(x,y,z)=(x+2z,-y-z,2x-2y) auf [mm]\IR^3[/mm]
> Wie kann ich das überprüfen? Lg
es geht darum, skalare funktionen zu finden, deren gradienten diese vektorfelder sind, richtig?
nun, eine methode zu prüfen, ob es solche funktionen überhaupt geben kann ist die folgende:
bekanntlich vertauschen für hinreichend glatte mehrdimensionale funktionen die partiellen ableitungen, also z.B. [mm] $\partial_x \partial_y [/mm] f [mm] =\partial_y \partial_x [/mm] f$.
ist nun zum beispiel das vektorfeld $v$ der gradient einer funktion $f$, also [mm] $v=(v_1,v_2)=( \partial_x [/mm] f, [mm] \partial_y [/mm] f)$, dann muss notwendig auch [mm] $\partial_y v_1=\partial_x v_2$ [/mm] sein. ist das nicht erfüllt, KANN v keine stammfunktion haben.
ist es erfüllt, musst du ein wenig herumprobieren, um die stammfunktion wirklich zu finden.
gruss
matthias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 Do 12.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Matthias zeige ich Dir mal bei a) , wie man eine Stannfunktion findet.
Gesucht ist also eine Funktion V: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] mit:
(1) [mm] V_x=x+2y
[/mm]
und
(2) [mm] V_y= 2x-y^3.
[/mm]
In (1) integriere bezgl. x : [mm] V=\bruch{1}{2}x^2+2xy+c(y), [/mm] wobei c eine differenzierbare Funktion ist, die nur von y abhängt.
Differenziert man nun nach y , so bekommt man:
[mm] V_y=2x+c'(y).
[/mm]
Wegen (2) folgt: [mm] c'(y)=-y^3. [/mm] Mann kann also [mm] c(y)=-\bruch{1}{4}y^4 [/mm] wählen.
Damit ist
V(x,y)= [mm] \bruch{1}{2}x^2+2xy-\bruch{1}{4}y^4
[/mm]
eine Stammfunktion von v
FRED
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Ich bin gerade draufgekommen, dass die Angabe falsch ist:
(a) [mm] v(x,y)=(x^2+2y, 2x-y^3) auf\IR^2
[/mm]
Habe jetzt [mm] \bruch{1}{3} x^3 +2xy-\bruch{1}{4}y^4 [/mm] als Lösung
Stimmt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:25 Do 12.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich bin gerade draufgekommen, dass die Angabe falsch ist:
> (a) [mm]v(x,y)=(x^2+2y, 2x-y^3) auf\IR^2[/mm]
>
> Habe jetzt [mm]\bruch{1}{3} x^3 +2xy-\bruch{1}{4}y^4[/mm] als
> Lösung
>
> Stimmt das so?
Ja
FRED
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bei (b) komm ich gar nicht weiter.
bei (c) bin ich zu der Annahme gekommen, dass das Vektorfeld eine Stammfunktion besitzt und habe versucht wie bei a vorzugehen, aber ich komm auf kein Ergebnis!?
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Habe mir b jetzt noch einmal genauer angeschaut. Komme einmal auf (1/y,0) und einmal auf (0,1/x) wenn ich partiell differenziere und die Reihenfolge vertausche. Heißt das dann, dass w(x,y) keine Stammfunktion besitzt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Do 12.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. damit man nicht ewig scrollen muss, schreib die aufgabe dazu, die du rechnen willst.
hier w(x,y)=(xlny,ylnx)
die vermutung: [mm] V_x=xlny =>V_{xy}=x/y
[/mm]
[mm] v_y=ylnx [/mm] => [mm] V_{yx}=y/x
[/mm]
also [mm] V_{xy}\ne V_{yx} [/mm] also keine Stammfkt.
ich denke du hast irgendwie falsch abgeleitet , schreib bite nicht einfach "ichkomme auf! sondern was du gerechnet hast! denn ich hab keine Ahnung woher du dein (1/y,0) etwa hast
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Do 12.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zeig uns doch was du bei c gemacht hast, dann können wir dir helfen. du hast im ersten Schritt ein c(y,z) im zweiten dann c(z) usw.
also immer vorrechnen, was du gemacht hast. und als erstes die fkt hinschreiben um die es geht.
gruss leduart
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