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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Mo 20.11.2006 | | Autor: | ramok |
| Aufgabe | Es seien K ein Köper, M eine nicht-leere Menge und x enthalten M ein Element. Wir betrachten den
K-Vektorraum [mm] K^M [/mm] der Abbildungen M --> K. Zeigen Sie:
U = {f enthalten [mm] K^M [/mm] | f(x) = 0} und
V = {f enthalten [mm] K^M [/mm] | f ist konstant, d.h. f(a) = f(b) für alle a, b enthalten in M}
(b) U n V = {0}.
(c) U + V = [mm] K^M.
[/mm]
Insgesamt gilt also [mm] K^M [/mm] = U (+) V . |
* Ich habe diese Frage nicht in anderen Foren gestellt *
Hi,
also ich komme mit dieser Aufgabe fast garnicht zurecht.
Wie zeige ich das sich U und V mit null schneiden??
Vorallem weis ich nicht wie ich in aufgaben teil c) zeigen soll das u+v = [mm] K^M [/mm] bildet. Der U bildet ja immer auf null ab und v ist eine konstante funktion.
Total verwirrent und unser tutor hatte auf anhieb auch keine lösung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Di 21.11.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo ramok
W ist der Vektorraum aller Funktionen von M nach K. (Was ist die Summe zweier solchen Funktionen, welche Funktion ist das Nullelement des Vektorraums?)
U ist der lineare Unterraum aller Funktionen, die an der Stelle x das Nullelement von K sind.
V ist der lineare Unterraum aller konstanten Funktionen.
Sei jetzt f eine Funktion in [mm] $U\cap [/mm] V$, was kannst du daraus für f schliessen? Kannst du daraus schliessen, dass f das Nullelement des Vektorraums ist, wenn du weisst, dass f sowohl in U als auch in V ist?
Sei umgekehrt f irgendeine Funktion von M nach K. Kannst du zwei Funktionen g und h finden, so dass g+h=f und g in U und h in V? Es sollte also g(x)=0 gelten und h sollte konstant sein. Ueberlege dir was h(x) sein muss, damit g+h=f gelten kann. Wenn du h(x) kennst, kennst du ganz h, da ja h konstant sein muss, wie musst du dann g definieren? (Hint: Wenn g+h=f, dann g=f-h.)
mfG Moudi
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