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Hallo,
ich brauche Hilfe bei der folgenden Aufgabe:
Sei V ein K-Vektroraum und [mm] U_{1}, U_{2} [/mm] Untervektorräume von V.
Zeige, dass die Abb
[mm] \pi|_{U_{1}}: U_{1} \to (U_{1}+U_{2}/U_{2},x \mapsto x+U_{2} [/mm] ein Epimorphismus mit Kern = [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] ist und:
benutze die universelle Eigenschaft eines Quotientenvektorraums um zu zeigen, dass es einen natürlichen Isomorphismus
[mm] U_{1}/(U_{1} \cap U_{2}) \cong (U_{1}+U_{2})/U_{2}
[/mm]
Ich weiß, dass die Eigenschaften des Quotientenvektors ist, aber irgendwie finde ich weder zum ersten, noch zum zweiten Teil der Aufgabe einen Zugang.
Vielleicht könnt ihr mir helfen.
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Mo 05.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Naja, offenbar ist
[mm] $\pi|_{U_1} [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} U_1 & \to & (U_1+U_2)/U_2 \\[5pt] x & \mapsto & x+U_2 \end{array}$
[/mm]
ein Vektorraumhomomorphismus. Für beliebiges [mm] $y=u_1+u_2 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] = [mm] u_1 [/mm] + [mm] U_2 \in (U_1+U_2)/U_2$ [/mm] mit [mm] $u_1 \in U_1$ [/mm] und [mm] $u_2 \in U_2$ [/mm] ist [mm] $\pi_{U_1}(u_1)=y$, [/mm] d.h. [mm] $\pi|_{U_1}$ [/mm] ist surjektiv.
Weiterhin gilt:
[mm] $Kern(\pi|_{U_1}) [/mm] = [mm] \{x \in U_1\, : \, x+U_2 = U_2\} [/mm] = [mm] \{x \in U_1\, : \, x \in U_2\} [/mm] = [mm] U_1 \cap U_2$.
[/mm]
Die zweite Aussage folgt sofort aus dem Homomorphiesatz
[mm] $Bild(\pi|_{U_1}) \cong U_1/Kern(\pi|_{U_1})$
[/mm]
und dem ersten Teil.
Liebe Grüße
Julius
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| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:45 Di 06.12.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo,
ich habe eine ähnliche Aufgabe zu lösen und versuche diese gerade nachzuvollziehen. Leider kann ich deine Vorgehensweise nicht nachvollziehen. Kannst du mir vielleicht noch einmal erklären, wie du auf folgendes kommst?
> [mm]\pi|_{U_1} : \begin{array}{ccc} U_1 & \to & (U_1+U_2)/U_2 \\[5pt] x & \mapsto & x+U_2 \end{array}[/mm]
>
> ein Vektorraumhomomorphismus. Für beliebiges [mm]y=u_1+u_2 + U_2 = u_1 + U_2 \in (U_1+U_2)/U_2[/mm]
> mit [mm]u_1 \in U_1[/mm] und [mm]u_2 \in U_2[/mm] ist [mm]\pi_{U_1}(u_1)=y[/mm], d.h.
> [mm]\pi|_{U_1}[/mm] ist surjektiv.
Wie hast du dein y gewählt, warum fällt dann was weg? Und wie schließt du auf Surjektivität?
Vielen DAnk für deine Antwort im Voraus:)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:28 Fr 09.12.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Nescio!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage vollständig in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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