Vektorräume < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 So 14.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
| Aufgabe 1 | | Man gebe eine Basis des Vektorraums [mm] M_{m,n}(K) [/mm] der m×n-Matrizen an. Was ist die Dimension des Vektorraums? |
| Aufgabe 2 | | (EDIT: Aufgabe 2 und 3 entfernt. Bitte ggf. in einer eigenen Diskussion posten.) |
Hallo,
also zu der ersten aufgabe, weiß ich aus der vorlesung, dass die einheitsvektoren [mm] e_{1}^{n},...,e_{n}^{n} [/mm] eine basis von [mm] V_{n}(K) [/mm] bilden also dim [mm] V_{n}(K) [/mm] = n ist. kann man dieses bsp jetzt einfach übertragen und sagen, dass die einheitsvektoren [mm] e_{1}^{n},...,e_{m}^{n} [/mm] eine basis von [mm] V_{m,n}(K) [/mm] bilden? nur was ist dann die dim?
zur zweiten aufgabe hab ich mir überlegt, dass da ja ne genau dann wenn aussage steht und ich somit sowohl die hin als auch die rückrichtung zeigen muss. zur hinrichtung hab ich mir gedacht will ich zeigen, dass die zwei vektoren keine basis bilden und zur rückrichtung das zwei vektoren skalare vielfache voneinander sind. leider weiß ich aber nich so richtig wie ich da überhaupt beginnen soll?
und zu letzten aufgabe hab ich noch nich mal irgendeine idee. natürlich kenne ich die funktionen aus ana aber inwiefern ich das jetzt auf lina beziehen kann fällt mir einfach nicht ein.
bin wie immer über jeden ratschlag glücklich. danke schon mal im vorhinein.
gruß fawkes
|
|
| |
|
Hallo,
bitte stell verschiedene Fragen in verschiedenen Diskussionen, also so, wie es lt. Forenregeln vorgesehen ist.
Es wird sonst zu chaotisch.
Ich entferne daher die 2. und 3. frage aus Deinem Post, poste sie erneut in getrennten Diskussionen.
Ich antworte auf Aufgabe 1:
> Man gebe eine Basis des Vektorraums [mm]M_{m,n}(K)[/mm] der
> m×n-Matrizen an. Was ist die Dimension des Vektorraums?
>
weiß ich aus der vorlesung,
> dass die einheitsvektoren [mm]e_{1}^{n},...,e_{n}^{n}[/mm] eine
> basis von [mm]V_{n}(K)[/mm] bilden also dim [mm]V_{n}(K)[/mm] = n ist. kann
> man dieses bsp jetzt einfach übertragen und sagen, dass die
> einheitsvektoren [mm]e_{1}^{n},...,e_{m}^{n}[/mm] eine basis von
> [mm]V_{m,n}(K)[/mm] bilden?
Man würde nun von Dir wissen wollen, was Du mit [mm] e_{1}^{n},...,e_{m}^{n} [/mm] meinst.
ich kann mir im Moment keinen rechten Reim drauf machen.
Wie sehen denn die Elemente von $ [mm] M_{m,n}(K) [/mm] $ aus?
Von derselben Machart ist auch die Basis des Raumes. Sind die Elemente Deines Raumes matrizen, so besteht nicht plötzlich die Basis aus Türklinken.
Du mußt also Matrizen suchen, mit denen Du jede Matrix aus $ [mm] M_{m,n}(K) [/mm] $ erzeugen kannst und die zusätzlich linear unabhängig sind.
---
Vielleicht ist Dir noch nicht ganz klar, was Vektoren sind: es sind Elemente eines Vektorraumes, die sehr verschieden gemacht sein können. Es sind nicht unbedingt in jedem Falle die Spalten, die Du aus der >Schule kennst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 So 14.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
also ich denke mal das die element von [mm] M_{m,n}(K) [/mm] alles matrizen sind, die m zeilen und n spalten haben. also muss demnach ja auch die basis des vektorraums aus einer mxn-matrix bestehen und da hab ich halt an eine einheitsmatrix gedacht die m zeilen und n spalten hat. ist das soweit schon richtig?
|
|
|
| |
|
> also ich denke mal das die element von [mm]M_{m,n}(K)[/mm] alles
> matrizen sind, die m zeilen und n spalten haben. also muss
> demnach ja auch die basis des vektorraums aus einer
> mxn-matrix bestehen und da hab ich halt an eine
> einheitsmatrix gedacht die m zeilen und n spalten hat. ist
> das soweit schon richtig?
Hallo,
wie soll die aussehen? Welche Matrix genau meinst Du?
Machen wi's der Einfachheit halber mal für 2x5-Matrizen.
Gruß v. Amgela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
gut machen wir das ganze erstmal für 2x5-matrizen:
also würde ich mir jetzt erstmal eine 2x5-matrix definieren:
[mm] v=\pmat{ a & b & c & d & e \\ f & g & h & i & j }
[/mm]
wie ich dann gestern gelernt habe, muss man, wenn die vektoren eine basis bilden, sie als linearkombination darstellen können und nur eine lösung bekommen wenn [mm] a_1 [/mm] bis [mm] a_n [/mm] alle gleich null sind, sprich:
[mm] a_1v_1+...+a_nv_n=0 \Rightarrow a_1=...=a_n=0
[/mm]
setzt man die 2x5-matrix nun in diese vorgabe ein so folgt:
[mm] a_1\pmat{ a_1 & b_1 & c_1 & d_1 & e_1 \\ f_1 & g_1 & h_1 & i_1 & j_1 }+...+a_n\pmat{ a_n & b_n & c_n & d_n & e_n \\ f_n & g_n & h_n & i_n & j_n }=0 \Rightarrow a_1=...=a_n=0
[/mm]
als mögliche vektoren die linear unabhängig sind hab ich mir jetzt einfach die folgenden vektoren gewählt, da diese zusammen jeden möglichen vektor in den 2x5-matrizen erzeugen und lin.u. sind:
[mm] b_1=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] b_2=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
...
[mm] b_{10}=\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_1b_1+...+a_{10}b_{10}=0 [/mm] wenn [mm] a_1=...=a_{10}=0 [/mm] sind.
ist das richtig oder bin ich mit meinen gedanken völlig falsch?
|
|
|
| |
|
> also würde ich mir jetzt erstmal eine 2x5-matrix
> definieren:
> [mm]v=\pmat{ a & b & c & d & e \\ f & g & h & i & j }[/mm]
> wie ich
> dann gestern gelernt habe, muss man, wenn die vektoren eine
> basis bilden, sie als linearkombination darstellen können
> und nur eine lösung bekommen wenn [mm]a_1[/mm] bis [mm]a_n[/mm] alle gleich
> null sind,
Hallo,
ich sehe, Du hast in dem Monsterthread tatsächlich etwas gelernt.
Wir müssen aber noch ein bißchen sortieren:
n Vektoren [mm] v_1, ...,v_n \in [/mm] V sind eine Basis von V, wenn zwei Dinge gelten:
i. Sie sind ein Erzeugendensystem von V, dh. man kann jeden Vektor [mm] v\in [/mm] V als Linearkombination dieser n Vektoren schreiben
ii. Sie sind linear unabhängig,
> sprich:
> [mm]a_1v_1+...+a_nv_n=0 \Rightarrow a_1=...=a_n=0[/mm]
> setzt man
> die 2x5-matrix nun in diese vorgabe ein so folgt:
> [mm]a_1\pmat{ a_1 & b_1 & c_1 & d_1 & e_1 \\ f_1 & g_1 & h_1 & i_1 & j_1 }+...+a_n\pmat{ a_n & b_n & c_n & d_n & e_n \\ f_n & g_n & h_n & i_n & j_n }=0 \Rightarrow a_1=...=a_n=0[/mm]
>
> als mögliche vektoren die linear unabhängig sind hab ich
> mir jetzt einfach die folgenden vektoren gewählt, da diese
> zusammen jeden möglichen vektor in den 2x5-matrizen
> erzeugen und lin.u. sind:
> [mm]b_1=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]b_2=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
> ...
> [mm]b_{10}=\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a_1b_1+...+a_{10}b_{10}=0[/mm] wenn [mm]a_1=...=a_{10}=0[/mm]
> sind.
> ist das richtig oder bin ich mit meinen gedanken völlig
> falsch?
Nein, Du bist richtig und hast eine Basis des fraglichen Raumes gefunden.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
sehr schön das freut mich :) wenn ich das ganze jetzt auf die mxn-matrizen übertrage kann ich das ja ziemlich identisch machen, da ich mit diesen matrizen ja wieder alle matrizen der mxn-matrizen erzeugen kann und sie ein erzeugendensystem bilden und ohne eine der matrizen eben nich mehr. was ich nur noch nich so richtig weiß ist wie jetzt die dim des ganzen ist, da ja soweit ich weiß die dim die anzahl der großtmöglichen anzahl lin.u. vektoren in einem vektorraum ist. so als vermutung würde ich ja sagen ist die dim=m*n???
|
|
|
| |
|
> sehr schön das freut mich :) wenn ich das ganze jetzt auf
> die mxn-matrizen übertrage kann ich das ja ziemlich
> identisch machen, da ich mit diesen matrizen ja wieder alle
> matrizen der mxn-matrizen erzeugen kann und sie ein
> erzeugendensystem bilden und ohne eine der matrizen eben
> nich mehr. was ich nur noch nich so richtig weiß ist wie
> jetzt die dim des ganzen ist, da ja soweit ich weiß die dim
> die anzahl der großtmöglichen anzahl lin.u. vektoren in
> einem vektorraum ist. so als vermutung würde ich ja sagen
> ist die dim=m*n???
Ja klar!
Gruß v. Angela
|
|
|
|
