Vektorfelder zeige Gültigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien für a<t<b und und (x,y,z)[mm](x,y,z)^T \in G \subset \IR^3[/mm], G Gebiet, durch
[mm]\overrightarrow{E}=(E_{1}(x,y,z,t),E_{2}(x,y,z,t),E_{3}(x,y,z,t))^T, \overrightarrow{H}=(H_{1}(x,y,z,t),H_{2}(x,y,z,t),H_{3}(x,y,z,t))^T, [/mm]
Vektorfelder im [mm]\IR^3[/mm] gegeben, wobei [mm]E_{i},H_{i}\in C^2(G\times (a,b)),i=1,2,3 [/mm] Weiter gelte mit >0
[mm]div(\overrightarrow{E})=div(\overrightarrow{H})=0[/mm], [mm]rot(\overrightarrow{E})=-\bruch{1}{c}\bruch{\partial H}{\partial t},rot(\overrightarrow{H})=\bruch{1}{c}\bruch{\partial E}{\partial t},[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm]\overrightarrow{E}[/mm] und [mm]\overrightarrow{H}[/mm] den folgenden Gleichungen genügen
b)
[mm]\bruch{\partial}{\partial t}\left ( \bruch{1}{2}(|\overrightarrow{E}|^2+|\overrightarrow{H}|^2) \right )+c\cdot div(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})=0[/mm] |
Moin Moin,
zu obiger Aufgabe habe ich folgendes Problem:
[mm]\bruch{\partial}{\partial t}\left ( \bruch{1}{2}(|\overrightarrow{E}|^2+|\overrightarrow{H}|^2) \right )+c\cdot div(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})=0[/mm]
mit
[mm]div(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w})= \overrightarrow{w}^T rot(\overrightarrow{v})-\overrightarrow{v}^T rot(\overrightarrow{w})[/mm]
und
[mm]rot(\overrightarrow{E})=-\bruch{1}{c}\bruch{\partial H}{\partial t},rot(\overrightarrow{H})=\bruch{1}{c}\bruch{\partial E}{\partial t},[/mm]
komme ich zu
[mm]\bruch{\partial}{\partial t}\left ( \bruch{1}{2}(|\overrightarrow{E}|^2+|\overrightarrow{H}|^2) \right )+c\cdot \left ( -\overrightarrow{H}^T\bruch{\partial \overrightarrow{H}}{c \partial t}-\overrightarrow{E}^T\bruch{\partial \overrightarrow{E}}{c \partial t}\ \right )=0[/mm]
worauf
[mm]\bruch{\partial}{\partial t}\left ( \bruch{1}{2}(|\overrightarrow{E}|^2+|\overrightarrow{H}|^2) \right )+c\cdot \left ( \bruch{-\partial \overrightarrow{H}\cdot \overrightarrow{H}^T}{c \partial t}-\bruch{\partial \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{E}^T}{c \partial t}\ \right )=0[/mm]
[mm]\bruch{\partial}{\partial t}\left ( \bruch{1}{2}(|\overrightarrow{E}|^2+|\overrightarrow{H}|^2) \right )+\left ( \bruch{-\partial |\overrightarrow{H}|^2}{ \partial t}-\bruch{\partial |\overrightarrow{E}|^2}{ \partial t}\ \right )=0[/mm]
dann komme ich zu
[mm]-\bruch{\partial}{\partial t}\left ( \bruch{1}{2}(|\overrightarrow{E}|^2+|\overrightarrow{H}|^2) \right )=0[/mm]
So... An dieser Stelle weiß ich nicht mehr weiter,... hab ich vorher vielleicht einen Fehler gemacht?
Viele Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:48 Sa 17.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien für a<t<b und und (x,y,z)[mm](x,y,z)^T \in G \subset \IR^3[/mm],
> G Gebiet, durch
>
> [mm]\overrightarrow{E}=(E_{1}(x,y,z,t),E_{2}(x,y,z,t),E_{3}(x,y,z,t))^T, \overrightarrow{H}=(H_{1}(x,y,z,t),H_{2}(x,y,z,t),H_{3}(x,y,z,t))^T,[/mm]
>
> Vektorfelder im [mm]\IR^3[/mm] gegeben, wobei [mm]E_{i},H_{i}\in C^2(G\times (a,b)),i=1,2,3[/mm]
> Weiter gelte mit >0
> [mm]div(\overrightarrow{E})=div(\overrightarrow{H})=0[/mm],
> [mm]rot(\overrightarrow{E})=-\bruch{1}{c}\bruch{\partial H}{\partial t},rot(\overrightarrow{H})=\bruch{1}{c}\bruch{\partial E}{\partial t},[/mm]
> Zeigen Sie, dass [mm]\overrightarrow{E}[/mm] und [mm]\overrightarrow{H}[/mm]
> den folgenden Gleichungen genügen
> b)
> [mm]\bruch{\partial}{\partial t}\left ( \bruch{1}{2}(|\overrightarrow{E}|^2+|\overrightarrow{H}|^2) \right )+c\cdot div(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})=0[/mm]
>
>
>
> Moin Moin,
> zu obiger Aufgabe habe ich folgendes Problem:
> [mm]\bruch{\partial}{\partial t}\left ( \bruch{1}{2}(|\overrightarrow{E}|^2+|\overrightarrow{H}|^2) \right )+c\cdot div(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})=0[/mm]
>
> mit
> [mm]div(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w})= \overrightarrow{w}^T rot(\overrightarrow{v})-\overrightarrow{v}^T rot(\overrightarrow{w})[/mm]
>
> und
> [mm]rot(\overrightarrow{E})=-\bruch{1}{c}\bruch{\partial H}{\partial t},rot(\overrightarrow{H})=\bruch{1}{c}\bruch{\partial E}{\partial t},[/mm]
>
> komme ich zu
> [mm]\bruch{\partial}{\partial t}\left ( \bruch{1}{2}(|\overrightarrow{E}|^2+|\overrightarrow{H}|^2) \right )+c\cdot \left ( -\overrightarrow{H}^T\bruch{\partial \overrightarrow{H}}{c \partial t}-\overrightarrow{E}^T\bruch{\partial \overrightarrow{E}}{c \partial t}\ \right )=0[/mm]
Soweit ok.
> worauf
> [mm]\bruch{\partial}{\partial t}\left ( \bruch{1}{2}(|\overrightarrow{E}|^2+|\overrightarrow{H}|^2) \right )+c\cdot \left ( \bruch{-\partial \overrightarrow{H}\cdot \overrightarrow{H}^T}{c \partial t}-\bruch{\partial \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{E}^T}{c \partial t}\ \right )=0[/mm]
Falsch.
[mm] \overrightarrow{H}^T\bruch{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t} = \red{\bruch{1}{2}} \bruch{\partial \overrightarrow{H}\cdot \overrightarrow{H}^T}{\partial t} [/mm]
und ebenso für E.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
hmm,... und warum muss der Faktor 1/2 davor? ich meine gut, wenn ich den davor schreibe lösen sich alle Probleme in Luft auf. Aber woher kommt der Faktor?
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Sa 17.12.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
>
> hmm,... und warum muss der Faktor 1/2 davor? ich meine gut,
> wenn ich den davor schreibe lösen sich alle Probleme in
> Luft auf. Aber woher kommt der Faktor?
der kommt von der Produktregel:
[mm] $\frac{\partial}{\partial t}|\vec{H}|^2=\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{H}\cdot\vec{H}\right)=\left(\frac{\partial}{\partial t}\vec{H}\right)\cdot\vec{H}+\vec{H}\cdot\left(\frac{\partial}{\partial t}\vec{H}\right)=2\vec{H}\cdot\frac{\partial}{\partial t}\vec{H}$
[/mm]
>
> Viele Grüße
>
>
>
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
///###///~Edit
Alles Klar, ich darf also nicht einfach was in die Ableitung "reintauschen"
Bsp: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4*dx%5E3%2Fdx
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Sa 17.12.2011 | | Autor: | notinX |
> ///###///~Edit
>
> Alles Klar, ich darf also nicht einfach was in die
> Ableitung "reintauschen"
> Bsp:
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4*dx%5E3%2Fdx
>
Ich habe keinen Schimmer, was Du mit 'in die Ableitung "reintauschen"' meinst, aber wenn Deine Frage beantwortet ist, ist's ja gut.
>
>
> Viele Grüße
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
Das war nur die Erkenntnis, dass der Differentialoperator nicht kommutativ ist.
Vielen Dank
|
|
|
|
