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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:03 Do 30.10.2008 | | Autor: | Kocram |
| Aufgabe | | Erfinden Sie zwei Vektorräume U [mm] \subset [/mm] V, U [mm] \not= [/mm] V, welche beide die gleiche Dimension [mm] \infty [/mm] besitzen. (Bei endlicher Dimension kann es solche Vektorräume bekanntlich nicht geben!) |
Hallo,
Als Beispiel könnte V = alle Polynome sein.
Könnte man nun sagen, dass alle geraden Zahlen mit jeder denklichen Potenz der Untervektorraum sei?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:44 Do 30.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Erfinden Sie zwei Vektorräume U [mm]\subset[/mm] V, U [mm]\not=[/mm] V,
> welche beide die gleiche Dimension [mm]\infty[/mm] besitzen. (Bei
> endlicher Dimension kann es solche Vektorräume bekanntlich
> nicht geben!)
> Hallo,
>
> Als Beispiel könnte V = alle Polynome sein.
in der Tat ist das eine gute Wahl. Ich selbst, als Aufgabensteller, würde aber erwarten, dass Du dazuschreibst, wie hier die Addition bzw. Skalarmultiplikation aussehen soll (auch, wenn das klar ist, da man das nehmen kann, was einem als erstes einfällt) und auch eigentlich erwarten, dass bewiesen wird, dass das ein Vektorraum ist und warum seine Dimension [mm] $\infty$ [/mm] ist. Notfalls kannst Du Dir das aber auch ersparen und einfach auf ein Buch verweisen, wo man das findet. Vll. reicht es bei Euch aber auch durchaus, das einfach so zu sagen.
> Könnte man nun sagen, dass alle geraden Zahlen mit jeder
> denklichen Potenz der Untervektorraum sei?
Irgendwie ist das schlecht formuliert. Du meinst gar nicht alle geraden Zahlen mit..., denn in dieser Formulierung wäre das eine Teilmenge von [mm] $\IZ\,.$
[/mm]
Du willst wohl viel eher sowas fragen:
Kann man [mm] $U=\{P \text{ Polynom}: \text{ alle auftretenden Exponenten sind gerade Zahlen}\}$ [/mm] als Unterraum wählen?
Als Antwort sage ich mal: Fast. Du solltest [mm] $$U=\{P \text{ Polynom}: \text{ alle auftretenden Exponenten sind gerade Zahlen}\} \cup\{\text{Nullpolynom}\}$$ [/mm] wählen.
Denn das Nullpolynom muss ja auch in $U$ liegen...
Prüfe nun die Unterraumaxiome für $ U $ als Teilmenge des Vektorraums $ V $, der ja aus allen Polynomen besteht.
Selbstverständlich solltest Du auch noch kurz $ U [mm] \not=V [/mm] $ begründen, bzw. $ V [mm] \setminus [/mm] U [mm] \not=\emptyset\,, [/mm] $ wenn $ U $ ja schon als Unterraum von $ V $ erkannt wurde.
Gruß,
Marcel
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