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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Fr 15.01.2010 | | Autor: | gfb53 |
| Aufgabe | Hallo, ich bin neu hier und begrüße alle herzlich.
Ich sitzte nun an einer Aufgabe und komme nicht weiter.
Ist die Menge
U := {(x1,...,xn) E (element aus) [mm] R^n [/mm] | x1=0, x2+...+xn =0}
ein Vektorraum? |
Ich hab echt kein Ansatz wie man diese Aufgabe lösen kann, kann mir jemand vielleicht helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Fr 15.01.2010 | | Autor: | gfm |
Nimm Dir den "Regelkatalog" für Vektorraum sein und weise nach, dass jede davon erfüllt ist.
Ein Vektorraum ist immer ein Paar (V, [mm] \IK) [/mm] mit einem gruppentheoretischen "Plus" einer abelschen Gruppe (der Vektoraddition) und einer multiplikativen Verknüpfung zwischen Körper [mm] \IK [/mm] und V ("Skalar mal Vektor") , sodaß
(ab) v=a(bv)
a(u+v)=(au) + (av)
(a+b)v = av+bv
gilt, wobei zubeachten ist, dass die Verknüpfungen zwischen Skalaren, Vektoren und Skalar mir Vektor zu unterscheiden sind, selbst wenn sie wie hier gleich geschrieben sind (aus Faulheit).
Was mußt Du nun machen? Unter Zuhilfenahme der Bedingungen, die Deine Mengen definieren, die Vektorraumeigenschaften nachweisen. Das sind nicht nur die drei Zeilen, sondern auch die Eigenschaften, die im Satz darüber stehen.
Das will ich hier aber nicht alles machen. Nur ein Beispiel:
1) Anschaulich in drei Dimensionen: x=0 bedeutet die yz-Ebene (ist ein Untervektorraum des [mm] \IR^{3}. [/mm] Dann y+z=0 bedeutet z=-y, also eine Gerade mit Steigung -1 durch den Ursprung. Das ist wieder ein Unterraum des ersten Unteraums. Also in drei Dimensionen ist anschaulich klar, dass es sich um einen VR handelt.
Nun allgemein: [mm] x=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}), y=(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n})\in [/mm] V
[mm] z=x+y=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})+(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots,x_{n}+y_{n})=(0+0,x_{2}+y_{2},\ldots,x_{n}+y_{n})=(0,x_{2}+y_{2},\ldots,x_{n}+y_{n})
[/mm]
[mm] z_{2}+\ldots +z_{n}=(x_{2}+\ldots +x_{n})+(y_{2}+\ldots +y_{n})=0+0=0
[/mm]
D.h. die Addition von x und y liefert wieder ein Element, das der Definition von V entspricht. Damit führt die Addition nicht aus dem Raum heraus. Faulerweise würde ich jetzt sagen, dass alles andere aus der kompopnentenweisen Anwendung auf reelle Zahlen folgt, die ja selber auch einen Vektorraum bilden. Könnte aber Punkte Kosten, wenn der Assi/Prof. alles ganz genau haben will.
Es ist im Prinzip stumpfes Nachrechnen der Vektorraumeigenschaften. Hat mir nie gefallen. Viel Lärm um nichts...
Hoffe das hilft Dir
LG
gfm
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:20 Sa 16.01.2010 | | Autor: | gfb53 |
danke erstmal,
nur leider vertshe ich durch deine erklärung (hast dir viel mühe gemach, nochmals danke) auch nicht, wie ich jetzt diese aufgabe zu lösen habe.
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> Hallo, ich bin neu hier und begrüße alle herzlich.
> Ich sitzte nun an einer Aufgabe und komme nicht weiter.
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> Ist die Menge
> U := {(x1,...,xn) E [mm] \in \IR^n| [/mm] x1=0, x2+...+xn =0}
> ein Vektorraum?
Hallo,
Du weißt sicher, daß der [mm] \IR^n [/mm] mit den einschlägigen Verknüpfungen einen Vektorraum bildet.
Hier hast Du nun einen Teilmenge U des [mm] \IR^n, [/mm] welche Du darauf prüfen sollst, ob es sich um einen Untervektorraum des [mm] \IR^n [/mm] handelt.
Wie lauten die drei Untervektorraumkriterien?
Diese sind nachzuprüfen.
Bevor Du das tust, mußt Du Dir einen Eindruck davon verschaffen, wie die Elemente aussehen, die in U enthalten sind. es ist z.B. der Vektor [mm] \vektor{1\\2\\3\\...\\n} [/mm] nicht in dieser Menge.
Es sind nur solche Vektoren enthalten, deren erste Komponente =0 ist, und bei denen die 2.-n.te Komponente addiert 0 ergeben.
Also ist [mm] x_n=-x_1-x_2-...-x_{n-1}, [/mm] und damit ist
[mm] U=\{\vektor{0\\x_2\\x_3\\\vdots\\x_{n-1}\\-x_1-x_2-...-x_{n-1}}| x_2,x_3,...,x_{n-1}\in \IR\}.
[/mm]
Nun mußt Du schauen, ob der Nullvektor in U enthalten ist,
die Summe zweier Elemente aus U auch wieder in U liegt, sowie ob jedes Vielfache von Elementen aus U auch wieder ein Element aus U ist.
Gruß v. Angela
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> Ich hab echt kein Ansatz wie man diese Aufgabe lösen kann,
> kann mir jemand vielleicht helfen?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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