Vektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Di 22.11.2005 | | Autor: | Willi |
Hey Leute,
brauch mal wieder etwas Hilfe.
Aufgabe: Wir betrachen den R-Vektorraum V:=Abb(R,R) der Funktionen [mm] R\toR. [/mm] Zeigen sie, dass die folgenden Vektoren f, g, h [mm] \in [/mm] V jeweils linear unabhängig sind.
[mm] f(x)=e^{x}, [/mm] g(x)=sin(x), h(x)=cos(x).
Hab ein Gleichungssystem aufgestellt, was folgendermaßen aussieht:
[mm] \lambda1 \* e^{x1} [/mm] + [mm] \lambda2 \* [/mm] sin(x1) + [mm] \lambda3 \* [/mm] cos(x1)=0. Zweite und dritte Zeile genauso, nur x2 und x3 statt x1. Ist das richtig? Wie forme ich jetzt geschickt um, um lineare unabhängigkeit zu zeigen. Hab mehrmals versucht und komme nicht drauf. Hilft mir vielleicht die Ableitung hier weiter, die hatten wir aber noch nicht? Bitte um Hilfe.
Für folgende Aufgabe fehlt mir der Ansatz, bin dankbar für jede(n) Tipp/Lösung.
Aufgabe: Es sei V ein R-Vektorraum, [mm] n\ge2 [/mm] und v1,...vn [mm] \in [/mm] V linear unabhängige Vektoren. Zeigen sie, das dann auch w1,...,wn mit
wi:=( [mm] \summe_{j=1}^{n}vj) [/mm] - vi für i [mm] \in [/mm] {1,...,n} linear unabhängig sind.
Bleibt diese Aussage richtig, wenn man den Körper R durch Z/2Z ersetzt?
Fettes Danke.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Di 22.11.2005 | | Autor: | Mitch |
Hey Willi, ich beschäftige mich gerade mit denselben Aufgaben. Die Lösung der zweiten Aufagbe weiß ich selber (noch?) nicht. Aber die erste Aufgabe kann ich die erklären:
Also dein Ansatz um zu zeigen, dass die Vektoren (bzw. Funktionen) linear unabhängig sind war schon ganz richtig. Du stellst einfach die 3 Gleichungen auf, wie du es ja auch gemacht hast. Da die Gleichungen ja für alle x [mm] \in \IR [/mm] gelten soll sucht man jetzt Spezialfälle für die Funktionen.
Kurz: wähle z.B. [mm] x_1 [/mm] = 0 , [mm] x_2 [/mm] = [mm] \Pi [/mm] , [mm] x_3 [/mm] = [mm] \bruch {\Pi}{2} [/mm]
Dann erhälst du folgende Gleichungen:
1) [mm] \lambda_1 + 0 + \lambda_3 = 0 [/mm]
2) [mm] \lambda_1 \cdot e^{\Pi} + 0 - \lambda_3 = 0 [/mm]
3) [mm] \lambda_1 \cdot e^{\bruch {\Pi }{2} } + \lambda_2 + 0 = 0 [/mm]
Damit erhälst du dann das LGS:
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ e^{\Pi} & 0 & -1 \\ e^{\bruch {\Pi}{2} } & 1 & 0 \end{vmatrix} [/mm] [mm] \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
Wenn du dieses LGS ein wenig umformst sieht man direkt, dass [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] = 0 sind und somit linear unabhängig!!!
Ich hoffe du hast die Lösung verstanden! Mit der anderen Aufgabe habe ich mich selber noch nicht beschäftigt!
Gruß Mitch
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Hallo,
habe auch zu der Lösung noch eine Frage und zwar ob der Beweis so reicht oder ob man das nicht für alle x zeigen muss? Weil man wählt sich doch bestimmte x aus.
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> Hallo,
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> habe auch zu der Lösung noch eine Frage und zwar ob der
> Beweis so reicht oder ob man das nicht für alle x zeigen
> muss? Weil man wählt sich doch bestimmte x aus.
Hallo,
das mit den x ist etwas anders.
Fassen wir nochmal zusammen: es soll die lineare Unabhängigkeit dreier Funktionen f,g,h gezeigt werden.
Dazu nimmt man an, daß 0=af+bg+ch gilt, und zeigt, daß hieraus folgt a=b=c=0.
(Ein kleiner Hinweis: 0 meint hier nicht die Zahl 0, sondern die Funktion, welche konstant 0 ist.)
Wann sind Funktionen gleich? Wenn sie in allen Werten übereinstimmen.
Also folgt:
Für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt 0=(af+bg+ch)(x)=(af)(x)+(bg)(x)+(ch)(x)=af(x)+bg(x)+ch(x)
(Hier ist jetzt die 0 die Zahl Null)
So. Nun muß man irgendwas unternehmen, um an Informationen über die a,b,c zu kommen. Die Überlegung ist die: obiges gilt für alle x. Dann gilt das natürlich insbesondere auch für drei ausgewählte [mm] x_1,x_2 [/mm] und [mm] x_3. [/mm] Daß man diese lieber geschickt als ungeschickt auswählt, ist klar. Dein Kollege hat sie so gewählt, daß er ein möglichst einfaches lineares GS mit drei Gleichungen und den drei Variablen a,b,c erhält, denn diesen Variablen ist man ja auf der Spur.
Das Lösen des GS ergibt a=b=c=0.
Du hast also insgesamt eine Kette von Folgerungen, an deren Anfang steht
0=af+bg+ch,
daraus folgt ein lineares GS in den Variablen a,b,c, und aus dessen Lösung folgt
a=b=c=0.
Somit ist die lineare Unabhängigkeit der drei Funktionen gezeigt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Di 22.11.2005 | | Autor: | Mitch |
Bei der 2. Aufgabe habe ich irgendwie auch keine Idee.
Für folgende Aufgabe fehlt mir der Ansatz, bin dankbar für jede(n) Tipp/Lösung.
Aufgabe: Es sei V ein R-Vektorraum, $ [mm] n\ge2 [/mm] $ und v1,...vn $ [mm] \in [/mm] $ V linear unabhängige Vektoren. Zeigen sie, das dann auch w1,...,wn mit
wi:=( $ [mm] \summe_{j=1}^{n}vj) [/mm] $ - vi für i $ [mm] \in [/mm] $ {1,...,n} linear unabhängig sind.
Bleibt diese Aussage richtig, wenn man den Körper R durch Z/2Z ersetzt?
Gruß Mitch
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> Aufgabe: Es sei V ein R-Vektorraum, [mm]n\ge2[/mm] und [mm] v_1,...v_n [/mm]
> [mm]\in[/mm] V linear unabhängige Vektoren. Zeigen sie, das dann
> auch [mm] w_1,...,w_n [/mm] mit
>
> [mm] w_i:=([/mm] [mm]\summe_{j=1}^{n}v_j)[/mm] - vi für i [mm]\in[/mm] {1,...,n} linear
> unabhängig sind.
Hallo,
man macht es wie immer: Linearkombination=0. Man darf hier nur wegen der Summe nicht die Nerven verlieren und muß mit den Indizes schön aufpassen:
Seien also [mm] \lambda_i \in \IR [/mm] mit
0= [mm] \lambda_1w_1 [/mm] + [mm] \lambda_2w_2+... [/mm] + [mm] \lambda_nw_n
[/mm]
[mm] =\lambda_1((\summe_{j=1}^{n}v_j)- v_1)+\lambda_2((\summe_{j=1}^{n}v_j)- v_2)+...+\lambda_n((\summe_{j=1}^{n}v_j)- v_n)
[/mm]
[mm] =(...)v_1+(...)v_2+...+(...)v_n [/mm]
Die [mm] v_i [/mm] sind linear anabhängig ==>... ... ... ==> [mm] \lambda_i=0.
[/mm]
> Bleibt diese Aussage richtig, wenn man den Körper R durch
> Z/2Z ersetzt?
Wenn's da schon so gefragt wird, wohl eher nicht...
Warum das so ist, darüber geht einem schon beim Ausrechnen der [mm] \lambda_i [/mm] ein Licht auf, wenn man weiß, was [mm] \IZ/2\IZ [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Mellen |
Hallo zusammen,
Ich muss dieselbe Aufgabe bearbeiten und bin soweit gekommen : [mm]\lambda_i[/mm](([mm] \summe_{j=1}^{n} v_j /v_i) - 1 [/mm] )=0
Jetzt folgt ja: [mm] \lambda_i [/mm]=0 oder [mm] \summe_{j=1}^{n} v_j /v_i)[/mm] =1.
Muss ich jetzt mit vollständiger Induktion nachweisen,dass diese Summe unter der Voraussetzung [mm] n\ge2 [/mm] niemals 1 werden kann? Ist dann meine Vor. das die Summe [mm] \not=1 [/mm] ist oder vielleicht das die Summe >1 ist?
Oder ist mein Zwischenergebnis vielleicht sogar falsch?
Danke für die Hilfe!!!
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> Hallo zusammen,
Hallo!
> Ich muss dieselbe Aufgabe bearbeiten und bin soweit
> gekommen : [mm]\lambda_i[/mm](([mm] \summe_{j=1}^{n} v_j /v_i) - 1[/mm] )=0
> Jetzt folgt ja: [mm]\lambda_i [/mm]=0 oder [mm]\summe_{j=1}^{n} v_j /v_i)[/mm]
> =1.
Hiiiiiiiiiilfääääääääää! Alarrrrrrrrrrrrrrrrrrrm!
Du dividierst Vektoren! Das gibt's doch gar nicht! Das kommt bei "Vektorraum" nämlich nicht vor.
Gruß v. Angela
> Oder ist mein Zwischenergebnis vielleicht sogar falsch?
>
> Danke für die Hilfe!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:49 Do 24.11.2005 | | Autor: | Mitch |
Hey Angela, erstmal Danke für deine Antwort.
Habe mir deine Antwort mal durch den Kopf gehen lassen. Deine Idee finde ich ja im ersten Moment garnicht schlecht, aber dann kommen bei mir Zweifel auf, dass die von dir weggelassenen Schritte zum Schluss führen, dass [mm] \lambda_i = 0 [/mm] ist.
Deine Lösung:
0= $ [mm] \lambda_1w_1 [/mm] $ + $ [mm] \lambda_2w_2+... [/mm] $ + $ [mm] \lambda_nw_n [/mm] $
$ [mm] =\lambda_1((\summe_{j=1}^{n}v_j)- v_1)+\lambda_2((\summe_{j=1}^{n}v_j)- v_2)+...+\lambda_n((\summe_{j=1}^{n}v_j)- v_n) [/mm] $
$ [mm] =(...)v_1+(...)v_2+...+(...)v_n [/mm] $
Die $ [mm] v_i [/mm] $ sind linear anabhängig ==>... ... ... ==> $ [mm] \lambda_i=0. [/mm] $
Dazu meine Frage:
Im Detail:
Deine Idee [mm] v_1,...,v_n [/mm] auzuklammern finde ich ja gut, wobei ich nicht verstehe, wie du es geschafft hast [mm] v_1,...,v_n [/mm] auszuklammern! Was steht denn dann in den "(...)" - Klammern vor den [mm] v_1,...,v_n [/mm] ??
In deinen folgenden Schritten (die ja weggelassen hast) folgst du unter Berücksichtigung der linearen Unabhänghigkeit von [mm] v_1,...,v_n [/mm] , dass [mm] \lambda_i = 0 [/mm] ist. Ich bin aber der Meinung, dass daraus lediglich folgt, dass die Klammern "(...)" vor den [mm] v_1,...,v_n [/mm] gleich 0 sind. Und damit weiß man ja noch nicht, dass [mm] \lambda_i = 0 [/mm] ist.
Oder sehe ich das falsch. Ich wäre dankbar für ein Statement!
Den zweiten Teil der Aufgabe verstehe allein aus dem Grunde schon nicht, weil mir nicht klar ist, was für eine Bedeutung dieses $ [mm] \IZ/2\IZ [/mm] $ für eine genaue Bedeutung hat.
Gute Nacht,
Gruß Mitch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:55 Do 24.11.2005 | | Autor: | Mitch |
Hey, mir ist über Nacht die Folgerung klar geworden..!  Wobei ich [mm] \lambda_1 , ..., \lambda_n [/mm] ausgeklammert habe. Aufgrund der linearen Unabhängigkeit von [mm] v_i [/mm] sind die Lambdas dann =0!
Der 2. Teil der Aufgabe ist jedoch immernoch nicht klar...!
Gruß Mitch
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> Deine Lösung:
> 0= [mm]\lambda_1w_1[/mm] + [mm]\lambda_2w_2+...[/mm] + [mm]\lambda_nw_n[/mm]
> [mm]=\lambda_1((\summe_{j=1}^{n}v_j)- v_1)+\lambda_2((\summe_{j=1}^{n}v_j)- v_2)+...+\lambda_n((\summe_{j=1}^{n}v_j)- v_n)[/mm]
>
> [mm]=(...)v_1+(...)v_2+...+(...)v_n[/mm]
>
> Die [mm]v_i[/mm] sind linear anabhängig ==>... ... ...
> ==> [mm]\lambda_i=0.[/mm]
>
> Dazu meine Frage:
> Im Detail:
> Deine Idee [mm]v_1,...,v_n[/mm] auzuklammern finde ich ja gut,
Hallo,
die Idee ist zwar gut, aber nicht sonderlich originell, weil fast das einzige, was man in der Hand hat, ja die Voraussetzung ist, daß die [mm] v_i [/mm] linear unabhängig sind.
> wobei ich nicht verstehe, wie du es geschafft hast
> [mm]v_1,...,v_n[/mm] auszuklammern!
Ich hab in jedem Ausdruck hinter den [mm] \lambda_i [/mm] nachgeschaut, ob [mm] v_k [/mm] vorkommt.
[mm] v_1 [/mm] kommt außer hinter [mm] \lambda_1 [/mm] überall vor,
[mm] v_2 [/mm] kommt außer hinter [mm] \lambda_2 [/mm] überall vor, usw.
>Was steht denn dann in den
> "(...)" - Klammern vor den [mm]v_1,...,v_n[/mm] ??
Also steht in der Klammer vor [mm] v_1 (\lambda_2+\lambda_3+...+\lambda_n)
[/mm]
vor [mm] v_2 [/mm] steht [mm] (\lambda_1+\lambda_3+...+\lambda_n), [/mm] usw.
> In deinen folgenden Schritten (die ja weggelassen hast)
damit Du es ausrechnest...
> folgst du unter Berücksichtigung der linearen
> Unabhänghigkeit von [mm]v_1,...,v_n[/mm] , dass [mm]\lambda_i = 0[/mm] ist.
> Ich bin aber der Meinung, dass daraus lediglich folgt, dass
> die Klammern "(...)" vor den [mm]v_1,...,v_n[/mm] gleich 0 sind.
Ja. Das ist der Anfang! Du hast nun ein lineares GS aus n Gleinungen mit n Unbekannten, welches zu lösen ist.
Und
> damit weiß man ja noch nicht, dass [mm]\lambda_i = 0[/mm] ist.
> Oder sehe ich das falsch.
Solange das GS nicht gelöst ist, weiß man es nicht. Wenn man es gelöst hat, weiß man es.
> Den zweiten Teil der Aufgabe verstehe allein aus dem Grunde
> schon nicht, weil mir nicht klar ist, was für eine
> Bedeutung dieses [mm]\IZ/2\IZ[/mm] für eine genaue Bedeutung hat.
Das sollen die Restklassen modulo 2 sein. Wenn die [mm] \lambda_i \in \IZ/2\IZ [/mm] sind, verändert sich einiges, denn hier ist ja 1+1=0
Gruß v. Angela
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hi...
ich habe diese aufgaben auch zu lösen und wollte fragen wir ihr denn die auggabe gemacht habt,wo man eine basis zu :
{ [mm] x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} [/mm] / [mm] x_{1}+3* x_{2},+2*x_{4}=0 [/mm] , [mm] 2*x_{1}+ x_{2},+x_{3} [/mm] =0}
komm da nämlich zu keinem ansatz...
mfg
magda
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Mick312 |
hi Magda,
so wie ich die aufgabe verstanden habe, wird hier eine basis des [mm] \IR^{4} [/mm] gesucht, wobei dir schon zwei vektoren des [mm] \IR^{4} [/mm] gegeben sind. diese vektoren stehen in der nebenbedingung der Menge:
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 3 \\0\\2}, v_{2}= \vektor{2 \\ 1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
was du hier machen musst ist überprüfen ob die zwei vektoren linear unabhängig sind ( das sind sie ) und die menge [mm] {v_{1}, v_{2}} [/mm] mit zwei anderen vektoren [mm] v_{3} [/mm] und [mm] v_{4} [/mm] vervollständigen, dabei muss gelten dass die menge [mm] {v_{1}, v_{2},v_{3},v_{4}} [/mm] linear unabhängig ist. wenn alles erfüllt ist kriegst du deine basis.
das war meine idee zu der aufgabe, wenn sie falsch ist, bitte korrigieren
MfG, Mick
p.s. rechtschreibefehler kann der leser für sich behalten ;)
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komme leider selber nicht weiter bei deiner Aufgabe.
Ich denke aber, dass dein Ansatz falsch ist, Mick.
x1 + 3x2 + 2x4 = 0 und 2x1 + x2 + x3 = 0 sind Vorschriften, die für die Vektoren gelten müssen, aber keine Vektoren in der Menge.
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ -2} [/mm] oder [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -1 \\ 0} [/mm] sind z. B. zwei Vektoren der Menge. Nur jetzt zwei Vektoren zu finden, die linear unabhängig zu den beiden sind, wäre viel Arbeit und kann ja eigentlich nicht Sinn der Sache sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Olek |
Nabend,
man kann das doch in die Form [mm] \pmat{ 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & -5 & 1 & -4 } [/mm] bringen. Wenn man dann [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 } [/mm] hinzufügt hat man doch vier linear Unabhängige Vektoren, welche eine Basis des [mm] \IR^{4} [/mm] bilden, oder nicht!?
MfG,
Olek
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Mi 23.11.2005 | | Autor: | dankman |
Hi Magda,
zur Bestimmung einer Basis muss folgendes Gleichungssystem gelöst werden: (welches sich aus dem Vektorraum ergibt)
x1+3*x2 +2*x4 = 0 I
2*x1+ x2+ x3 = 0 II
Jetzt 2*I - II [mm] \Rightarrow [/mm] 5*x2 - x3 + 4*X4
Basislsg.: wähle x3=0 und x4= 1
[mm] \Rightarrow [/mm] 1. Basislsg.: ( [mm] \bruch{2}{5}, -\bruch{4}{5},0,1)
[/mm]
wähle x3=1 und x4=0
[mm] \Rightarrow [/mm] 2. Basislsg.: [mm] (-\bruch{3}{5}, \bruch{1}{5},1,0)
[/mm]
Die zwei Vektoren sind Basislsgen aller Lösungen des Gleichungssystems, sind somit linear unabhängig und sind daher eine Basis von dem Vektorraum, denn alle Elemente des Vektorraums lassen sich durch diese zwei Vektoren erzeugen.(sie spannen den Vektorraum also auf).
[mm] \Rightarrow [/mm] {( [mm] \bruch{2}{5}, -\bruch{4}{5},0,1), (-\bruch{3}{5}, \bruch{1}{5},1,0)} [/mm] ist eine Basis des Vektorraums.
P.s.: Hey Mitch, wir sehen uns morgen bei der süßen Übungsleiterin  .
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Hi
ich habe da nochmal eine Frage und zwar:
Muss man die Gleichungen [mm] x_{1}+ 3x_{2}+2 x_{4}=0 [/mm] und
[mm] 2x_{1}+ x_{2}+ x_{3}=0
[/mm]
nicht nach [mm] x_{3} [/mm] und [mm] x_{4} [/mm] auflösen und dann sind [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] frei wählbar? Wenn das richtig ist, dann gibt es dich nur 2 Vektoren, die linear unabhängig sind, einmal [mm] x_{1}=1 [/mm] und [mm] x_{2}=0 [/mm] und umgekehrt, da die anderen beiden Komponeten von denen abhängen. Durch die beiden errechneten vektoren lassen sich dann alle anderen erzeugen!
Meine eigentlich Frage ist (wenn meine obige Überlegung korrekt ist?) ob 2 Vektoren die Basis des [mm] IR^{4} [/mm] sein kann?
Müssen da nicht 4 vektoren nötig sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:38 Fr 25.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo CampDavid,
> Hi
>
> ich habe da nochmal eine Frage und zwar:
>
> Muss man die Gleichungen [mm]x_{1}+ 3x_{2}+2 x_{4}=0[/mm] und
> [mm]2x_{1}+ x_{2}+ x_{3}=0[/mm]
>
> nicht nach [mm]x_{3}[/mm] und [mm]x_{4}[/mm] auflösen und dann sind [mm]x_{1}[/mm]
> und [mm]x_{2}[/mm] frei wählbar? Wenn das richtig ist, dann gibt es
> dich nur 2 Vektoren, die linear unabhängig sind, einmal
> [mm]x_{1}=1[/mm] und [mm]x_{2}=0[/mm] und umgekehrt, da die anderen beiden
> Komponeten von denen abhängen. Durch die beiden errechneten
> vektoren lassen sich dann alle anderen erzeugen!
Das ist genau richtig. Du kannst zeigen (das solltest du auch tun), dass jeder Lösungsvektor sich als Linearkombination dieser beiden Vektoren darstellen lässt.
>
> Meine eigentlich Frage ist (wenn meine obige Überlegung
> korrekt ist?) ob 2 Vektoren die Basis des [mm]IR^{4}[/mm] sein
> kann?
Das kann nicht sein. Eine Basis des [mm] \IR^{4} [/mm] hat immer 4 Basiselemente. Dein Lösungsraum ist aber nicht der ganze [mm] \IR^{4}[/mm], sondern ein echter Unterraum und zwar ein zweidimensionaler.
Gruß
Sigrid
> Müssen da nicht 4 vektoren nötig sein?
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