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| Aufgabe | Sei W eine Teilmenge eines Vektorraumes V. Zeigen Sie, dass die Bedingung
u,v [mm] \in [/mm] W [mm] \Rightarrow \alpha [/mm] u + [mm] \beta [/mm] v [mm] \in [/mm] W, [mm] \alpha,\beta \in\IR
[/mm]
ausreicht, damit W ein Untervektorraum von V ist |
Hier mal meine Lösung dazu:
Sei [mm] u,v\in [/mm] W [mm] \wedge \alpha,\beta\in\IR
[/mm]
[mm] \alpha u+\beta v=\alpha\summe_{i=0}^{n}u_{i}x^{i}+\beta\summe_{i=0}^{n}v_{i}x^{i}=\summe_{i=0}^{n}\alpha*u_{i}x^{i}+\summe_{i=0}^{n}\beta*v_{i}x^{i}=\summe_{i=0}^{n}\alpha*u_{i}x^{i}+\beta*v_{i}x^{i}=\summe_{i=0}^{n}(\alpha*u_{i}+\beta*v_{i})*x^{i} \in [/mm] W
So, meine Frage ist nun eigentlich ob ich mit dieser Rechnung nun bewiesen hab das W ein Untervektorraum ist oder nicht?
Eig habe ich ja nur nachgerechnet dass [mm] \alpha*u+\beta*v \in [/mm] W ist
Und da W Teilmenge von V ist ist es somit ein Untervektorraum?????
Was muss man zeigen damit W Unterraum von V ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Mo 08.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei W eine Teilmenge eines Vektorraumes V. Zeigen Sie, dass
> die Bedingung
> u,v [mm]\in[/mm] W [mm]\Rightarrow \alpha[/mm] u + [mm]\beta[/mm] v [mm]\in[/mm] W,
> [mm]\alpha,\beta \in\IR[/mm]
> ausreicht, damit W ein Untervektorraum
> von V ist
> Hier mal meine Lösung dazu:
>
> Sei [mm]u,v\in[/mm] W [mm]\wedge \alpha,\beta\in\IR[/mm]
>
> [mm]\alpha u+\beta v=\alpha\summe_{i=0}^{n}u_{i}x^{i}+\beta\summe_{i=0}^{n}v_{i}x^{i}=\summe_{i=0}^{n}\alpha*u_{i}x^{i}+\summe_{i=0}^{n}\beta*v_{i}x^{i}=\summe_{i=0}^{n}\alpha*u_{i}x^{i}+\beta*v_{i}x^{i}=\summe_{i=0}^{n}(\alpha*u_{i}+\beta*v_{i})*x^{i} \in[/mm]
> W
Ich vermute, dass Du angenommen hast, dass die [mm] x^i [/mm] eine Basis von W bilden.
Wenn Du das tust setz Du aber schon voraus, dass W ein Untervektorraum ist. Weiter setzt Du auch noch voraus, das dimW < [mm] \infty [/mm] ist.
So kannst Du das also nicht machen.
>
> So, meine Frage ist nun eigentlich ob ich mit dieser
> Rechnung nun bewiesen hab das W ein Untervektorraum ist
> oder nicht?
> Eig habe ich ja nur nachgerechnet dass [mm]\alpha*u+\beta*v \in[/mm]
> W ist
> Und da W Teilmenge von V ist ist es somit ein
> Untervektorraum?????
>
> Was muss man zeigen damit W Unterraum von V ist?
Du hast die Bedingung
u,v $ [mm] \in [/mm] $ W $ [mm] \Rightarrow \alpha [/mm] $ u + $ [mm] \beta [/mm] $ v $ [mm] \in [/mm] $ W, $ [mm] \alpha,\beta \in\IR [/mm] $.
Zeige nun, dass aus dieser Bedingung folgt, dass W das Untervektorraumkriterium erfüllt.
FRED
>
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Reicht es dann hier zu sagen dass W in Bezug auf Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist, aufgrund der Bedingung?
Diese Abgeschlossenheit haben wir auch schon in einer anderen Aufgabe bewiesen, sprich ich muss es dann doch hier nicht nocheinmal zeigen oder?
Wenn ich jetzt sage
[mm] \alpha=\beta=0 \Rightarrow [/mm] 0*u+0*v=0 [mm] \Rightarrow 0\in [/mm] W [mm] \Rightarrow W\not=\emptyset
[/mm]
müsste doch alles bewiesen sein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 12.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Sei W eine Teilmenge eines Vektorraumes V. Zeigen Sie, dass
> die Bedingung
> u,v [mm]\in[/mm] W [mm]\Rightarrow \alpha[/mm] u + [mm]\beta[/mm] v [mm]\in[/mm] W,
> [mm]\alpha,\beta \in\IR[/mm]
> ausreicht, damit W ein Untervektorraum
> von V ist
Hallo,
ist das der Originaltext?
Oder hast Du ihn etwas abgewandelt?
Sofern nämlich [mm] W=\emptyset, [/mm] wird man das nicht zeigen können...
> Hier mal meine Lösung dazu:
Hmmmm.
Du arbeitest hier offenbar irgendwie im Vektorraum der Polynome.
In der Aufgabenstellung steht nichts dergleichen, so daß ich denke, daß Du völlig auf der falschen Spur bist.
Auf den richtigen Pfad kannst Du nur kommen, wenn Du Dir mal anschaust, wie Ihr "Untervektorraum " überhaupt definiert habt.
Daß alles, was in dieser Definition vorkommt, zutrifft, wäre in dieser Aufgabe zu zeigen.
LG Angela
>
> Sei [mm]u,v\in[/mm] W [mm]\wedge \alpha,\beta\in\IR[/mm]
>
> [mm]\alpha u+\beta v=\alpha\summe_{i=0}^{n}u_{i}x^{i}+\beta\summe_{i=0}^{n}v_{i}x^{i}=\summe_{i=0}^{n}\alpha*u_{i}x^{i}+\summe_{i=0}^{n}\beta*v_{i}x^{i}=\summe_{i=0}^{n}\alpha*u_{i}x^{i}+\beta*v_{i}x^{i}=\summe_{i=0}^{n}(\alpha*u_{i}+\beta*v_{i})*x^{i} \in[/mm]
> W
>
> So, meine Frage ist nun eigentlich ob ich mit dieser
> Rechnung nun bewiesen hab das W ein Untervektorraum ist
> oder nicht?
> Eig habe ich ja nur nachgerechnet dass [mm]\alpha*u+\beta*v \in[/mm]
> W ist
> Und da W Teilmenge von V ist ist es somit ein
> Untervektorraum?????
>
> Was muss man zeigen damit W Unterraum von V ist?
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