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Hallo Leute.
Ich habe da ein Paar Fragen zu euch.
Ich hoffe ihr könnt mir ein bißchen helfen.
Un zwar:
Zeigen Sie: Die Menge S:={(1,-2,3,-4),(2,-3,6,-11),(-1,3,-2,6)} [mm] \subseteq\IR^{4} [/mm] ist linear unabhängig im Vektorraum [mm] \IR^{4}. [/mm] Ergänzen Sie die Menge zu einer Rasis des [mm] \IR^{4}.
[/mm]
Also die lineare Unabhängigkeit zeige ich so:
Nehmen Wir die Drei Vektoren seien: s1, s2, s3.
wenn es also keine x ungleich 0 gibt, so dass
s1*x1+s2*x2+s3*x3=0,
dann sind die Vektoren linear unabhängig.
Wie ergänze ich die menge zur einer basis von [mm] \IR^{4}?
[/mm]
Und die nächste Frage ist:
Im [mm] \IR [/mm] - Vektorraum [mm] \IR^{3} [/mm] seien zwei Unterräume U und W gegeben durch:
U:= <(1,2,1),(2,4,0)>,
W:=<(1,1,1),(2,9,-2)>.
Bestimmen Sie eine Basis für U [mm] \cap [/mm] W.
also ich weis, das die Dimension von den beiden 2 ist.
sonst fehlt mir irgendwie der Ansatz.
Bitte um Hilfe.
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Hallo!
Um ein System von Vektoren zu einer Basis zu ergänzen, kannst du entweder den Basisergänzungssatz anwenden und einfach genügend (in diesem Fall einen) Vektoren hinzufügen, die linear unabhängig zu den bereits bestehenden sind (d.h. [mm]\lambda_{1}x_{1} + \lambda_{2}x_{2} + \lambda_{3}x_{3} = \lambda_{4}x_{4}[/mm] darf als einzige Lösung [mm]\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=\lambda_{4}=0[/mm] haben).
Falls Du auf die Schnelle keinen passenden Vektor [mm]\lambda_{4}[/mm] findest, musst du es anders machen: gehe von einer Basis aus (z.B. der kanonischen Basis) und wende einfach 3 mal den Austauschsatz von Steinitz (bzw. den "Kleinen Austauschsatz") an.
Gruss,
Michael
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