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| Aufgabe | Finden Sie eine Basis des [mm] R^{4}, [/mm] die sowohl eine Basis des Lösungsraums
von [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 3x_{4} [/mm] = 0 als auch eine Basis des Lösungsraums von [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] - [mm] 2x_{4} [/mm] = [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] - [mm] 5x_{4} [/mm] = 0 enthält. |
Hallo an alle.
Ist der Gedanke für den ersten Schritt der richtige?
(I) [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 3x_{4} [/mm] = 0
(II) [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] - [mm] 2x_{4} [/mm] = 0
(III) [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] - [mm] 5x_{4} [/mm] = 0
Fasse ich jetzt die drei Gleichungen zu einer Zusammen?
Also (I) - (II), dann habe ich raus:
- [mm] 2x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] + [mm] 5x_{4} [/mm] = 0
(III) [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] - [mm] 5x_{4} [/mm] = 0
Hups, wenn ich das jetzt addiere, komme ich auf
0=0
Da stimmt doch was nicht...
Kann mir jemand helfen?
LG
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Hallo sethonator,
> Finden Sie eine Basis des [mm]R^{4},[/mm] die sowohl eine Basis des
> Lösungsraums
> von [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]3x_{4}[/mm] = 0 als auch eine Basis des
> Lösungsraums von [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] - [mm]2x_{4}[/mm] = [mm]2x_{2}[/mm] +
> [mm]x_{3}[/mm] - [mm]5x_{4}[/mm] = 0 enthält.
> Hallo an alle.
>
> Ist der Gedanke für den ersten Schritt der richtige?
Ja
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> (I) [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]3x_{4}[/mm] = 0
> (II) [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] - [mm]2x_{4}[/mm] = 0
> (III) [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] - [mm]5x_{4}[/mm] = 0
>
> Fasse ich jetzt die drei Gleichungen zu einer Zusammen?
>
> Also (I) - (II), dann habe ich raus:
>
> - [mm]2x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] + [mm]5x_{4}[/mm] = 0
> (III) [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] - [mm]5x_{4}[/mm] = 0
>
> Hups, wenn ich das jetzt addiere, komme ich auf
>
> 0=0
Jetzt kannst Du aus je zwei Gleichungen eine Basis bilden.
>
> Da stimmt doch was nicht...
>
> Kann mir jemand helfen?
>
> LG
>
>
Gruß
MathePower
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Hi!! Danke für die schnelle Antwort
> > Also (I) - (II), dann habe ich raus:
> >
> > - [mm]2x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] + [mm]5x_{4}[/mm] = 0
> > (III) [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] - [mm]5x_{4}[/mm] = 0
> >
> > Hups, wenn ich das jetzt addiere, komme ich auf
> >
> > 0=0
>
>
> Jetzt kannst Du aus je zwei Gleichungen eine Basis bilden.
>
>
Aber meine zwei Gleichungen sind doch gleich, bis auf die Vorzeichen.
Wie kann ich daraus eine Basis bilden?
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Hallo sethonator,
> Hi!! Danke für die schnelle Antwort
>
> > > Also (I) - (II), dann habe ich raus:
> > >
> > > - [mm]2x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] + [mm]5x_{4}[/mm] = 0
> > > (III) [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] - [mm]5x_{4}[/mm] = 0
> > >
> > > Hups, wenn ich das jetzt addiere, komme ich auf
> > >
> > > 0=0
> >
> >
> > Jetzt kannst Du aus je zwei Gleichungen eine Basis bilden.
> >
> >
> Aber meine zwei Gleichungen sind doch gleich, bis auf die
> Vorzeichen.
>
> Wie kann ich daraus eine Basis bilden?
Ich meinte, aus den Gleichungen (I) und (II) kannst Du eine Basis bilden.
Gruß
MathePower
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Finden Sie eine Basis des $ [mm] R^{4}, [/mm] $ die sowohl eine Basis des Lösungsraums
von $ [mm] x_{1} [/mm] $ - $ [mm] x_{2} [/mm] $ + $ [mm] 3x_{4} [/mm] $ = 0 als auch eine Basis des Lösungsraums von $ [mm] x_{1} [/mm] $ + $ [mm] x_{2} [/mm] $ + $ [mm] x_{3} [/mm] $ - $ [mm] 2x_{4} [/mm] $ = $ [mm] 2x_{2} [/mm] $ + $ [mm] x_{3} [/mm] $ - $ [mm] 5x_{4} [/mm] $ = 0 enthält.
Ach halt, was ist denn wenn ich folgendes mache:
$ [mm] x_{1} [/mm] $ + $ [mm] x_{2} [/mm] $ + $ [mm] x_{3} [/mm] $ - $ [mm] 2x_{4} [/mm] $ = $ [mm] 2x_{2} [/mm] $ + $ [mm] x_{3} [/mm] $ - $ [mm] 5x_{4} [/mm] $ = 0
[mm] =x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 0x_{3} [/mm] + [mm] 3x_{4}
[/mm]
Also (II) : [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 3x_{4}
[/mm]
So als nächstes suche ich mir eine Basis aus der ersten Gleichung:
[mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 3x_{4} [/mm] --> Daran sieht man ja schon, dass die Basis, die ich für Gleichung eins ausrechne auch für Gleichung zwei gelten muss.
Dann sage ich :
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] - [mm] 3x_{4}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = x
[mm] x_{2} [/mm] = y
[mm] x_{4} [/mm] = z
[mm] \vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
[mm] \vektor{y - 3z \\ y \\ z}
[/mm]
also
y * [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + z [mm] \vektor{-3 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Demnach sind die zwei Vektoren [mm] v_{1}= \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
und [mm] v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 0 \\ 1} [/mm] die Basis.
Brauche ich im [mm] R^{4} [/mm] aber nicht nicht 4 Vektoren?
Stimmt das soweit?
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Hallo sethonator,
> Finden Sie eine Basis des [mm]R^{4},[/mm] die sowohl eine Basis des
> Lösungsraums
> von [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]3x_{4}[/mm] = 0 als auch eine Basis des
> Lösungsraums von [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] - [mm]2x_{4}[/mm] = [mm]2x_{2}[/mm] +
> [mm]x_{3}[/mm] - [mm]5x_{4}[/mm] = 0 enthält.
>
> Ach halt, was ist denn wenn ich folgendes mache:
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] - [mm]2x_{4}[/mm] = [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] - [mm]5x_{4}[/mm] =
> 0
>
> [mm]=x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]0x_{3}[/mm] + [mm]3x_{4}[/mm]
>
> Also (II) : [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]3x_{4}[/mm]
>
> So als nächstes suche ich mir eine Basis aus der ersten
> Gleichung:
> [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]3x_{4}[/mm] --> Daran sieht man ja schon,
> dass die Basis, die ich für Gleichung eins ausrechne auch
> für Gleichung zwei gelten muss.
>
> Dann sage ich :
>
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm] - [mm]3x_{4}[/mm]
>
> [mm]x_{1}[/mm] = x
> [mm]x_{2}[/mm] = y
> [mm]x_{4}[/mm] = z
Und wo ist [mm]x_{3}[/mm] geblieben?
>
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
>
> [mm]\vektor{y - 3z \\ y \\ z}[/mm]
>
> also
>
> y * [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] + z [mm]\vektor{-3 \\ 0 \\ 1}[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Demnach sind die zwei Vektoren [mm]v_{1}= \vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> und [mm]v_{2}[/mm] = [mm]\vektor{-3 \\ 0 \\ 1}[/mm] die Basis.
>
> Brauche ich im [mm]R^{4}[/mm] aber nicht nicht 4 Vektoren?
Das stimmt, wenn es sich um den ganzen [mm]\IR^{4}[/mm] handelt.
Hier haben wir es aber mit einem Unterraum des [mm]\IR^{4}[/mm] zu tun.
>
> Stimmt das soweit?
>
Leider nein.
Löse doch einfach das Gleichungsssystem
[mm] x_{1} - x_{2} + 3x_{4} = 0[/mm]
[mm] x_{1} + x_{2} + x_{3} - 2x_{4} = 0 [/mm]
nach dem Variablen [mm]x_{1}, \ x_{2}, \ x_{3}, \ x_{4}[/mm] auf.
Gruß
MathePower
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Also ich habe das jetzt gelöst und habe für
[mm] x_{1} [/mm] = 0
[mm] x_{2} [/mm] = 0
[mm] x_{3} [/mm] = 0
[mm] x_{4} [/mm] = 0
raus.
Richtig?
Damit habe ich ja bewiesen, dass die Vektoren linear unabhängig sind.
Und jetzt?
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Hallo sethonator,
> Also ich habe das jetzt gelöst und habe für
> [mm]x_{1}[/mm] = 0
> [mm]x_{2}[/mm] = 0
> [mm]x_{3}[/mm] = 0
> [mm]x_{4}[/mm] = 0
>
> raus.
>
> Richtig?
>
> Damit habe ich ja bewiesen, dass die Vektoren linear
> unabhängig sind.
>
> Und jetzt?
Das Gleichungssystem sollst Du allgemein lösen, nicht speziell.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Do 27.11.2008 | | Autor: | Hav0c |
also ich bin wohl im selben kurs wie sethonator und habe die selben aufgaben, bei dieser Aufgabe habe ich mir die Gauss-Endfigur zusammengeschustert, die dimension rmittelt und 2 unbeklannte freigewählt..
also x4 = t x3 = tau gesezt
und dann raus
t* [mm] \vektor{0\\ 3\\-1\\1} [/mm] und tau * [mm] \vektor{1\\ 1\\-2\\0}
[/mm]
kann das jemand bestätigen?
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Hallo Hav0c,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> also ich bin wohl im selben kurs wie sethonator und habe
> die selben aufgaben, bei dieser Aufgabe habe ich mir die
> Gauss-Endfigur zusammengeschustert, die dimension rmittelt
> und 2 unbeklannte freigewählt..
> also x4 = t x3 = tau gesezt
> und dann raus
> t* [mm]\vektor{0\\ 3\\-1\\1}[/mm] und tau * [mm]\vektor{1\\ 1\\-2\\0}[/mm]
>
> kann das jemand bestätigen?
Das paßt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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Hi,
wie klein die Welt ist. 
Also mein Problem ist wahrscheinlich schon das Gaußschen Eliminationsverfahren.
Welche Gleichungen verrechne ich?
Die erste ist ja klar:
[mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 3x_{4} [/mm] = 0
Und die addiere oder subtrahiere ich mit welcher Gleichung?
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Hallo sethonator,
> Hi,
> wie klein die Welt ist.
>
> Also mein Problem ist wahrscheinlich schon das Gaußschen
> Eliminationsverfahren.
>
> Welche Gleichungen verrechne ich?
>
> Die erste ist ja klar:
> [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]3x_{4}[/mm] = 0
>
> Und die addiere oder subtrahiere ich mit welcher
> Gleichung?
>
Die zweite Gleichung lautet:
[mm]x_{1} + x_{2} + x_{3} - 2x_{4} =0[/mm]
Zusammen mit der obigen Gleichung erhältst Du dann:
[mm]x_{1} - x_{2} + 3x_{4} = 0[/mm]
[mm]x_{1} + x_{2} + x_{3} - 2x_{4} =0[/mm]
Die Gleichungen kannst Du addieren und erhältst:
[mm]x_{1} - x_{2} + 3x_{4} = 0[/mm]
[mm]2*x_{1}+x_{3} + x_{4}=0[/mm]
Das lässt sich jetzt schon nach [mm]x_{2}, \ x_{3}[/mm] auflösen.
Gruß
MathePower
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Heißt das dann soviel,
dass mein
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{4} [/mm] ist und mein
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] -2x_{1} [/mm] - [mm] x_{4} [/mm] ?
In welche Gleichung setze ich das dann ein?
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Hallo sethonator,
> Heißt das dann soviel,
> dass mein
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]x_{1}[/mm] + [mm]3x_{4}[/mm] ist und mein
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]-2x_{1}[/mm] - [mm]x_{4}[/mm] ?
>
> In welche Gleichung setze ich das dann ein?
Das sind jetzt Deine Lösungen,
Wenn Du jetzt für [mm]x_{1}=s[/mm] und für [mm]x_{4}=t[/mm] setzt,
erhältst Du die allgemeine Lösung.
Gruß
MathePower
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Gut,
also allgemeien Lösung habe ich raus:
a* [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -2 \\ 0} [/mm] + b* [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ -1 \\ -2}
[/mm]
Ist das korrekt?
Als Basis dafür habe ich die Gleichung
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] - [mm] 2x_{4} [/mm] = 0 genommen
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Hallo sethonator,
> Gut,
> also allgemeien Lösung habe ich raus:
>
> a* [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ -2 \\ 0}[/mm] + b* [mm]\vektor{0 \\ 3 \\ -1 \\ -2}[/mm]
Das muß doch so heißen:
[mm]a*\vektor{1 \\ 1 \\ -2 \\ 0} + b* \vektor{0 \\ 3 \\ -1 \\ \red{1}}[/mm]
,da [mm]x_{4}=b[/mm] gesetzt wurde.
>
> Ist das korrekt?
Ja, bis auf den kleinen Flüchtigkeitsfehler.
>
> Als Basis dafür habe ich die Gleichung
>
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] - [mm]2x_{4}[/mm] = 0 genommen
Nun jetzt hast Du den Lösungsraum gefunden.
Eine Basis ist daher:
[mm]<\vektor{1 \\ 1 \\ -2 \\ 0}, \ \vektor{0 \\ 3 \\ -1 \\ 1}>[/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:22 Fr 28.11.2008 | | Autor: | sethonator |
Vielen Dank!
Ihr habt mich mal wieder gerettet!
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