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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Di 14.05.2013 | | Autor: | marmik |
| Aufgabe | Gegeben sei ein homogenes Vektorfeld [mm] \vec{B}=B*\vec{e_z}
[/mm]
a) Bestimmen Sie [mm] \vec{A}, [/mm] so dass [mm] rot\vec{A}=\vec{B} [/mm] (1)
Hinweis: Verwenden Sie einen Ansatz bei dem alle Komponenten von [mm] \vec{A} [/mm] linear in den Koordinaten sind.
b) Finden Sie zwei linear unabhängige Lösungen [mm] \vec{A_1} [/mm] und [mm] \vec{A_2} [/mm] von (1) und zeigen Sie, dass auch die Linearkombination [mm] \alpha_1\vec{A_1}+\alpha_2\vec{A_2} [/mm] mit [mm] \alpha_1+\alpha_2=1 [/mm] eine Lösung ist.
c) Zeigen Sie, dass (1) auch von einem Feld [mm] \vec{A'} [/mm] mit [mm] \vec{A'}=\vec{A}+grad \phi [/mm] erfüllt, wobei [mm] \phi [/mm] eine beliebige skalare, stetig differenzierbare Funktion sei, welche eine Eichtransformation vermittelt. |
Hallo,
ich komme bei Aufgabenteil a) und b) nicht wirklich weiter:
Ich habe bis jetzt bei a)
[mm] \vec{A}=\vektor{A_x \\ A_y \\ A_z}=\vektor{a_1x+b_1y+c_1z \\ a_2x+b_2y+c_2z \\ a_3x+b_3y+c_3z} [/mm] Ich hoffe diese Wahl ist im Sinne des Hinweises!
Aus [mm] rot\vec{A}=\vec{B} [/mm] erhalte ich somit folgende Gleichungen:
[mm] b_3=c_2
[/mm]
[mm] c_1=a_3
[/mm]
[mm] a_2-b_1=B_z
[/mm]
Außerdem habe ich die Eichtransformation [mm] div\vec{A}=0 [/mm] benutzt und erhalte somit zusätzlich die Gleichung
[mm] a_1+b_2+c_3=0
[/mm]
Ab hier weiß ich leider nicht mehr wie ich weitermachen soll und komme auch bei Aufgabenteil b) nicht weiter.
Aufgabenteil c) habe ich schon gelöst. Undzwar
[mm] rot\vec{A'}=\nabla [/mm] x [mm] \vec{A}+ \nabla [/mm] x [mm] \nabla \phi= \nabla [/mm] x [mm] \vec{A}=rot\vec{A} [/mm] , da [mm] \nabla [/mm] x [mm] \nabla \phi [/mm] =0
Danke schonmal für eure Hilfe!
Gruß
marmik
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Di 14.05.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Gegeben sei ein homogenes Vektorfeld [mm]\vec{B}=B*\vec{e_z}[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie [mm]\vec{A},[/mm] so dass [mm]rot\vec{A}=\vec{B}[/mm]
> (1)
> Hinweis: Verwenden Sie einen Ansatz bei dem alle
> Komponenten von [mm]\vec{A}[/mm] linear in den Koordinaten sind.
>
> b) Finden Sie zwei linear unabhängige Lösungen [mm]\vec{A_1}[/mm]
> und [mm]\vec{A_2}[/mm] von (1) und zeigen Sie, dass auch die
> Linearkombination [mm]\alpha_1\vec{A_1}+\alpha_2\vec{A_2}[/mm] mit
> [mm]\alpha_1+\alpha_2=1[/mm] eine Lösung ist.
>
> c) Zeigen Sie, dass (1) auch von einem Feld [mm]\vec{A'}[/mm] mit
> [mm]\vec{A'}=\vec{A}+grad \phi[/mm] erfüllt, wobei [mm]\phi[/mm] eine
> beliebige skalare, stetig differenzierbare Funktion sei,
> welche eine Eichtransformation vermittelt.
> Hallo,
> ich komme bei Aufgabenteil a) und b) nicht wirklich
> weiter:
>
> Ich habe bis jetzt bei a)
> [mm]\vec{A}=\vektor{A_x \\ A_y \\ A_z}=\vektor{a_1x+b_1y+c_1z \\ a_2x+b_2y+c_2z \\ a_3x+b_3y+c_3z}[/mm]
> Ich hoffe diese Wahl ist im Sinne des Hinweises!
das führt auf jeden Fall zum Ziel.
> Aus [mm]rot\vec{A}=\vec{B}[/mm] erhalte ich somit folgende
> Gleichungen:
> [mm]b_3=c_2[/mm]
> [mm]c_1=a_3[/mm]
> [mm]a_2-b_1=B_z[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Damit hast Du alle Lösungen gefunden. Jedes Vektotrfeld, das diesen Komponenten genügt erfüllt die gewünschte Gleichung.
> Außerdem habe ich die Eichtransformation [mm]div\vec{A}=0[/mm]
> benutzt und erhalte somit zusätzlich die Gleichung
> [mm]a_1+b_2+c_3=0[/mm]
> Ab hier weiß ich leider nicht mehr wie ich weitermachen
> soll und komme auch bei Aufgabenteil b) nicht weiter.
Setze beliebige Werte ein. Du kannst z.B. einmal [mm] $b_3=c_2=c_1=a_3=0$ [/mm] und [mm] $a_2=2B$ [/mm] sowie [mm] $b_1=B$ [/mm] setzen. Eine weitere Möglichkeit fällt Dir bestimmt auch noch ein.
>
> Aufgabenteil c) habe ich schon gelöst. Undzwar
> [mm]rot\vec{A'}=\nabla[/mm] x [mm]\vec{A}+ \nabla[/mm] x [mm]\nabla \phi= \nabla[/mm]
> x [mm]\vec{A}=rot\vec{A}[/mm] , da [mm]\nabla[/mm] x [mm]\nabla \phi[/mm] =0
Warum das so ist würde ich vielleicht noch in einem kleinen Satz begründen.
>
> Danke schonmal für eure Hilfe!
> Gruß
> marmik
Gruß,
notinX
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