Vektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Di 25.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
In meiner Vorlesung wurde nun der Vektorraum eingeführt, und wie haben hier ein paar Beispiele, die ich nicht verstehe.
1) [mm]K[/mm] beliebiger Körper. Sei [mm]V[/mm] eine einelementige Menge: [mm]V= \{ 0_V \}[/mm]. Die Abbildungen [mm]+[/mm] und [mm]*[/mm] sind damit bereits definiert. [mm]V[/mm] ist ein Vektorraum über [mm]K[/mm], der Nullvektorraum.
Schon dieses erste Beispiel verstehe ich nicht. Wieso sind denn die Abbildungen $+$ und $*$ plötzlich einfach so definiert? Vor allem brauche ich doch bei $+$ zwei Verschiedene Elemente aus der Menge $V$ und ich hab ja nur eins. Und woher weiß ich, dass $V$ ein Vektorraum über $K$ und nicht über irgendwas anderes ist?
2) [mm]K[/mm] beliebiger Körper. Sei $V=K$. Als Addition in $V$ und als Skalarmultiplikation nimmt man $+$ und $*$ in [mm]K[/mm]. Damit wird [mm]K[/mm] zum Vektorraum über [mm]K[/mm].
Auch dieses zweite Beispiel versteh ich nicht. Also ich mein, wenn ich das jetzt selber prüfen müsste, ob die Menge $V$ ein Vektorraum ist, ich wüsste nicht, wie ich das machen sollte. Also wie ich hier (und auch bei Beispiel 1) ) die verschiedenen Vektorraum-Axiome prüfen müsste. Woher weiß ich zum Beispiel, dass die Axiome Addition in $V$ und Skalarmultiplikation plötzlich zu $+$ und $*$ in [mm]K[/mm] werden?
3) [mm]K[/mm] beliebiger Körper. [mm] $V=K^2=K\times [/mm] K$. Definieren [mm] (a_1,b_1)+(a_2,b_2):=(a_1+a_2,b_1+b_2) [/mm] und [mm] a*(a_1,b_1):=(aa_1,ab_1). [/mm] Damit wird [mm] k^2 [/mm] zu einem Vektorraum über [mm]K[/mm].
Ja, auch hier wieder das selbe Spiel, ich versteh nicht warum das ein Vektorraum sein soll, und weiß auch nicht, wie ich das prüfen kann. Wie zum Beispiel wöllte ich die Kommutativität der Addition prüfen? Woher weiß ich zum Beispiel, ob [mm] (a_1+a_2,b_1+b_2) [/mm] das gleiche ist wie [mm] (a_2+a_1,b_2+b_1)?
[/mm]
4) Sei [mm] $V=Abb(\IR,\IR)=\{ f:\IR\to\IR Abbildung \} [/mm] = Menge aller Abbildungen [mm] \IR\to\IR$. [/mm] Definieren [mm] f_1+f_2 [/mm] für [mm] $f_1,f_2\in [/mm] V$ durch [mm] (f_1+f_2)(x)=f_1(x)+f_2(x) [/mm] für alle $a [mm] \in \IR$, f:\IR\to\IR [/mm] definieren wir $(a*f)(x)=a*(f(x))$. Damit wird $V$ zum Vektorraum über [mm] \IR.
[/mm]
$Abb(M,K)$ ist ein Vektorraum über [mm]K[/mm], $M$ Menge.
Ja, das ich dieses Beispiel erst recht nicht mehr verstehe, brauch ich denk ich nicht zu erwähnen....
Also wenn ich jetzt so ne Aufgabe bekäme, selber von einer Menge zu sagen, ob sie ein Vektorraum ist oder nicht, diese Aufgabe könnte ich hundertprozentig nicht lösen. Ich versteh auch überhaupt nicht, woher immer klar ist, über welchen Körper der Vektorraum geht. Und gibt es einen Unterschied zwischen Eine Menge wird zum Vektorraum und Eine Menge ist ein Vektorraum?
Ja, so, das wars. Ich bin echt voll überfordert grade...
Wäre echt super, wenn ihr mir helfen könntet.
Vielen Dank und LG, Nadine
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> Also wenn ich jetzt so ne Aufgabe bekäme, selber von einer
> Menge zu sagen, ob sie ein Vektorraum ist oder nicht, diese
> Aufgabe könnte ich hundertprozentig nicht lösen. Ich
> versteh auch überhaupt nicht, woher immer klar ist, über
> welchen Körper der Vektorraum geht. Und gibt es einen
> Unterschied zwischen Eine Menge wird zum Vektorraum und
> Eine Menge ist ein Vektorraum?
Hallo,
"eine Menge ist ein VR" ist genaugenommen falsch.
Zu einem VR gehören als Zutaten
eine Menge V,
ein Körper [mm] (K,+,\dot)
[/mm]
eine Verknüpfung [mm] \oplus, [/mm] welche zwei Elemente aus V zu einem Element aus V verknüpft
eine Verknüpfung [mm] \odot, [/mm] welche ein Elemente aus K und eins aus V zu einem Element aus V verknüpft.
Folgen die Verknüpfungen gewissen Regeln, den VR-Axiomen, so handelt es sich bei dem Komplettset von oben um einen VR.
Über welchen Körper der VR geht, ist nicht unbedingt immer ohne weiteres sonnenklar.
sondern das steht i.d.R. dabei.
Entweder über einem beliebigen Körper K, typisch ist auch über [mm] \IQ, \IR, \IC.
[/mm]
Du mußt auch ein bißchen gucken, wie die Konventionen in Deiner Vorlesung sind.
Bei uns gab es Abschnitte, in denen zu Beginn gesagt würde, daß nun mit K die reellen oder komplexen Zahlen gemeint sind.
> Eine Menge wird zum Vektorraum
Eine Menge allein ist also kein VR. Dazu braucht's Verknüpfungen, und man sagt dann: "Mit diesen Verknüpfungen wird die Menge ein VR."
> 1) [mm]K[/mm] beliebiger Körper. Sei [mm]V[/mm] eine einelementige Menge: [mm]V= \{ 0_V \}[/mm].
> Die Abbildungen [mm]+[/mm] und [mm]*[/mm] sind damit bereits definiert. [mm]V[/mm] ist
> ein Vektorraum über [mm]K[/mm], der Nullvektorraum.
>
> Schon dieses erste Beispiel verstehe ich nicht. Wieso sind
> denn die Abbildungen [mm]+[/mm] und [mm]*[/mm] plötzlich einfach so
> definiert? Vor allem brauche ich doch bei [mm]+[/mm] zwei
> Verschiedene Elemente aus der Menge [mm]V[/mm] und ich hab ja nur
> eins.
Wie gesagt, für einen VR braucht man zwei Verknüpfenungen.
Da Deine Menge nur ein Element enthält, können die verknpüpfungen ja nicht anders definiert sein als durch
[mm] 0_V \oplus 0_V:=0_V
[/mm]
und [mm] k\odot 0_V:=0_V.
[/mm]
Man hat keinerlei Wahl!
> Und woher weiß ich, dass [mm]V[/mm] ein Vektorraum über [mm]K[/mm]
> und nicht über irgendwas anderes ist?
??? Was "anderes" sollte es denn sein?
K steht für einen beliebigen Körper.
>
> 2) [mm]K[/mm] beliebiger Körper. Sei [mm]V=K[/mm]. Als Addition in [mm]V[/mm] und als
> Skalarmultiplikation nimmt man [mm]+[/mm] und [mm]*[/mm] in [mm]K[/mm]. Damit wird [mm]K[/mm]
> zum Vektorraum über [mm]K[/mm].
>
> Auch dieses zweite Beispiel versteh ich nicht. Also ich
> mein, wenn ich das jetzt selber prüfen müsste, ob die
> Menge [mm]V[/mm] ein Vektorraum ist, ich wüsste nicht, wie ich das
> machen sollte. Also wie ich hier (und auch bei Beispiel 1)
> ) die verschiedenen Vektorraum-Axiome prüfen müsste.
Ja, genau.
> Woher weiß ich zum Beispiel, dass die Axiome Addition in [mm]V[/mm]
> und Skalarmultiplikation plötzlich zu [mm]+[/mm] und [mm]*[/mm] in [mm]K[/mm]
> werden?
Weil oben gesagt wird, daß so verknüpft werden soll.
>
> 3) [mm]K[/mm] beliebiger Körper. [mm]V=K^2=K\times K[/mm]. Definieren
> [mm](a_1,b_1)+(a_2,b_2):=(a_1+a_2,b_1+b_2)[/mm] und
> [mm]a*(a_1,b_1):=(aa_1,ab_1).[/mm] Damit wird [mm]k^2[/mm] zu einem
> Vektorraum über [mm]K[/mm].
>
> Ja, auch hier wieder das selbe Spiel, ich versteh nicht
> warum das ein Vektorraum sein soll, und weiß auch nicht,
> wie ich das prüfen kann. Wie zum Beispiel wöllte ich die
> Kommutativität der Addition prüfen? Woher weiß ich zum
> Beispiel, ob [mm](a_1+a_2,b_1+b_2)[/mm] das gleiche ist wie
> [mm](a_2+a_1,b_2+b_1)?[/mm]
Hm. Das ist etwas ungeschickt gemacht von Deinen Chefs,.
Wir nennen jetzt lieber die Verknüpfungen im Körper + und [mm] \dot, [/mm]
und die VR-typischen Verknüpfungen [mm] \oplus [/mm] und [mm] \odot,
[/mm]
und definieren [mm] (a_1, b_1)\oplus (a_2, b_2):=(a_1+a_2, b_1+b_2)
[/mm]
[mm] a\odot (a_1, a_2)=(a*a_1, a*a_2).
[/mm]
Die Kommutativität von [mm] \oplus [/mm] (und alles andere) ergibt sich damit aus den Körperaxiomen.
>
> 4) Sei [mm]V=Abb(\IR,\IR)=\{ f:\IR\to\IR Abbildung \} = Menge aller Abbildungen \IR\to\IR[/mm].
> Definieren [mm]f_1+f_2[/mm] für [mm]f_1,f_2\in V[/mm] durch
> [mm](f_1+f_2)(x)=f_1(x)+f_2(x)[/mm] für alle [mm]a \in \IR[/mm], [mm]f:\IR\to\IR[/mm]
> definieren wir [mm](a*f)(x)=a*(f(x))[/mm]. Damit wird [mm]V[/mm] zum
> Vektorraum über [mm]\IR.[/mm]
> [mm]Abb(M,K)[/mm] ist ein Vektorraum über [mm]K[/mm], [mm]M[/mm] Menge.
>
> Ja, das ich dieses Beispiel erst recht nicht mehr verstehe,
> brauch ich denk ich nicht zu erwähnen....
In der Tat.
Auch hier ist es sicher besser, den VR-Verknüpfungen andere Bezeichnungen zu geben als denen im [mm] \IR.
[/mm]
Dann sieht das so aus
[mm] (f_1\oplus f_2)(x):=f_1(x)+f_2(x)
[/mm]
[mm] (a\odot [/mm] f)(x):=a*f(x)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Di 25.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
Danke für deine Antwort.
> > 1) [mm]K[/mm] beliebiger Körper. Sei [mm]V[/mm] eine einelementige Menge: [mm]V= \{ 0_V \}[/mm].
> > Die Abbildungen [mm]+[/mm] und [mm]*[/mm] sind damit bereits definiert. [mm]V[/mm] ist
> > ein Vektorraum über [mm]K[/mm], der Nullvektorraum.
> >
> > Schon dieses erste Beispiel verstehe ich nicht. Wieso sind
> > denn die Abbildungen [mm]+[/mm] und [mm]*[/mm] plötzlich einfach so
> > definiert? Vor allem brauche ich doch bei [mm]+[/mm] zwei
> > Verschiedene Elemente aus der Menge [mm]V[/mm] und ich hab ja nur
> > eins.
>
> Wie gesagt, für einen VR braucht man zwei
> Verknüpfenungen.
>
> Da Deine Menge nur ein Element enthält, können die
> verknpüpfungen ja nicht anders definiert sein als durch
>
> [mm]0_V \oplus 0_V:=0_V[/mm]
> und [mm]k\odot 0_V:=0_V.[/mm]
> Man hat
> keinerlei Wahl!
Sehen meine Abbildungen dann in voller Form ausgeschrieben so aus:
a) [mm] $\oplus: [/mm] V [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V$ mit [mm] $(0_V,0_V) \mapsto 0_V \oplus 0_V$
[/mm]
b) [mm] $\odot: [/mm] K [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V$ mit [mm] $(k,0_V) \mapsto [/mm] k [mm] \odot 0_V$
[/mm]
Und das Ergebnis von [mm] $0_V \oplus 0_V$ [/mm] und $k [mm] \odot 0_V$ [/mm] ist beidesmal [mm] 0_V [/mm] weil es ja kein anderes Element in der Menge $V$ gibt?
> > Und woher weiß ich, dass [mm]V[/mm] ein Vektorraum über [mm]K[/mm]
> > und nicht über irgendwas anderes ist?
>
> ??? Was "anderes" sollte es denn sein?
>
> K steht für einen beliebigen Körper.
Ja, ich weiß auch nicht... keine Ahnung... ich find das irgendwie nicht so klar ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
> Hallo Angela!
>
> Danke für deine Antwort.
>
>
>
> > > 1) [mm]K[/mm] beliebiger Körper. Sei [mm]V[/mm] eine einelementige Menge: [mm]V= \{ 0_V \}[/mm].
> > > Die Abbildungen [mm]+[/mm] und [mm]*[/mm] sind damit bereits definiert. [mm]V[/mm] ist
> > > ein Vektorraum über [mm]K[/mm], der Nullvektorraum.
> > >
> > > Schon dieses erste Beispiel verstehe ich nicht. Wieso sind
> > > denn die Abbildungen [mm]+[/mm] und [mm]*[/mm] plötzlich einfach so
> > > definiert? Vor allem brauche ich doch bei [mm]+[/mm] zwei
> > > Verschiedene Elemente aus der Menge [mm]V[/mm] und ich hab ja nur
> > > eins.
> >
> > Wie gesagt, für einen VR braucht man zwei
> > Verknüpfenungen.
> >
> > Da Deine Menge nur ein Element enthält, können die
> > verknpüpfungen ja nicht anders definiert sein als durch
> >
> > [mm]0_V \oplus 0_V:=0_V[/mm]
> > und [mm]k\odot 0_V:=0_V.[/mm]
> > Man hat
> > keinerlei Wahl!
>
> Sehen meine Abbildungen dann in voller Form ausgeschrieben
> so aus:
>
> a) [mm]\oplus: V \times V \to V[/mm] mit [mm](0_V,0_V) \mapsto 0_V \oplus 0_V[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) [mm]\odot: K \times V \to V[/mm] mit [mm](k,0_V) \mapsto k \odot 0_V[/mm]
>
> Und das Ergebnis von [mm]0_V \oplus 0_V[/mm] und [mm]k \odot 0_V[/mm] ist
> beidesmal [mm]0_V[/mm] weil es ja kein anderes Element in der Menge
> [mm]V[/mm] gibt?
Ja, so ist es!
>
>
>
> > > Und woher weiß ich, dass [mm]V[/mm] ein Vektorraum über [mm]K[/mm]
> > > und nicht über irgendwas anderes ist?
> >
> > ??? Was "anderes" sollte es denn sein?
> >
> > K steht für einen beliebigen Körper.
>
> Ja, ich weiß auch nicht... keine Ahnung... ich find das
> irgendwie nicht so klar
>
>
>
> LG, Nadine
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Di 25.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> > 2) [mm]K[/mm] beliebiger Körper. Sei [mm]V=K[/mm]. Als Addition in [mm]V[/mm] und als
> > Skalarmultiplikation nimmt man [mm]+[/mm] und [mm]*[/mm] in [mm]K[/mm]. Damit wird [mm]K[/mm]
> > zum Vektorraum über [mm]K[/mm].
> >
> > Auch dieses zweite Beispiel versteh ich nicht. Also ich
> > mein, wenn ich das jetzt selber prüfen müsste, ob die
> > Menge [mm]V[/mm] ein Vektorraum ist, ich wüsste nicht, wie ich das
> > machen sollte. Also wie ich hier (und auch bei Beispiel 1)
> > ) die verschiedenen Vektorraum-Axiome prüfen müsste.
>
> Ja, genau.
>
> > Woher weiß ich zum Beispiel, dass die Axiome Addition in [mm]V[/mm]
> > und Skalarmultiplikation plötzlich zu [mm]+[/mm] und [mm]*[/mm] in [mm]K[/mm]
> > werden?
>
> Weil oben gesagt wird, daß so verknüpft werden soll.
Ok, also ich hab die Abbildungen jetzt nochmal ausgeschrieben:
1) [mm] $\oplus: [/mm] K [mm] \times [/mm] K [mm] \to [/mm] K$ mit $(x,y) [mm] \mapsto [/mm] x [mm] \oplus [/mm] y=x+y$
2) [mm] $\odot: [/mm] K [mm] \times [/mm] K [mm] \to [/mm] K$ mit $(a,x) [mm] \mapsto [/mm] a [mm] \odot [/mm] x = a*x$
Stimmt das so?
So, und da ich ja jetzt quasi nur noch im Körper rechne, sind die Vektorraum-Axiome alle erfüllt, weil sie sind ja quasi genauso wie die Körperaxiome, und für einen Körper müssen die Axiome ja gelten?
Kann man das so sagen?
LG, Nadine
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> Hallo!
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> > > 2) [mm]K[/mm] beliebiger Körper. Sei [mm]V=K[/mm]. Als Addition in [mm]V[/mm] und als
> > > Skalarmultiplikation nimmt man [mm]+[/mm] und [mm]*[/mm] in [mm]K[/mm]. Damit wird [mm]K[/mm]
> > > zum Vektorraum über [mm]K[/mm].
> > >
> > > Auch dieses zweite Beispiel versteh ich nicht. Also ich
> > > mein, wenn ich das jetzt selber prüfen müsste, ob die
> > > Menge [mm]V[/mm] ein Vektorraum ist, ich wüsste nicht, wie ich das
> > > machen sollte. Also wie ich hier (und auch bei Beispiel 1)
> > > ) die verschiedenen Vektorraum-Axiome prüfen müsste.
> >
> > Ja, genau.
> >
> > > Woher weiß ich zum Beispiel, dass die Axiome Addition in [mm]V[/mm]
> > > und Skalarmultiplikation plötzlich zu [mm]+[/mm] und [mm]*[/mm] in [mm]K[/mm]
> > > werden?
> >
> > Weil oben gesagt wird, daß so verknüpft werden soll.
>
> Ok, also ich hab die Abbildungen jetzt nochmal
> ausgeschrieben:
>
> 1) [mm]\oplus: V=K \times V=K \to V=K[/mm] mit [mm](x,y) \mapsto x \oplus y=x+y[/mm]
>
> 2) [mm]\odot: K \times V=K \to V=K[/mm] mit [mm](a,x) \mapsto a \odot x = a*x[/mm]
>
> Stimmt das so?
Hallo,
ja, beachte, daß ich der Deutlichkeit halber an fast allen Stellen "V= " ergänzt habe.
> So, und da ich ja jetzt quasi nur noch im Körper rechne,
> sind die Vektorraum-Axiome alle erfüllt, weil sie sind ja
> quasi genauso wie die Körperaxiome, und für einen Körper
> müssen die Axiome ja gelten?
Ja. Du kannst nun die ganen Vektorraumaxiome nachrechnen, und ihrer Gültigkeit ergibt sich aus den Körperaxiomen.
> Kann man das so sagen?
Ja.
Und Du merkst Dir am besten: mit den oben definierten Veknüpfungen wird jeder Körper K zu einem VR über K.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Di 25.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> Wir nennen jetzt lieber die Verknüpfungen im Körper +
> und [mm]\dot,[/mm]
> und die VR-typischen Verknüpfungen [mm]\oplus[/mm] und [mm]\odot,[/mm]
>
> und definieren [mm](a_1, b_1)\oplus (a_2, b_2):=(a_1+a_2, b_1+b_2)[/mm]
>
> [mm]a\odot (a_1, a_2)=(a*a_1, a*a_2).[/mm]
>
> Die Kommutativität von [mm]\oplus[/mm] (und alles andere) ergibt
> sich damit aus den Körperaxiomen.
> Auch hier ist es sicher besser, den VR-Verknüpfungen
> andere Bezeichnungen zu geben als denen im [mm]\IR.[/mm]
>
> Dann sieht das so aus
>
> [mm](f_1\oplus f_2)(x):=f_1(x)+f_2(x)[/mm]
> [mm](a\odot[/mm] f)(x):=a*f(x)
Mit deinen unterschiedlichen Verknüpfungen kann ich das Ganze bisher recht gut nachvollziehen.
Allerdings würd ich gerne wissen, woher du das weißt bzw. woran du das ablesen kannst, dass das eine Verknüfungen in $V$ und das andere Verknüpfungen in $K$ sind, ich hätte das jetzt nicht erkannt.
Gerade bei dem Beispiel mit den Abbildungen, ich hab die jetzt nochmal aufgeschrieben:
$ [mm] \oplus: Abb(\IR,\IR) \times Abb(\IR,\IR) \to Abb(\IR,\IR) [/mm] $ mit $ [mm] (f_1,f_2) \mapsto f_1 \oplus f_2 [/mm] $
Woher weißt du, dass dieses hier berechnet wird wie eine Summation in $K$, dass kann man doch aus der Definition vom Prof garnicht ablesen. Warum könnte es nicht z.b. auch heißen [mm](f_1\oplus f_2)(x):=f_1(x) \oplus f_2(x)[/mm]? Und wir haben ja auch noch gar nicht gelernt, wie man denn zwei Elemente aus [mm]V[/mm] konkret miteinander addiert, so dass ich es daher ableiten könnte...
LG, Nadine
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> Hallo Angela!
>
> > Wir nennen jetzt lieber die Verknüpfungen im Körper +
> > und [mm]\dot,[/mm]
> > und die VR-typischen Verknüpfungen [mm]\oplus[/mm] und [mm]\odot,[/mm]
> >
> > und definieren [mm](a_1, b_1)\oplus (a_2, b_2):=(a_1+a_2, b_1+b_2)[/mm]
>
> >
> > [mm]a\odot (a_1, a_2)=(a*a_1, a*a_2).[/mm]
> >
> > Die Kommutativität von [mm]\oplus[/mm] (und alles andere) ergibt
> > sich damit aus den Körperaxiomen.
>
>
>
> > Auch hier ist es sicher besser, den VR-Verknüpfungen
> > andere Bezeichnungen zu geben als denen im [mm]\IR.[/mm]
> >
> > Dann sieht das so aus
> >
> > [mm](f_1\oplus f_2)(x):=f_1(x)+f_2(x)[/mm]
> > [mm](a\odot[/mm]
> f)(x):=a*f(x)
>
> Mit deinen unterschiedlichen Verknüpfungen kann ich das
> Ganze bisher recht gut nachvollziehen.
Hallo,
das freut mich.
>
> Allerdings würd ich gerne wissen, woher du das weißt bzw.
> woran du das ablesen kannst, dass das eine Verknüfungen in
> [mm]V[/mm] und das andere Verknüpfungen in [mm]K[/mm] sind, ich hätte das
> jetzt nicht erkannt.
>
> Gerade bei dem Beispiel mit den Abbildungen, ich hab die
> jetzt nochmal aufgeschrieben:
>
> [mm]\oplus: Abb(\IR,\IR) \times Abb(\IR,\IR) \to Abb(\IR,\IR)[/mm]
> mit [mm](f_1,f_2) \mapsto f_1 \oplus f_2[/mm]
>
> Woher weißt du, dass dieses hier berechnet wird wie eine
> Summation in [mm]K[/mm], dass kann man doch aus der Definition vom
> Prof garnicht ablesen. Warum könnte es nicht z.b. auch
> heißen [mm](f_1\oplus f_2)(x):=f_1(x) \oplus f_2(x)[/mm]? Und wir
> haben ja auch noch gar nicht gelernt, wie man denn zwei
> Elemente aus [mm]V[/mm] konkret miteinander addiert, so dass ich es
> daher ableiten könnte...
Ich versuche zu antworten:
Wenn wir die Menge der reellen Funktionen zu einem VR machen wollen, brauchen wir eine Verknüpfung [mm] \oplus, [/mm] die uns zwei Funktionen [mm] f_1, f_2 [/mm] verknüpft und eine dritte [mm] f_1\oplus f_2 [/mm] daraus macht.
Wie diese neue Funktion nun aussehen soll, muß man irgendwie erklären.
Wie kann man Funktionen definieren? Indem man ihren Funktionswert an jeder beliebigen Stelle angibt.
Hier: [mm] (f_1\oplus f_2)(x):= f_1(x) [/mm] + [mm] f_2(x) [/mm] für alle [mm] x\in \IR.
[/mm]
[mm] \oplus [/mm] verknüpft links zwei Funktionen zu einer dritten, [mm] (f_1\oplus f_2)(x) [/mm] ist der Funktionswert dieser Funktion an der Stelle x, und [mm] f_1(x) [/mm] + [mm] f_2(x) [/mm] ist die ganz normale Summe zweier reeller Zahlen, nämlich der Funktionswerte von [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] an der Stelle x.
Und warum definiert man das so? Weil's funktioniert und ein schöner Vektorraum daraus wird. (Naja, eigentlich ist's anders: die Definition ist irgendwie naheliegend, und man freut sich, daß man damit eine Vektorraum bekommt.)
Für die Multiplikation von Körperelementen mit Funktionen entsprechend.
Eventuell ist eins Deiner Probleme hier auch, daß Du nicht unterscheidest zwischen der Funktion f und ihrem Funktionswert an der Stelle x, also f(x). Das Problem hatte ich nach der Schule noch ein Weilchen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Di 25.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela.
> Ich versuche zu antworten:
>
> Wenn wir die Menge der reellen Funktionen zu einem VR
> machen wollen, brauchen wir eine Verknüpfung [mm]\oplus,[/mm] die
> uns zwei Funktionen [mm]f_1, f_2[/mm] verknüpft und eine dritte
> [mm]f_1\oplus f_2[/mm] daraus macht.
> Wie diese neue Funktion nun aussehen soll, muß man
> irgendwie erklären.
>
> Wie kann man Funktionen definieren? Indem man ihren
> Funktionswert an jeder beliebigen Stelle angibt.
>
> Hier: [mm](f_1\oplus f_2)(x):= f_1(x)[/mm] + [mm]f_2(x)[/mm] für alle [mm]x\in \IR.[/mm]
>
> [mm]\oplus[/mm] verknüpft links zwei Funktionen zu einer dritten,
> [mm](f_1\oplus f_2)(x)[/mm] ist der Funktionswert dieser Funktion an
> der Stelle x, und [mm]f_1(x)[/mm] + [mm]f_2(x)[/mm] ist die ganz normale
> Summe zweier reeller Zahlen, nämlich der Funktionswerte
> von [mm]f_1[/mm] und [mm]f_2[/mm] an der Stelle x.
>
> Und warum definiert man das so? Weil's funktioniert und ein
> schöner Vektorraum daraus wird. (Naja, eigentlich ist's
> anders: die Definition ist irgendwie naheliegend, und man
> freut sich, daß man damit eine Vektorraum bekommt.)
>
> Für die Multiplikation von Körperelementen mit Funktionen
> entsprechend.
>
> Eventuell ist eins Deiner Probleme hier auch, daß Du nicht
> unterscheidest zwischen der Funktion f und ihrem
> Funktionswert an der Stelle x, also f(x). Das Problem hatte
> ich nach der Schule noch ein Weilchen.
Puh, das ist schon kompliziert. Das muss ich erstmal sacken lassen. Ich glaube/hoffe aber zu verstehen, was du meinst.
Dann noch eine Frage:
Woher weiß ich denn diesmal (bei dem Beispiel 4) mit den Funktionen), dass es sich um einen Vektorraum über [mm] \IR [/mm] handelt? Ist das davon abhängig, aus welchen Körper der Skalar $k$ kommt, mit dem ich in der zweiten Verknüpfung $K [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V$, $(k,x) [mm] \mapsto [/mm] k*x$ multipliziere?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Di 25.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Woher weiß ich denn diesmal (bei dem Beispiel 4) mit den
> Funktionen), dass es sich um einen Vektorraum über [mm]\IR[/mm]
> handelt? Ist das davon abhängig, aus welchen Körper der
> Skalar [mm]k[/mm] kommt, mit dem ich in der zweiten Verknüpfung [mm]K \times V \to V[/mm],
> [mm](k,x) \mapsto k*x[/mm] multipliziere?
Ganz genau
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Di 25.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Euch allen ganz vielen Dank für eure Hilfe!
LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Mi 26.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Da dachte ich gestern noch, ich hätte das Ganze verstanden, und jetzt sitz ich vor den nächsten Beispielen und verstehe sie nicht so recht...
1) [mm] $V=K^2=K \times [/mm] K$ mit [mm] $(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)$ [/mm] und [mm] $a*(a_1,b_1)=(aa_1,ab_1)$ [/mm] und [mm] $0_V:=(0,0)$.
[/mm]
[mm] $\IC=\IR^2$ [/mm] ist [mm] \IR-Vektorraum. [/mm] Der Körper [mm] \IC [/mm] ist auch ein [mm] \IC-Vektorraum. [/mm] (Die Skalarmultiplikation [mm] $\IR \times \IC \to \IC$ [/mm] ist genau die Multiplikation in [mm] \IC, [/mm] wobei [mm] $\IR \subset \IC$, [/mm] $x [mm] \mapsto [/mm] x+i*0$.
Ja, gut, also...
Ich nehme mal an, das ich fürs konkrete Ausrechnen der Abbildungen $+: [mm] \IC \times \IC \to \IC$, [/mm] $((a,b),(x,y)) [mm] \mapsto [/mm] (a,b)+(x,y)$ und $*: K [mm] \times \IC \to \IC$, [/mm] $(k,(x,y)) [mm] \mapsto [/mm] k*(x,y)$ die beiden Vorschriften da oben nehmen muss, oder?
So, und warum ist das nun (bzw. wird das nun) zu einem Vektorraum über [mm] \IR? [/mm] Dann muss ich doch jetzt für das $K$ aus der Multiplikations-Verknüpfung [mm] $K=\IR$ [/mm] setzen und für $k [mm] \in [/mm] K$ wähle ich $k [mm] \in \IR$? [/mm] Und wenn damit alle Axiome erfüllt sind, wird [mm] \IC [/mm] zu einem Vektorraum über [mm] \IR?
[/mm]
Ich verstehe allerdings nicht so recht, was mir diese eingeklammerte Anmerkung in dem Beispiel da oben sagen soll. Ich muss doch einfach nur mit der vorgegebenen Multiplikation von da oben rechnen, oder?
So, nun zum zweiten Teil. Wieso ist [mm] \IC [/mm] auch ein [mm] \IC-Vektorraum? [/mm] Also die Additions-Verknüpfung müsste ja genauso aussehen, wie ich es beim ersten Teil geschrieben hab, oder? Aber was ist mit der Multiplikation? Die müsste ja so aussehen: $*: K [mm] \times \IC \to \IC$, [/mm] $(k,(x,y)) [mm] \mapsto [/mm] k*(x,y)$. Und wenn ich jetzt einen [mm] \IC-Vektorraum [/mm] haben will, dann muss ich ja das $K$ in der Multiplikation [mm] $K=\IC$ [/mm] setzen, oder? Dann hätte ich also $*: [mm] \IC \times \IC \to \IC$, [/mm] $((a,b),(x,y)) [mm] \mapsto [/mm] (a,b)*(x,y)$. Und wie verknüpfe ich das nun konkret? Ohne das zu wissen, kann ich doch die Axiome gar nicht prüfen, oder?
LG, Nadine
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Hallo
> Hallo zusammen!
>
> Da dachte ich gestern noch, ich hätte das Ganze
> verstanden, und jetzt sitz ich vor den nächsten Beispielen
> und verstehe sie nicht so recht...
>
> 1) [mm]V=K^2=K \times K[/mm] mit
> [mm](a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)[/mm] und
> [mm]a*(a_1,b_1)=(aa_1,ab_1)[/mm] und [mm]0_V:=(0,0)[/mm].
> [mm]\IC=\IR^2[/mm] ist [mm]\IR-Vektorraum.[/mm] Der Körper [mm]\IC[/mm] ist auch ein
> [mm]\IC-Vektorraum.[/mm] (Die Skalarmultiplikation [mm]\IR \times \IC \to \IC[/mm]
> ist genau die Multiplikation in [mm]\IC,[/mm] wobei [mm]\IR \subset \IC[/mm],
> [mm]x \mapsto x+i*0[/mm].
>
> Ja, gut, also...
>
> Ich nehme mal an, das ich fürs konkrete Ausrechnen der
> Abbildungen [mm]+: \IC \times \IC \to \IC[/mm], [mm]((a,b),(x,y)) \mapsto (a,b)+(x,y)[/mm]
> und [mm]*: K \times \IC \to \IC[/mm], [mm](k,(x,y)) \mapsto k*(x,y)[/mm] die
> beiden Vorschriften da oben nehmen muss, oder?
>
> So, und warum ist das nun (bzw. wird das nun) zu einem
> Vektorraum über [mm]\IR?[/mm] Dann muss ich doch jetzt für das [mm]K[/mm]
> aus der Multiplikations-Verknüpfung [mm]K=\IR[/mm] setzen und für
> [mm]k \in K[/mm] wähle ich [mm]k \in \IR[/mm]? Und wenn damit alle Axiome
> erfüllt sind, wird [mm]\IC[/mm] zu einem Vektorraum über [mm]\IR?[/mm]
>
> Ich verstehe allerdings nicht so recht, was mir diese
> eingeklammerte Anmerkung in dem Beispiel da oben sagen
> soll. Ich muss doch einfach nur mit der vorgegebenen
> Multiplikation von da oben rechnen, oder?
>
Nun, es geht ja darum, dass wenn du jetzt [mm] \IC [/mm] als [mm] \IR-Vektorraum [/mm] anschaust, dass du eine reelle Zahl ja schreiben kannst als (x,0), da sie keinen imaginären anteil hat...
Somit, auf die obere Definition angewendet:
Für die Multiplikation mal ne kleine Definition:
"Eine komplexe Zahl ist ein Element z := (x,y) der Menge [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR, [/mm] in welcher wie folgt addiert und multpliziert wird:
(A): (x,y) + (u,v) = (x + u) + i(y + v)
(M): (x,y)*(u,v) = (xu - yv) + i(xv + yu)" (*)
+: [mm] (a_{1},b_{1}) [/mm] + [mm] (a_{2},b_{2}) [/mm] = [mm] (a_{1}+a_{2} [/mm] , [mm] b_{1}+b_{2}) [/mm] =: z
Hier ist Re(z) = [mm] a_{1}+a_{2} [/mm] und Im(z) = [mm] b_{1} [/mm] + [mm] b_{2}
[/mm]
*: Hier multiplizierst du mit einem Element k [mm] \in \IR [/mm] mit der Darstellung k = (x,0). Da die Multiplikation von Komplexen Zahlen wie in (*) definiert ist, ist diese Darstellung nützlich.
> So, nun zum zweiten Teil. Wieso ist [mm]\IC[/mm] auch ein
> [mm]\IC-Vektorraum?[/mm] Also die Additions-Verknüpfung müsste ja
> genauso aussehen, wie ich es beim ersten Teil geschrieben
> hab, oder? Aber was ist mit der Multiplikation? Die müsste
> ja so aussehen: [mm]*: K \times \IC \to \IC[/mm], [mm](k,(x,y)) \mapsto k*(x,y)[/mm].
> Und wenn ich jetzt einen [mm]\IC-Vektorraum[/mm] haben will, dann
> muss ich ja das [mm]K[/mm] in der Multiplikation [mm]K=\IC[/mm] setzen, oder?
> Dann hätte ich also [mm]*: \IC \times \IC \to \IC[/mm],
> [mm]((a,b),(x,y)) \mapsto (a,b)*(x,y)[/mm]. Und wie verknüpfe ich
> das nun konkret? Ohne das zu wissen, kann ich doch die
> Axiome gar nicht prüfen, oder?
>
Was? Ok du multiplizierst jetzt in [mm] \IC.. [/mm] die Addition bleibt ja gleich, die Multiplikation erfolgt jetzt mit einer komplexen Zahl..
Oben, im Beispiel steht " [mm] a*(a_{1},b_{1})=(a*a_{1},a*b_{1}) [/mm] "
Wenn du jetzt zwei komplexe Zahlen multiplizierst, sagen wir z := x + iy und w := u + iv, dann multiplizierst du: z*w = ((x+iy)*u) + ((x+iy)*iv). Also z*w = (z*u,z*v)
Nacher musst du allerdings Realteil und Imaginärteil sortieren, was dir den Ausdruck z*w = (xu - yv) + i(xv + yu) gibt.
> LG, Nadine
Ich hoffe, es ist verständlich und beantwortet dir die Fragen.. :)
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Mi 26.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Amaro.
Danke für deine Antwort. Aber irgendwie hab ich immer noch total die Probleme damit...
> Nun, es geht ja darum, dass wenn du jetzt [mm]\IC[/mm] als
> [mm]\IR-Vektorraum[/mm] anschaust, dass du eine reelle Zahl ja
> schreiben kannst als (x,0), da sie keinen imaginären
> anteil hat...
> Somit, auf die obere Definition angewendet:
Aber wieso kann ich die reelle Zahl nicht einfach als reelle Zahl lassen (also nicht als Tupel schreiben) und rechne dann mit der Multiplikation, wie sie oben im Beispiel angegeben ist?
> Für die Multiplikation mal ne kleine Definition:
> "Eine komplexe Zahl ist ein Element z := (x,y) der Menge
> [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR,[/mm] in welcher wie folgt addiert und multpliziert
> wird:
> (A): (x,y) + (u,v) = (x + u) + i(y + v)
> (M): (x,y)*(u,v) = (xu - yv) + i(xv + yu)" (*)
>
> +: [mm](a_{1},b_{1})[/mm] + [mm](a_{2},b_{2})[/mm] = [mm](a_{1}+a_{2}[/mm] ,
> [mm]b_{1}+b_{2})[/mm] =: z
> Hier ist Re(z) = [mm]a_{1}+a_{2}[/mm] und Im(z) = [mm]b_{1}[/mm] + [mm]b_{2}[/mm]
>
> *: Hier multiplizierst du mit einem Element k [mm]\in \IR[/mm] mit
> der Darstellung k = (x,0). Da die Multiplikation von
> Komplexen Zahlen wie in (*) definiert ist, ist diese
> Darstellung nützlich.
Ich versteh gar nicht, warum du jetzt etwas neu definierst. Ich hab doch oben schon Definitionen für Addition und Multiplikation. Warum denn nochmal neue, und warum gerade die... Oh wei, ich glaub, ich versteh grad überhaupt nix mehr ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Was? Ok du multiplizierst jetzt in [mm]\IC..[/mm] die Addition
> bleibt ja gleich, die Multiplikation erfolgt jetzt mit
> einer komplexen Zahl..
>
> Oben, im Beispiel steht " [mm]a*(a_{1},b_{1})=(a*a_{1},a*b_{1})[/mm]
> "
> Wenn du jetzt zwei komplexe Zahlen multiplizierst, sagen
> wir z := x + iy und w := u + iv, dann multiplizierst du:
> z*w = ((x+iy)*u) + ((x+iy)*iv). Also z*w = (z*u,z*v)
>
> Nacher musst du allerdings Realteil und Imaginärteil
> sortieren, was dir den Ausdruck z*w = (xu - yv) + i(xv +
> yu) gibt.
Äh, jetzt verstehe ich gar nix mehr. Ich denke, wir haben jetzt oben auch schon in [mm] \IC [/mm] multipliziert, aber irgendwie war es doch [mm] \IR [/mm] und hier sind wir jetzt richtig in [mm] \IC [/mm] ...
Es tut mir ganz furchtbar Leid, aber ich versteh nur noch Bahnhof ![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]")
Ich versteh gar nicht, wie man überhaupt auf die Idee kommt (kommen sollte), sich irgendwas neu zu definieren, und was dann genau und warum überhaupt? Wieso kann ich nicht nur mit den Sachen/Definitionen rechnen, die da in dem Beispiel stehen?
Irgendwie hab ich das Gefühl, dass meine Vorlesung vielleicht nicht so die tollste ist? Und leider steht in meinen Büchern auch nicht wirklich was dazu drin (also zu Vektorräumen natürlich schon, aber solche Beispiele hier nicht...)
LG, Nadine
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Hallo
> Hallo Amaro.
>
> Danke für deine Antwort. Aber irgendwie hab ich immer noch
> total die Probleme damit...
>
> > Nun, es geht ja darum, dass wenn du jetzt [mm]\IC[/mm] als
> > [mm]\IR-Vektorraum[/mm] anschaust, dass du eine reelle Zahl ja
> > schreiben kannst als (x,0), da sie keinen imaginären
> > anteil hat...
> > Somit, auf die obere Definition angewendet:
>
> Aber wieso kann ich die reelle Zahl nicht einfach als
> reelle Zahl lassen (also nicht als Tupel schreiben) und
> rechne dann mit der Multiplikation, wie sie oben im
> Beispiel angegeben ist?
>
Kannst du hier natürlich machen.. Schau mal:
1)(x,y) [mm] \in \IC, [/mm] k [mm] \in \IR: [/mm] k*(x,y) = (k*x,k*y), also für z = x + iy folgt k*z = k*x + k*iy
2)(x,y) [mm] \in \IC, [/mm] k [mm] \in \IR [/mm] mit Darstellung k = [mm] (\lambda,0): [/mm] k*(x,y) = (k*x,k*y), also für z = x + iy folgt z*k = [mm] (\lambda,0)*x [/mm] + [mm] (\lambda,0)*iy [/mm] = [mm] \lambda*x [/mm] + [mm] \lambda*iy
[/mm]
> > Für die Multiplikation mal ne kleine Definition:
> > "Eine komplexe Zahl ist ein Element z := (x,y) der
> Menge
> > [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR,[/mm] in welcher wie folgt addiert und multpliziert
> > wird:
> > (A): (x,y) + (u,v) = (x + u) + i(y + v)
> > (M): (x,y)*(u,v) = (xu - yv) + i(xv + yu)" (*)
> >
> > +: [mm](a_{1},b_{1})[/mm] + [mm](a_{2},b_{2})[/mm] = [mm](a_{1}+a_{2}[/mm] ,
> > [mm]b_{1}+b_{2})[/mm] =: z
> > Hier ist Re(z) = [mm]a_{1}+a_{2}[/mm] und Im(z) = [mm]b_{1}[/mm] + [mm]b_{2}[/mm]
> >
> > *: Hier multiplizierst du mit einem Element k [mm]\in \IR[/mm] mit
> > der Darstellung k = (x,0). Da die Multiplikation von
> > Komplexen Zahlen wie in (*) definiert ist, ist diese
> > Darstellung nützlich.
>
> Ich versteh gar nicht, warum du jetzt etwas neu definierst.
> Ich hab doch oben schon Definitionen für Addition und
> Multiplikation. Warum denn nochmal neue, und warum gerade
> die... Oh wei, ich glaub, ich versteh grad überhaupt nix
> mehr
Ok, lassen wir diese Definition mal weg und multiplizieren wie oben... :) Wir haben gesehen, für k [mm] \in \IR [/mm] kommt es aufs selbe raus..
Dir soll nur klar sein, dass eine Komplexe Zahl eben ein Tupel [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] ist mit den von mir geposteten Eigenschaften bezüglich Addition und Multiplikation.. so gesehen, kannst du jedes Element k [mm] \in \IR [/mm] als solches Tupel darstellen, mit einer 0 beim imaginären Teil..
> > Was? Ok du multiplizierst jetzt in [mm]\IC..[/mm] die Addition
> > bleibt ja gleich, die Multiplikation erfolgt jetzt mit
> > einer komplexen Zahl..
> >
> > Oben, im Beispiel steht " [mm]a*(a_{1},b_{1})=(a*a_{1},a*b_{1})[/mm]
> > "
> > Wenn du jetzt zwei komplexe Zahlen multiplizierst,
> sagen
> > wir z := x + iy und w := u + iv, dann multiplizierst du:
> > z*w = ((x+iy)*u) + ((x+iy)*iv). Also z*w = (z*u,z*v)
> >
> > Nacher musst du allerdings Realteil und Imaginärteil
> > sortieren, was dir den Ausdruck z*w = (xu - yv) + i(xv +
> > yu) gibt.
>
> Äh, jetzt verstehe ich gar nix mehr. Ich denke, wir haben
> jetzt oben auch schon in [mm]\IC[/mm] multipliziert, aber irgendwie
> war es doch [mm]\IR[/mm] und hier sind wir jetzt richtig in [mm]\IC[/mm] ...
>
> Es tut mir ganz furchtbar Leid, aber ich versteh nur noch
> Bahnhof
>
> Ich versteh gar nicht, wie man überhaupt auf die Idee
> kommt (kommen sollte), sich irgendwas neu zu definieren,
> und was dann genau und warum überhaupt? Wieso kann ich
> nicht nur mit den Sachen/Definitionen rechnen, die da in
> dem Beispiel stehen?
Es ist nicht eine Definition von mir.. Multiplizieren wir mal 2 komplexe Zahlen miteinander:
z = x + iy
w = u + iv
z*w = (x + iy)*(u + iv) = xu + i(xv) + i(yu) + [mm] i^{2}(yv) [/mm] = xu - yv + i(xv) + i(yu) = (xu - yv) + i(xy + yu)
Ich habe jetzt nach deiner Definition gerechnet.. also z*u + z*iv und das Ergebnis entspricht geordnet der Definition der Multiplikation zweier komplexen Zahlen.. :)
Du siehst, es ist nicht notwendig, diese Definition einzuführen.. doch damit kann man überprüfen, dass es gilt..
>
> Irgendwie hab ich das Gefühl, dass meine Vorlesung
> vielleicht nicht so die tollste ist? Und leider steht in
> meinen Büchern auch nicht wirklich was dazu drin (also zu
> Vektorräumen natürlich schon, aber solche Beispiele hier
> nicht...)
>
> LG, Nadine
Hoffe, es ist ein bisschen klarer ^^
Grüsse, Amaro
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> 1) [mm]V=K^2=K \times K[/mm] mit
> [mm](a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)[/mm] und
> [mm]a*(a_1,b_1)=(aa_1,ab_1)[/mm] und [mm]0_V:=(0,0)[/mm].
> [mm]\IC=\IR^2[/mm] ist [mm]\IR-Vektorraum.[/mm] Der Körper [mm]\IC[/mm] ist auch ein
> [mm]\IC-Vektorraum.[/mm] (Die Skalarmultiplikation [mm]\IR \times \IC \to \IC[/mm]
> ist genau die Multiplikation in [mm]\IC,[/mm] wobei [mm]\IR \subset \IC[/mm],
> [mm]x \mapsto x+i*0[/mm].
Hallo,
ich hab' gerade nicht mehr viel Zeit, deshalb nur kurz:
Steht das so in Deinem Skript/Buch? Ich finde es wirklich auch verwirrend.
Ich versuche mal zu sortieren:
daß [mm] V=K^2 [/mm] mit den gegebenen Verknüpfungen ein VR über K ist, ist nichts Neues, und wenn Du Zweifel hast, kannst Du die VR_Axiome nachrechnen.
Daraus ergibt sich völlig zwanglos, daß
[mm] V=\IR^2 [/mm] mit den gegebenen Verknüpfungen ein VR über [mm] \IR [/mm] ist, und
V= [mm] \IC^2 [/mm] mit den gegebenen Verknüpfungen ein VR über [mm] \IC.
[/mm]
(alle zweidimensional)
> [mm] \IC=\IR^2
[/mm]
Man identifiziert gerne [mm] \IC [/mm] mit dem [mm] \IR^2, [/mm] die Darstellung der komplexen Zahlen als Pfeile in der Gaußschen Zahlenebene macht das augenfällig.
Vielleicht ist es für Dich deutlicher, wenn man sagt, daß die beiden Räume isomorph sind.
(Du kannst die Tupel im [mm] \IR^2 [/mm] auch als Koordinatenvektoren bzgl der Basis (1, i) des [mm] \IC [/mm] über [mm] \IR [/mm] auffassen - falls das weiterhilft.)
Auf jeden Fall kann man [mm] \IC [/mm] als (zweidimensionalen) VR über [mm] \IR [/mm] auffassen, egal, ob Du die Vektoren als a*1 +b*i schreibst oder als [mm] \vektor{a\\b}.
[/mm]
Rechne es nach, dann wird das etwas klarer.
> Der Körper [mm]\IC[/mm] ist auch ein [mm]\IC-Vektorraum.[/mm]
Das hatten wir gestern festgestellt: jeder Körper ist ein VR über sich selbst. (Eindimensional übrigens)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Mi 26.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> ich hab' gerade nicht mehr viel Zeit, deshalb nur kurz:
> Steht das so in Deinem Skript/Buch? Ich finde es wirklich
> auch verwirrend.
Ja, so stehts in meiner Vorlesungmitschrift. Hab ein paar Kommas durch 'und' ersetzt und sowas, aber ansonsten stehts da so. Und ich setz mal voraus, dass ich fehlerfrei von der Tafel abgeschrieben hab ;)
> Ich versuche mal zu sortieren:
>
> daß [mm]V=K^2[/mm] mit den gegebenen Verknüpfungen ein VR über K
> ist, ist nichts Neues, und wenn Du Zweifel hast, kannst Du
> die VR_Axiome nachrechnen.
Ja, das hatten wir ja gestern schon.
> Daraus ergibt sich völlig zwanglos, daß
>
> [mm]V=\IR^2[/mm] mit den gegebenen Verknüpfungen ein VR über [mm]\IR[/mm]
> ist, und
>
> V= [mm]\IC^2[/mm] mit den gegebenen Verknüpfungen ein VR über
> [mm]\IC.[/mm]
Ja, wenn ich für $K$ entweder [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] einsetze, richtig?
Dennoch habe ich mal versucht, die Axiome für [mm] V=\IC^2 [/mm] zu prüfen und stoße bereits beim ausführlichen Erstellen der Abbildung bzw. beim konkreten Ausrechnen auf ein Problem:
Hier meine Abbildungen:
[mm] $\oplus: \IC^2 \times \IC^2 \to \IC^2$ [/mm] mit [mm] $(((a_1,b_1),(a_2,b_2)),((x_1,y_1),(x_2,y_2))) \mapsto ((a_1,b_1),(a_2,b_2)) \oplus ((x_1,y_1),(x_2,y_2))$ [/mm] und das ist nach Vorgabe oben [mm] $=((a_1,b_1)+(x_1,y_1),(a_2,b_2)+(x_2,y_2))$.
[/mm]
Hab ich die Verknüpfungen soweit richtig benannt?
So, nun weiß ich schonmal nicht weiter. Wie fasse ich [mm] (a_1,b_1)+(x_1,y_1) [/mm] und [mm] (a_2,b_2)+(x_2,y_2) [/mm] zusammen? Rechne ich jetzt ganz normal wie mit komplexen Zahlen? Oder liegt ein anderer Körper zugrunde? Woher weiß ich überhaupt, in welchem Körper ich grad bin? Irgendwie seh ich glaub ich grad echt dem Wald vor lauter Bäumen nicht...
So, das gleiche auch hier. Erstmal meine Verknüpfung:
[mm] $\odot: \IC \times \IC^2 \to \IC^2$ [/mm] mit [mm] $((a,b),((x_1,y_1),(x_2,y_2))) \mapsto [/mm] (a,b) [mm] \odot ((x_1,y_1),(x_2,y_2))$ [/mm] und das ist dann nach Vorgabe [mm] $=((a,b)*(x_1,y_1),(a,b)*(x_2,y_2))$. [/mm] So, stimmt das soweit? Und nun auch hier? Wie rechne ich hier weiter? Woher weiß ich, welche "Körperrechenarten" ich anwenden muss?
> (alle zweidimensional)
Was genau meinst du mit zweidimensional?
> Man identifiziert gerne [mm]\IC[/mm] mit dem [mm]\IR^2,[/mm] die Darstellung
> der komplexen Zahlen als Pfeile in der Gaußschen
> Zahlenebene macht das augenfällig.
> Vielleicht ist es für Dich deutlicher, wenn man sagt,
> daß die beiden Räume isomorph sind.
Hmm, ich dachte bisher immer dass [mm] \IC [/mm] GLEICH [mm] \IR^2 [/mm] ist...
> Auf jeden Fall kann man [mm]\IC[/mm] als (zweidimensionalen) VR
> über [mm]\IR[/mm] auffassen, egal, ob Du die Vektoren als a*1 +b*i
> schreibst oder als [mm]\vektor{a\\b}.[/mm]
> Rechne es nach, dann wird das etwas klarer.
Das verstehe ich noch nicht. Wie genau meinst du das?
Sind wir jetzt in dem Fall, dass [mm] \IC [/mm] ein Vektorraum über [mm] \IR [/mm] ist (bzw. ja zu einem wird?)?
Und was genau meinst du mit auffassen als zweidimensionen VR über [mm] \IR?
[/mm]
> > Der Körper [mm]\IC[/mm] ist auch ein [mm]\IC-Vektorraum.[/mm]
> Das hatten wir gestern festgestellt: jeder Körper ist ein
> VR über sich selbst. (Eindimensional übrigens)
Was genau meinst du hier mir eindimensional?
Auch hier wieder mein Problem mit der konkreten Berechnung. Die Abbildung für die Multiplikationsverknüpfung ist ja $odot: [mm] \IC \times \IC \to \IC$ [/mm] (weil ich ja für $K$ gleich [mm] \IC [/mm] einsetzen muss, wenn ich einen VR über [mm] \IC [/mm] will, richtig) mit $((a,b),(x,y)) [mm] \mapsto [/mm] (a,b) [mm] \odot [/mm] (x,y)$. Und wenn ich das gemäß der Vorgaben oben ausrechne, dann krieg ich $(a,b) [mm] \odot [/mm] (x,y)=((a,b)*x,(a,b)*y)$. Aber das sieht irgendwie falsch aus...
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 Mi 26.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hallo Angela!
>
> > ich hab' gerade nicht mehr viel Zeit, deshalb nur kurz:
> > Steht das so in Deinem Skript/Buch? Ich finde es
> wirklich
> > auch verwirrend.
>
> Ja, so stehts in meiner Vorlesungmitschrift. Hab ein paar
> Kommas durch 'und' ersetzt und sowas, aber ansonsten stehts
> da so. Und ich setz mal voraus, dass ich fehlerfrei von der
> Tafel abgeschrieben hab ;)
Angela hat ja schon die einzelnen Aussagen auseinandersortiert, aber ich versuche mal, den Wald weiter zu lichten 
> > Ich versuche mal zu sortieren:
> >
> > daß [mm]V=K^2[/mm] mit den gegebenen Verknüpfungen ein VR über K
> > ist, ist nichts Neues, und wenn Du Zweifel hast, kannst Du
> > die VR_Axiome nachrechnen.
>
> Ja, das hatten wir ja gestern schon.
>
>
>
> > Daraus ergibt sich völlig zwanglos, daß
> >
> > [mm]V=\IR^2[/mm] mit den gegebenen Verknüpfungen ein VR über [mm]\IR[/mm]
> > ist, und
> >
> > V= [mm]\IC^2[/mm] mit den gegebenen Verknüpfungen ein VR über
> > [mm]\IC.[/mm]
>
> Ja, wenn ich für [mm]K[/mm] entweder [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IC[/mm] einsetze,
> richtig?
>
> Dennoch habe ich mal versucht, die Axiome für [mm]V=\IC^2[/mm] zu
> prüfen und stoße bereits beim ausführlichen Erstellen
> der Abbildung bzw. beim konkreten Ausrechnen auf ein
> Problem:
>
> Hier meine Abbildungen:
>
> [mm]\oplus: \IC^2 \times \IC^2 \to \IC^2[/mm] mit [mm](((a_1,b_1),(a_2,b_2)),((x_1,y_1),(x_2,y_2))) \mapsto ((a_1,b_1),(a_2,b_2)) \oplus ((x_1,y_1),(x_2,y_2))[/mm]
> und das ist nach Vorgabe oben
> [mm]=((a_1,b_1)+(x_1,y_1),(a_2,b_2)+(x_2,y_2))[/mm].
> Hab ich die Verknüpfungen soweit richtig benannt?
> So, nun weiß ich schonmal nicht weiter. Wie fasse ich
> [mm](a_1,b_1)+(x_1,y_1)[/mm] und [mm](a_2,b_2)+(x_2,y_2)[/mm] zusammen?
> Rechne ich jetzt ganz normal wie mit komplexen Zahlen?
Genau!
Der wichtige Punkt hier ist, dass du alle Operationen im Basiskörper K kostenlos und straffrei benutzen darfst. In diesem Fall sind doch die Paare [mm] $(a_1,b_1)$, $(a_2,b_2)$, $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ [/mm] alle aus dem Körper [mm] $K=\IC$, [/mm] und damit weisst du, wie die Addition aussieht:
[mm](a_1,b_1)+(x_1,y_1) = (a_1+x_1,b_1+y_1)[/mm]
Also konstruierst du die Vektorraumverknüpfung [mm] $\oplus$, [/mm] indem du sie über die Addition in K definierst:
[mm] ((a_1,b_1),(a_2,b_2)) \oplus ((x_1,y_1),(x_2,y_2)) := ((a_1+x_1,b_1+y_1), (a_2+x_2,b_2+y_2)) [/mm]
Alternativ könntest du statt [mm] $(a_1,b_1)$ [/mm] auch [mm] $a_1+ib_1$ [/mm] schreiben, dann steht da:
[mm] (a_1+ib_1,a_2+ib_2) \oplus (x_1+iy_1,x_2+iy_2) := ((a_1+x_1)+i(b_1+y_1), (a_2+x_2)+i(b_2+y_2)) [/mm]
Diese Schreibweise finde ich persönlich etwas klarer.
> Oder
> liegt ein anderer Körper zugrunde? Woher weiß ich
> überhaupt, in welchem Körper ich grad bin? Irgendwie seh
> ich glaub ich grad echt dem Wald vor lauter Bäumen
> nicht...
Das ist in der Tat verwirrend, weil der Körper [mm] $K=\IC$ [/mm] in verschiedener Weise vorkommt. Zunächst nimmt man das kartesische Produkt [mm] $K^2=K\times [/mm] K$, dann definiert man die Operationen [mm] $\oplus$ [/mm] und [mm] $\odot$ [/mm] auf [mm] $K^2$, [/mm] und damit wird [mm] $K^2$ [/mm] zu einem K-Vektorraum.
Es ist vielleicht einfacher, die beiden Vorkommen getrennt zu behandeln. Nehmen wir also an wir haben zwei verschiedene Körper [mm] $K_1$ [/mm] und [mm] $K_2$, [/mm] die (zunächst) nichts miteinander zu tun haben. Dann schaue ich mir das kartesische Produkt [mm] $K_1^2=K_1\times K_1$ [/mm] und definiere:
[mm] \oplus: K_1^2\times K_1^2 \to K_1^2 : ((a_1,b_1),(a_2,b_2)) \oplus ((x_1,y_1),(x_2,y_2)) := ((a_1+x_1,b_1+y_1), (a_2+x_2,b_2+y_2)) [/mm]
Hier bedeutet das Zeichen $+$ die Addition in [mm] $K_1$ [/mm] und [mm] $\oplus$ [/mm] die VR-Addition in [mm] $K_1^2$. [/mm] Diese Definition kannst du immer so machen, solange du eine Addition in [mm] $K_1$ [/mm] definiert hast.
Damit aus [mm] $K_1^2$ [/mm] ein [mm] $K_2$-Vektorraum [/mm] wird, brauchst du noch die Operation.
[mm] \odot: K_2 \times K_1^2 \to K_1^2 [/mm]
Die musst du irgendwie definieren. Wie so oft in der Mathematik, könnte ich mir beliebig komplizierte abstruse Definitionen ausdenken. Einfacher wäre es, wenn du wie eben bei der Addition die Operation [mm] $\odot$ [/mm] automatisch geliefert bekämst:
[mm] l \odot (a_1,b_1) := (l\ast a_1,l \ast b_1) [/mm]
Das geht aber nur dann automatisch, wenn ich [mm] $l\in K_2$ [/mm] mit [mm] $a_1,b_1\in K_1$ [/mm] multiplizieren kann und das Ergebnis der Multiplikationen wieder [mm] $\in K_1$ [/mm] ist. Wenn also [mm] $K_2$ [/mm] eine Teilmenge von [mm] $K_1$ [/mm] ist, dann ist die Multiplikation [mm] $\ast$ [/mm] definiert und ich bekomme die Operation [mm] $\odot$ [/mm] automatisch geliefert, ohne dass ich weiter nachdenken muss.
Wenn also [mm] $K_2$ [/mm] ein Unterkörper von [mm] $K_1$ [/mm] ist, dann kann ich ohne viel nachzudenken die Operationen [mm] $\oplus$ [/mm] und [mm] $\odot$ [/mm] so definieren und so aus [mm] $K_2^2$ [/mm] einen [mm] $K_1$-Vektorraum [/mm] machen.
So, und wenn du dann auf den Fall [mm] $K_1=K_2=K$ [/mm] spezialisierst, hast du das Gewünschte: [mm] $\IC^2$ [/mm] als [mm] $\IC$-Vektorraum.
[/mm]
Als nächstes kannst du statt [mm] $K_2^2$ [/mm] beliebige kartesische Produkte [mm] $K_2^n$ ($n\in\IN$) [/mm] hernehmen; das geht ganz analog.
> So, das gleiche auch hier. Erstmal meine Verknüpfung:
>
> [mm]\odot: \IC \times \IC^2 \to \IC^2[/mm] mit [mm]((a,b),((x_1,y_1),(x_2,y_2))) \mapsto (a,b) \odot ((x_1,y_1),(x_2,y_2))[/mm]
> und das ist dann nach Vorgabe
> [mm]=((a,b)*(x_1,y_1),(a,b)*(x_2,y_2))[/mm]. So, stimmt das soweit?
> Und nun auch hier? Wie rechne ich hier weiter? Woher weiß
> ich, welche "Körperrechenarten" ich anwenden muss?
Du brauchst die Multiplikation in [mm] $\IC$, [/mm] denn $(a,b)$ und [mm] $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ [/mm] sind ja alle [mm] $\in\IC$. [/mm] Ich finde es wieder einfacher, direkt komplexe Zahlen zu schreiben:
[mm] (a+ib) \odot (x_1+i y_1,x_2+i y_2) := ((a+ib)*(x_1+i y_1), (a+ib)*(x_2+i y_2))[/mm]
wobei $*$ die "normale" komplexe Multiplikation ist.
> > (alle zweidimensional)
>
> Was genau meinst du mit zweidimensional?
Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Basisvektoren. Hier kannst du zum Beispiel die beiden Basisvektoren [mm] (1,0) [/mm] und [mm] (0,1) [/mm] nehmen, mit denen du beliebige Vektoren darstellen kannst:
[mm] (x,y) = x \odot (1,0) \oplus y \odot (0,1) [/mm] für [mm] x,y \in \IC[/mm].
> > Man identifiziert gerne [mm]\IC[/mm] mit dem [mm]\IR^2,[/mm] die Darstellung
> > der komplexen Zahlen als Pfeile in der Gaußschen
> > Zahlenebene macht das augenfällig.
> > Vielleicht ist es für Dich deutlicher, wenn man sagt,
> > daß die beiden Räume isomorph sind.
>
> Hmm, ich dachte bisher immer dass [mm]\IC[/mm] GLEICH [mm]\IR^2[/mm] ist...
Ja und nein. "Identifikation" ist "gleich", in gewisser Weise. Das ist immer eine Frage der Struktur, die du betrachtest. Deswegen sagen die Mathematiker gerne "isomorph", weil sich dieses Wort auf eine bestimmte Struktur bezieht: [mm]\IC[/mm] und [mm]\IR^2[/mm] sind als Vektorräume isomorph.
Mit anderen Worten: Als Vektorräume sind sie "gleich", aber wenn ich den [mm] $\IR^2$ [/mm] als Menge von Zahlenpaaren $(x,y)$ auffasse, dann habe ich keine Multiplikation. Komplexe Zahlen kann ich aber multiplizieren und bekomme wieder eine komplexe Zahl heraus. Offensichtlich sind die beiden in dieser Hinsicht unterschiedlich.
> > Auf jeden Fall kann man [mm]\IC[/mm] als (zweidimensionalen) VR
> > über [mm]\IR[/mm] auffassen, egal, ob Du die Vektoren als a*1 +b*i
> > schreibst oder als [mm]\vektor{a\\b}.[/mm]
> > Rechne es nach, dann wird das etwas klarer.
>
> Das verstehe ich noch nicht. Wie genau meinst du das?
> Sind wir jetzt in dem Fall, dass [mm]\IC[/mm] ein Vektorraum über
> [mm]\IR[/mm] ist (bzw. ja zu einem wird?)?
> Und was genau meinst du mit auffassen als zweidimensionen VR über [mm]\IR?[/mm]
In der Betrachtung von oben nehmen wir wieder [mm] $K_2 [/mm] = [mm] \IC$, [/mm] aber 1. für [mm] $K_1$ [/mm] den echten Unterkörper [mm] $K_1=\IR$ [/mm] und 2. betrachten wir nicht [mm] $K_2\times K_2$, [/mm] sondern einfach [mm] $K_2$.
[/mm]
Das funktioniert, denn (a) die Addition [mm] $\oplus$ [/mm] kann ich durch die Körperaddition $+$ erklären, und (b) brauche ich eine Multiplikation
[mm] \odot: \IR \times \IC \to \IC: (r,a+ib) \mapsto (ra+irb) [/mm]
Damit sind die Vektorraumbedingungen erfüllt, also habe ich aus [mm] $\IC$ [/mm] einen [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] gebaut. Und die Dimension ergibt sich sofort daraus, dass, wie oben festgestellt, [mm] $\IC$ [/mm] und [mm] $\IR^2$ [/mm] als Vektorräume "identisch" sind. Und da [mm] $\IR^2$ [/mm] als VR über [mm] $\IR$ [/mm] die Dimension 2 hat...
(Alternative Betrachtungsweise: wieviele reelle Zahlen brauchst du, um eine komplexe Zahl vollständig anzugeben?)
> > > Der Körper [mm]\IC[/mm] ist auch ein [mm]\IC-Vektorraum.[/mm]
> > Das hatten wir gestern festgestellt: jeder Körper ist
> ein
> > VR über sich selbst. (Eindimensional übrigens)
>
> Was genau meinst du hier mir eindimensional?
>
> Auch hier wieder mein Problem mit der konkreten Berechnung.
> Die Abbildung für die Multiplikationsverknüpfung ist ja
> [mm]odot: \IC \times \IC \to \IC[/mm] (weil ich ja für [mm]K[/mm] gleich [mm]\IC[/mm]
> einsetzen muss, wenn ich einen VR über [mm]\IC[/mm] will, richtig)
> mit [mm]((a,b),(x,y)) \mapsto (a,b) \odot (x,y)[/mm]. Und wenn ich
> das gemäß der Vorgaben oben ausrechne, dann krieg ich
> [mm](a,b) \odot (x,y)=((a,b)*x,(a,b)*y)[/mm]. Aber das sieht
> irgendwie falsch aus...
Das ist falsch. Du schreibst das so hin, als wäre [mm] $(a,b)\in \IC$, [/mm] aber [mm] $(x,y)\in \IC^2$. [/mm] Aber das ist ja ein anderer Vektorraum. Jeder Körper ist ein eindimensionaler Vektorraum über sich selbst mit:
[mm] A \oplus B := A + B [/mm] und [mm] l \odot A = l*A [/mm]
Beachte, dass hier auf der linken Seite der Definitionen mit A und B die Elemente von [mm] $\IC$ [/mm] als Elemente des Vektorraums gemeint sind, während sie auf der rechten Seite die Elemente von [mm] $K=\IC$ [/mm] als Elemente des Körpers [mm] $\IC$ [/mm] bedeuten.
Du sagst also: ich weiß, wie ich im Körper [mm] $K=\IC$ [/mm] rechne. Mit diesen Definitionen füge ich die Struktur "Vektorraum" hinzu. Damit bekommen alle Elemente aus [mm] $\IC$ [/mm] die neue Eigenschaft "Vektor", und [mm] $\oplus$ [/mm] und [mm] $\odot$ [/mm] sind die neuen Operationen, die mit dieser neuen Eigenschaft verbunden sind.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Do 27.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Oh mein Gott, ist das komplizert...
> Der wichtige Punkt hier ist, dass du alle Operationen im
> Basiskörper K kostenlos und straffrei benutzen darfst. In
> diesem Fall sind doch die Paare [mm](a_1,b_1)[/mm], [mm](a_2,b_2)[/mm],
> [mm](x_1,y_1)[/mm], [mm](x_2,y_2)[/mm] alle aus dem Körper [mm]K=\IC[/mm], und damit
> weisst du, wie die Addition aussieht:
>
> [mm](a_1,b_1)+(x_1,y_1) = (a_1+x_1,b_1+y_1)[/mm]
Ja, ok.
> Also konstruierst du die Vektorraumverknüpfung [mm]\oplus[/mm],
> indem du sie über die Addition in K definierst:
>
> [mm]((a_1,b_1),(a_2,b_2)) \oplus ((x_1,y_1),(x_2,y_2)) := ((a_1+x_1,b_1+y_1), (a_2+x_2,b_2+y_2))[/mm]
Aber ich kann mir doch nicht einfach irgendwas ausdenken... und irgenwie wild rumdefinieren...
Mal abgesehen davon, dass ich sowieso nie auf sowas käme...
> Das ist in der Tat verwirrend, weil der Körper [mm]K=\IC[/mm] in
> verschiedener Weise vorkommt. Zunächst nimmt man das
> kartesische Produkt [mm]K^2=K\times K[/mm], dann definiert man die
> Operationen [mm]\oplus[/mm] und [mm]\odot[/mm] auf [mm]K^2[/mm], und damit wird [mm]K^2[/mm] zu
> einem K-Vektorraum.
>
> Es ist vielleicht einfacher, die beiden Vorkommen getrennt
> zu behandeln. Nehmen wir also an wir haben zwei
> verschiedene Körper [mm]K_1[/mm] und [mm]K_2[/mm], die (zunächst) nichts
> miteinander zu tun haben. Dann schaue ich mir das
> kartesische Produkt [mm]K_1^2=K_1\times K_1[/mm] und definiere:
>
> [mm]\oplus: K_1^2\times K_1^2 \to K_1^2 : ((a_1,b_1),(a_2,b_2)) \oplus ((x_1,y_1),(x_2,y_2)) := ((a_1+x_1,b_1+y_1), (a_2+x_2,b_2+y_2))[/mm]
>
> Hier bedeutet das Zeichen [mm]+[/mm] die Addition in [mm]K_1[/mm] und [mm]\oplus[/mm]
> die VR-Addition in [mm]K_1^2[/mm]. Diese Definition kannst du immer
> so machen, solange du eine Addition in [mm]K_1[/mm] definiert hast.
>
> Damit aus [mm]K_1^2[/mm] ein [mm]K_2[/mm]-Vektorraum wird, brauchst du noch
> die Operation.
>
> [mm]\odot: K_2 \times K_1^2 \to K_1^2[/mm]
>
> Die musst du irgendwie definieren. Wie so oft in der
> Mathematik, könnte ich mir beliebig komplizierte abstruse
> Definitionen ausdenken. Einfacher wäre es, wenn du wie
> eben bei der Addition die Operation [mm]\odot[/mm] automatisch
> geliefert bekämst:
>
> [mm]l \odot (a_1,b_1) := (l\ast a_1,l \ast b_1)[/mm]
>
> Das geht aber nur dann automatisch, wenn ich [mm]l\in K_2[/mm] mit
> [mm]a_1,b_1\in K_1[/mm] multiplizieren kann und das Ergebnis der
> Multiplikationen wieder [mm]\in K_1[/mm] ist. Wenn also [mm]K_2[/mm] eine
> Teilmenge von [mm]K_1[/mm] ist, dann ist die Multiplikation [mm]\ast[/mm]
> definiert und ich bekomme die Operation [mm]\odot[/mm] automatisch
> geliefert, ohne dass ich weiter nachdenken muss.
>
> Wenn also [mm]K_2[/mm] ein Unterkörper von [mm]K_1[/mm] ist, dann kann ich
> ohne viel nachzudenken die Operationen [mm]\oplus[/mm] und [mm]\odot[/mm] so
> definieren und so aus [mm]K_2^2[/mm] einen [mm]K_1[/mm]-Vektorraum machen.
>
> So, und wenn du dann auf den Fall [mm]K_1=K_2=K[/mm] spezialisierst,
> hast du das Gewünschte: [mm]\IC^2[/mm] als [mm]\IC[/mm]-Vektorraum.
>
> Als nächstes kannst du statt [mm]K_2^2[/mm] beliebige kartesische
> Produkte [mm]K_2^n[/mm] ([mm]n\in\IN[/mm]) hernehmen; das geht ganz analog.
*Schluck* Das ist aber ziemlich harter Tobak...
Irgendwie versteh ich das noch nicht...
Fangen wir mal oben an:
Was bedeutet, dass der Körper [mm] \IC [/mm] in verschiedener Weise vorkommt?
> In der Betrachtung von oben nehmen wir wieder [mm]K_2 = \IC[/mm],
> aber 1. für [mm]K_1[/mm] den echten Unterkörper [mm]K_1=\IR[/mm] und 2.
> betrachten wir nicht [mm]K_2\times K_2[/mm], sondern einfach [mm]K_2[/mm].
>
> Das funktioniert, denn (a) die Addition [mm]\oplus[/mm] kann ich
> durch die Körperaddition [mm]+[/mm] erklären, und (b) brauche ich
> eine Multiplikation
>
> [mm]\odot: \IR \times \IC \to \IC: (r,a+ib) \mapsto (ra+irb)[/mm]
>
> Damit sind die Vektorraumbedingungen erfüllt, also habe
> ich aus [mm]\IC[/mm] einen [mm]\IR[/mm]-Vektorraum gebaut. Und die Dimension
> ergibt sich sofort daraus, dass, wie oben festgestellt, [mm]\IC[/mm]
> und [mm]\IR^2[/mm] als Vektorräume "identisch" sind. Und da [mm]\IR^2[/mm]
> als VR über [mm]\IR[/mm] die Dimension 2 hat...
Owei, das ist ja echt furchtbar kompliziert.
Aber wenn wir einen Vektorraum über [mm] \IR [/mm] wollen, muss dann [mm] \IR [/mm] nicht der [mm] K_2 [/mm] sein? War doch oben auch so, oder nicht?
> Das ist falsch. Du schreibst das so hin, als wäre [mm](a,b)\in \IC[/mm],
> aber [mm](x,y)\in \IC^2[/mm].
Ja... Weil das Ganze Ding soll ja ein Vektorraum über [mm] \IC [/mm] sein. Und wir hatten wir ja gesagt, dass die Zahl, mit der der ich in der Skalarmultiplikation multipliziere aus dem Körper muss, über den ich den Vektorraum haben will. Also muss sie hier bei uns auch [mm] \IC [/mm] sein, also [mm](a,b)\in \IC[/mm]. Und die Zahl, die mit dem Skalar multiplizert wird, die ist aus der Menge $V$. Und $V$ ist hier doch [mm] \IC^2 [/mm] , also muss doch [mm](x,y)\in \IC^2[/mm], oder nicht? Ich versteh nicht, was daran falsch ist...
Oh man, dieses Thema macht mich echt total fertig, ich glaube, ich werde das nie verstehen... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Ganz vielen lieben Dank, dass ihr euch so viel Mühe gebt, mir das zu erklären.
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Do 27.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Oh mein Gott, ist das komplizert...
>
> > Der wichtige Punkt hier ist, dass du alle Operationen im
> > Basiskörper K kostenlos und straffrei benutzen darfst. In
> > diesem Fall sind doch die Paare [mm](a_1,b_1)[/mm], [mm](a_2,b_2)[/mm],
> > [mm](x_1,y_1)[/mm], [mm](x_2,y_2)[/mm] alle aus dem Körper [mm]K=\IC[/mm], und damit
> > weisst du, wie die Addition aussieht:
> >
> > [mm](a_1,b_1)+(x_1,y_1) = (a_1+x_1,b_1+y_1)[/mm]
>
> Ja, ok.
>
>
>
> > Also konstruierst du die Vektorraumverknüpfung [mm]\oplus[/mm],
> > indem du sie über die Addition in K definierst:
> >
> > [mm]((a_1,b_1),(a_2,b_2)) \oplus ((x_1,y_1),(x_2,y_2)) := ((a_1+x_1,b_1+y_1), (a_2+x_2,b_2+y_2))[/mm]
>
> Aber ich kann mir doch nicht einfach irgendwas ausdenken...
> und irgenwie wild rumdefinieren...
Na doch
Im Ernst: das ist gar nicht wild rumdefiniert, das ist nichts Anderes als die Addition von Vektoren, wie du sie in der Schule lernst. Nur sind hier die einzelnen Komponenten der Vektoren Zahlen aus [mm] $\IC$, [/mm] die du als [mm] $(a_1,b_1)$ [/mm] schreibst. Deswegen meine Bemerkung, dass es einfacher aussieht, wenn du es komplexe Zahlen statt Paare reeller Zahlen schreibst. Dann sieht nämlich diese Definition so aus:
[mm]((a_1+ib_1),(a_2+ib_2)) \oplus ((x_1+iy_1),(x_2+iy_2)) := ((a_1+x_1)+i(b_1+y_1), (a_2+x_2)+i(b_2+y_2))[/mm]
oder auch, als Spalten geschrieben:
[mm] \vektor{a_1+ib_1 \\ a_2+ib_2} \oplus \vektor{x_1+iy_1\\x_2+iy_2} := \vektor{(a_1+x_1)+i(b_1+y_1)\\(a_2+x_2)+i(b_2+y_2)} [/mm]
Alle drei Schreibweisen bedeuten dasselbe. Kommt es dir immer noch "wild definiert" vor?
> > Das ist in der Tat verwirrend, weil der Körper [mm]K=\IC[/mm] in
> > verschiedener Weise vorkommt. Zunächst nimmt man das
> > kartesische Produkt [mm]K^2=K\times K[/mm], dann definiert man die
> > Operationen [mm]\oplus[/mm] und [mm]\odot[/mm] auf [mm]K^2[/mm], und damit wird [mm]K^2[/mm] zu
> > einem K-Vektorraum.
> >
> > Es ist vielleicht einfacher, die beiden Vorkommen getrennt
> > zu behandeln. Nehmen wir also an wir haben zwei
> > verschiedene Körper [mm]K_1[/mm] und [mm]K_2[/mm], die (zunächst) nichts
> > miteinander zu tun haben. Dann schaue ich mir das
> > kartesische Produkt [mm]K_1^2=K_1\times K_1[/mm] und definiere:
> >
> > [mm]\oplus: K_1^2\times K_1^2 \to K_1^2 : ((a_1,b_1),(a_2,b_2)) \oplus ((x_1,y_1),(x_2,y_2)) := ((a_1+x_1,b_1+y_1), (a_2+x_2,b_2+y_2))[/mm]
>
> >
> > Hier bedeutet das Zeichen [mm]+[/mm] die Addition in [mm]K_1[/mm] und [mm]\oplus[/mm]
> > die VR-Addition in [mm]K_1^2[/mm]. Diese Definition kannst du immer
> > so machen, solange du eine Addition in [mm]K_1[/mm] definiert hast.
> >
> > Damit aus [mm]K_1^2[/mm] ein [mm]K_2[/mm]-Vektorraum wird, brauchst du noch
> > die Operation.
> >
> > [mm]\odot: K_2 \times K_1^2 \to K_1^2[/mm]
> >
> > Die musst du irgendwie definieren. Wie so oft in der
> > Mathematik, könnte ich mir beliebig komplizierte abstruse
> > Definitionen ausdenken. Einfacher wäre es, wenn du wie
> > eben bei der Addition die Operation [mm]\odot[/mm] automatisch
> > geliefert bekämst:
> >
> > [mm]l \odot (a_1,b_1) := (l\ast a_1,l \ast b_1)[/mm]
> >
> > Das geht aber nur dann automatisch, wenn ich [mm]l\in K_2[/mm] mit
> > [mm]a_1,b_1\in K_1[/mm] multiplizieren kann und das Ergebnis der
> > Multiplikationen wieder [mm]\in K_1[/mm] ist. Wenn also [mm]K_2[/mm] eine
> > Teilmenge von [mm]K_1[/mm] ist, dann ist die Multiplikation [mm]\ast[/mm]
> > definiert und ich bekomme die Operation [mm]\odot[/mm] automatisch
> > geliefert, ohne dass ich weiter nachdenken muss.
> >
> > Wenn also [mm]K_2[/mm] ein Unterkörper von [mm]K_1[/mm] ist, dann kann ich
> > ohne viel nachzudenken die Operationen [mm]\oplus[/mm] und [mm]\odot[/mm] so
> > definieren und so aus [mm]K_2^2[/mm] einen [mm]K_1[/mm]-Vektorraum machen.
> >
> > So, und wenn du dann auf den Fall [mm]K_1=K_2=K[/mm] spezialisierst,
> > hast du das Gewünschte: [mm]\IC^2[/mm] als [mm]\IC[/mm]-Vektorraum.
> >
> > Als nächstes kannst du statt [mm]K_2^2[/mm] beliebige kartesische
> > Produkte [mm]K_2^n[/mm] ([mm]n\in\IN[/mm]) hernehmen; das geht ganz analog.
>
> *Schluck* Das ist aber ziemlich harter Tobak...
> Irgendwie versteh ich das noch nicht...
> Fangen wir mal oben an:
> Was bedeutet, dass der Körper [mm]\IC[/mm] in verschiedener Weise
> vorkommt?
Damit meine ich die Unterscheidung zwischen [mm] $K_1$ [/mm] (dem Basiskörper) und [mm] $K_2$. [/mm] Wenn man beide Male [mm] $\IC$ [/mm] nimmt, wird der Unterscheid nicht so klar.
Ich seh auch gerade, dass ich die Definition von [mm] $\oplus$ [/mm] falsch hingeschrieben habe (weil ich einfach von oben kopiert habe).
Vielleicht hilft es dir, wenn ich dir Vektoren als Spalten hinschreibe:
[mm]\oplus: K_1^2\times K_1^2 \to K_1^2 : \vektor{a_1\\b_1} \oplus \vektor{x_1\\y_1} := \vektor{a_1+x_1\\b_1+y_1}[/mm]
und
[mm] l \odot \vektor{a_1\\b_1} := \vektor{l\ast a_1\\l \ast b_1}[/mm]
mit [mm] $a_1,b_1,x_1,y_1\in K_1$, $l\in K_2$.
[/mm]
> > In der Betrachtung von oben nehmen wir wieder [mm]K_2 = \IC[/mm],
> > aber 1. für [mm]K_1[/mm] den echten Unterkörper [mm]K_1=\IR[/mm] und 2.
> > betrachten wir nicht [mm]K_2\times K_2[/mm], sondern einfach [mm]K_2[/mm].
> >
> > Das funktioniert, denn (a) die Addition [mm]\oplus[/mm] kann ich
> > durch die Körperaddition [mm]+[/mm] erklären, und (b) brauche ich
> > eine Multiplikation
> >
> > [mm]\odot: \IR \times \IC \to \IC: (r,a+ib) \mapsto (ra+irb)[/mm]
>
> >
> > Damit sind die Vektorraumbedingungen erfüllt, also habe
> > ich aus [mm]\IC[/mm] einen [mm]\IR[/mm]-Vektorraum gebaut. Und die Dimension
> > ergibt sich sofort daraus, dass, wie oben festgestellt, [mm]\IC[/mm]
> > und [mm]\IR^2[/mm] als Vektorräume "identisch" sind. Und da [mm]\IR^2[/mm]
> > als VR über [mm]\IR[/mm] die Dimension 2 hat...
>
> Owei, das ist ja echt furchtbar kompliziert.
> Aber wenn wir einen Vektorraum über [mm]\IR[/mm] wollen, muss dann
> [mm]\IR[/mm] nicht der [mm]K_2[/mm] sein? War doch oben auch so, oder nicht?
Sorry, ja, da habe ich mittendrin [mm] $K_1$ [/mm] und [mm] $K_2$ [/mm] ausgetauscht.
Also nochmal richtigherum:
Stell dir einfach den Vektorraum [mm] $K_1=\IC$ [/mm] vor als Vektoren mit nur einer Komponente
[mm]\vektor{a+ib}[/mm], [mm] $a,b\in \IR$, [/mm] das heisst [mm] $a+ib\in \IC$.
[/mm]
Dann ist
[mm] \vektor{a_1+ib_1} \oplus \vektor{a_2+ib_2} := \vektor{(a_1+a_2)+i(b_1+b_2)} [/mm]
und
[mm] l \odot \vektor{a_1+ib_1} := \vektor{l*a_1+il*b_1} [/mm]
mit [mm] $a_1+ib_1,a_2+ib_2 \in \IC$, $l\in K_2=\IR$.
[/mm]
So, und wenn du jetzt [mm] $\IC$ [/mm] als komplexe Zahlenebene anschaust, dann werden aus den Vektoren
[mm] \vektor{1} [/mm] und [mm] \vektor{i} [/mm]
aus [mm] $\IC$ [/mm] die Vektoren
[mm] \vektor{1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1} [/mm]
aus [mm] $\IR^2$. [/mm] Das ist die "Identität" von [mm] $\IC$ [/mm] und [mm] $\IR^2$ [/mm] als Vektorräume. Die Operationen sehen dann so aus:
[mm] \vektor{a_1\\b_1} \oplus \vektor{a_2\\b_2} := \vektor{(a_1+a_2)\\(b_1+b_2)} [/mm]
und
[mm] l \odot \vektor{a_1\\b_1} := \vektor{l*a_1\\l*b_1} [/mm]
Ich hoffe, jetzt ist es dir ein bischen leichter verständlich.
> > Das ist falsch. Du schreibst das so hin, als wäre [mm](a,b)\in \IC[/mm],
> > aber [mm](x,y)\in \IC^2[/mm].
>
> Ja... Weil das Ganze Ding soll ja ein Vektorraum über [mm]\IC[/mm]
> sein. Und wir hatten wir ja gesagt, dass die Zahl, mit der
> der ich in der Skalarmultiplikation multipliziere aus dem
> Körper muss, über den ich den Vektorraum haben will. Also
> muss sie hier bei uns auch [mm]\IC[/mm] sein, also [mm](a,b)\in \IC[/mm]. Und
> die Zahl, die mit dem Skalar multiplizert wird, die ist aus
> der Menge [mm]V[/mm]. Und [mm]V[/mm] ist hier doch [mm]\IC^2[/mm] , also muss doch
> [mm](x,y)\in \IC^2[/mm], oder nicht? Ich versteh nicht, was daran
> falsch ist...
An der Stelle war aber [mm] $V=\IC$ [/mm] als Vektorraum über [mm] $\IC$, [/mm] denn es ging in Angelas Antwort darum, dass jeder Körper eine eindimensionaler Vektorraum. Du schriebst selbst
[mm] \odot: \IC\times \IC \to \IC [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Do 27.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
Vielen Dank für deine ausführlichen Antworten.
Die helfen mir auf jeden Fall immer ein Stückchen weiter 
> Im Ernst: das ist gar nicht wild rumdefiniert, das ist
> nichts Anderes als die Addition von Vektoren, wie du sie in
> der Schule lernst. Nur sind hier die einzelnen Komponenten
> der Vektoren Zahlen aus [mm]\IC[/mm], die du als [mm](a_1,b_1)[/mm]
> schreibst.
Ja, das ist mir auch schon aufgefallen.
So kann ich die Vektoraddition [mm] (a,b)\oplus(x,y) [/mm] für 2-Tupel konkret berechnen und die Axiome prüfen.
Aber - und ich glaube, das ist im Moment mein größtes Problem - verknüpfe ich alle Elemente, mit denen ich Vektoraddition [mm] \oplus [/mm] ausführe, auf eben diese Weise?
Ich glaube ja nicht, weil zum Beispiel bei den Funktionen war die konkrete Verknüpfung etwas anders.
Und ich glaube, dass ist mein Problem beim Prüfen der Axiome, dass ich nie weiß, wie ich zwei Elemente $a,b [mm] \in [/mm] V$ bei der Vektoraddition $a [mm] \oplus [/mm] b$ miteinander konkret verknüpfe. Und ohne das kann ich dann das Axiom nicht prüfen...
Für 2-Tupel weiß ich es nun, du hast mir ja die Definition gegeben (die aus der Schule), aber es gibt ja noch tausend andere Dinge, die einen Vektorraum bilden können, und da ständ ich dann wahrscheinlich schon wieder da und wüsste nix...
Und ich selbst wüsste im Leben nicht, wie ich mir irgendwas passend definieren könnte...
Verstehst du in etwa was ich meine? Ich suche eine Vorschrift/Definition, wie ich die gängisten Vektorraumelemente (irgendwie finde ich es komisch, bei Funktionen von Vektoren zu reden, Vektoren sind für mich immer nur Tupel) konkret miteinander verknüpfe. In meiner Vorlesung steht so was nämlich nicht (oder ich kann es vielleicht auch einfach nicht rauslesen).
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:51 Fr 28.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hallo Rainer!
>
> Vielen Dank für deine ausführlichen Antworten.
> Die helfen mir auf jeden Fall immer ein Stückchen weiter
>
>
>
>
> > Im Ernst: das ist gar nicht wild rumdefiniert, das ist
> > nichts Anderes als die Addition von Vektoren, wie du sie in
> > der Schule lernst. Nur sind hier die einzelnen Komponenten
> > der Vektoren Zahlen aus [mm]\IC[/mm], die du als [mm](a_1,b_1)[/mm]
> > schreibst.
>
> Ja, das ist mir auch schon aufgefallen.
> So kann ich die Vektoraddition [mm](a,b)\oplus(x,y)[/mm] für
> 2-Tupel konkret berechnen und die Axiome prüfen.
Genau, und die Erweiterung auf 3-Tupel, usw, d.h. auf beliebige n-Tupel ist auch einfach. Geht ganz genauso, sind nur jeweils 3 bzw n an Stelle von 2 Zahlen.
> Aber - und ich glaube, das ist im Moment mein größtes
> Problem - verknüpfe ich alle Elemente, mit denen ich
> Vektoraddition [mm]\oplus[/mm] ausführe, auf eben diese Weise?
> Ich glaube ja nicht, weil zum Beispiel bei den Funktionen
> war die konkrete Verknüpfung etwas anders.
> Und ich glaube, dass ist mein Problem beim Prüfen der
> Axiome, dass ich nie weiß, wie ich zwei Elemente [mm]a,b \in V[/mm]
> bei der Vektoraddition [mm]a \oplus b[/mm] miteinander konkret
> verknüpfe. Und ohne das kann ich dann das Axiom nicht
> prüfen...
>
> Für 2-Tupel weiß ich es nun, du hast mir ja die
> Definition gegeben (die aus der Schule), aber es gibt ja
> noch tausend andere Dinge, die einen Vektorraum bilden
> können, und da ständ ich dann wahrscheinlich schon wieder
> da und wüsste nix...
> Und ich selbst wüsste im Leben nicht, wie ich mir
> irgendwas passend definieren könnte...
2-Tupel zu haben bedeutet ja, dass dein Vektorraum Dimension 2 hat. Bei n-Tupeln hast du Dimension n. In allen diesen Fällen ist die Dimension endlich. Da ist die Sache immer so einfach, weil ein Vektorraum endlicher Dimension sich immer als Menge von n-Tupeln ansehen lässt. Alle endlichdimensionalen Vektorräume gleicher Dimension sind in diesme Sinne "identisch". Der einfachste Fall ist die "Identität" der Vektorräume [mm] $\IR^2$ [/mm] und [mm] $\IC$.
[/mm]
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> Verstehst du in etwa was ich meine? Ich suche eine
> Vorschrift/Definition, wie ich die gängisten
> Vektorraumelemente (irgendwie finde ich es komisch, bei
> Funktionen von Vektoren zu reden, Vektoren sind für mich
> immer nur Tupel) konkret miteinander verknüpfe. In meiner
> Vorlesung steht so was nämlich nicht (oder ich kann es
> vielleicht auch einfach nicht rauslesen).
Wenn du dir deine Vektoren nicht mehr als n-Tupel darstellen kannst, dann hast du keinen endlichdimensionalen Vektorraum. Und bei den unendlichdimensionalen wird's recht schnell unanschaulich.
In der Regel bekommt man die Vektorraumoperationen aus den normalen Operationen. Zum Beispiel bei Funktionen mit reellen Werten. Da kann ich ja Funktionswerte addieren, daher definiert man die Vektorraumaddition punktweise: die Funktion $h = [mm] (f\oplus [/mm] g)$ wird definiert über
[mm] h(x) = f(x) + g(x) [/mm] für alle x, oder
[mm] (f\oplus g)(x) = f(x) + g(x) [/mm],
ebenso
[mm] (\lambda \odot f)(x) = \lambda * f(x) [/mm] für alle x.
In ganz vielen Fällen bekommt man diese Operationen so geliefert.
Das soll nicht heißen, dass es nicht ganz abstrakte Vektorräume gibt.
Viele Grüße
Rainer
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> LG, Nadine
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