Vektorräume und Homomorphismen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 So 09.12.2012 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | Es sei V ein K-Vektorraum, f: K' [mm] \to [/mm] K ein Körperhomomorphismus und seien v1,...,vn [mm] \in [/mm] V.
a) Geben Sie Verknüpfungen K' x K [mm] \to [/mm] K und K x K [mm] \to [/mm] K an, so dass K ein K'-Vektorraum ist. Begründen Sie Ihre Antwort. |
Hallo,
leider weiss ich hier nicht so richtig weiter.
Mein Ansatz war jetzt folgender:
K' x K [mm] \to [/mm] K, [mm] (\lambda, [/mm] f(v)) [mm] \mapsto f(\lambda [/mm] * v)
K x K [mm] \to [/mm] K, (f(v), f(v')) [mm] \mapsto [/mm] f(v)+f(v')=f(v+v')
Aber das kann's doch nicht sein, oder? Ich weiss irgendwie nicht, wie ich die Voraussetzung mit dem Körperhomomorphismus verarbeiten soll...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei V ein K-Vektorraum, f: K' [mm]\to[/mm] K ein
> Körperhomomorphismus und seien v1,...,vn [mm]\in[/mm] V.
>
> a) Geben Sie Verknüpfungen K' x K [mm]\to[/mm] K und K x K [mm]\to[/mm] K
> an, so dass K ein K'-Vektorraum ist. Begründen Sie Ihre
> Antwort.
> Hallo,
> leider weiss ich hier nicht so richtig weiter.
>
> Mein Ansatz war jetzt folgender:
>
> K' x K [mm]\to[/mm] K, [mm](\lambda,[/mm] f(v)) [mm]\mapsto f(\lambda[/mm] * v)
>
> K x K [mm]\to[/mm] K, (f(v), f(v')) [mm]\mapsto[/mm] f(v)+f(v')=f(v+v')
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Deine Verknüpfungen können nicht funktionieren:
[mm] \lambda*v [/mm] wäre ja eine Verknüpfung zwischen einem Element aus K' und einem aus K, und die ist bislang ja überhaupt nicht definiert.
Damit man dann f darauf anwenden kann, müßte [mm] \lambda*v [/mm] ja ein Element aus K' sein.
Die zweite Verknüpfung funktioniert auch nicht.
Sie bildet ja nicht aus dem [mm] K\times [/mm] K heraus ab, sondern aus [mm] f(K')\times f(K')\subseteq K\times [/mm] K.
Ich glaub' Du mußt das nochmal überarbeiten.
(Gibt's eigentlich noch weitere Aufgabenteile, in denen das genannte V dann eine Rolle spielt?)
LG Angela
>
> Aber das kann's doch nicht sein, oder? Ich weiss irgendwie
> nicht, wie ich die Voraussetzung mit dem
> Körperhomomorphismus verarbeiten soll...
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 So 09.12.2012 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | Die weiteren Teilaufgaben wären folgende:
b) Geben Sie Verknüpfungen K' x V [mm] \to [/mm] V und V x V [mm] \to [/mm] V an, so dass V ein K'-Vektorraum ist.
c) Zeigen Sie: v1,..,vn sind linear unabhängig in dem K-Vektorraum V [mm] \Rightarrow [/mm] v1,...,vn sind linear unabhängig in dem K'-Vektorraum V |
Also momentan weiss ich leider überhaupt nicht weiter :-(
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> Die weiteren Teilaufgaben wären folgende:
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> b) Geben Sie Verknüpfungen K' x V [mm]\to[/mm] V und V x V [mm]\to[/mm] V
> an, so dass V ein K'-Vektorraum ist.
>
> c) Zeigen Sie: v1,..,vn sind linear unabhängig in dem
> K-Vektorraum V [mm]\Rightarrow[/mm] v1,...,vn sind linear
> unabhängig in dem K'-Vektorraum V
Hallo,
achso.
> Also momentan weiss ich leider überhaupt nicht weiter :-(
Nun, da beschäftigst Du Dich erstmal am besten mit Aufg. a).
Was dort nicht funktioniert, habe ich Dir ja gesagt - Du mußt das halt überarbeiten und Deine eigenen Ideen gleich auf Sinnhaftigkeit abklopfen.
Mal als kleiner Tip:
weißt Du, daß jeder Körper K mit "geeigneten" Verknüpfungen einen K-VR über sich selbst bildet?
(Du solltest das wissen, und falls dies nicht der Fall ist, Dich mal mit diesem Sachverhalt beschäftigen.)
Ich denke, daß Du dann besser auf Ideen kommst.
Es ist ja [mm] f(K')\subseteq [/mm] K, vielleicht hilft das.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Mo 10.12.2012 | | Autor: | zjay |
Hallo,
ich beschäftige mich gerad mit derselben Aufgabe.
meine Fragen:
1.) was kann ich in dieser Aufgabe mit dem Körperhomomorphismus anfangen?
2.) könnt ihr mir hier Hinweise/Tipps liefern wie ich grundsätzlich bei dieser Aufgabe vorzugehen habe? Das Ausführen/Ausformulieren würde ich dann selber versuchen.
Ich stehe gerad genauso wie mein Vorredner auf dem Schlauch.
mfg,
zjay
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> 1.) was kann ich in dieser Aufgabe mit dem
> Körperhomomorphismus anfangen?
Hallo,
zunächst mal ist einfach zu akzeptieren, daß es voraussetzungsgemäß diesen Homomorphismus gibt.
Als nächstes lehrt die Erfahrung, daß man diesen im Verlaufe der gestellten Aufgaben gebrauchen kann.
In Aufg. a) soll ja "K mit K' irgendwie verbandelt" werden, und das einzige, was wir über die beiden Körper wissen, ist daß es diesen Homomorphismus gibt.
> 2.) könnt ihr mir hier Hinweise/Tipps liefern wie ich
> grundsätzlich bei dieser Aufgabe vorzugehen habe? Das
> Ausführen/Ausformulieren würde ich dann selber
> versuchen.
>
> Ich stehe gerad genauso wie mein Vorredner auf dem
> Schlauch.
Ich vermisse die Präsentation Deiner Versuche, K zu einem VR über K' zu machen. Insofern ist es schwer, hier zu helfen.
Ich hatte zuvor ja den Tip gegeben, daß man sich mal anschauen sollte, wie K zu einem K-VR wird, welche Verknüpfungen dort also im Spiel sind, und zu prüfen, ob man verstanden hat, daß dies ein VR ist.
Bei der Vorliegenden Aufgaben soll also die Menge K zu einem VR über dem Körper K' gemacht werden.
Dazu braucht man natürlich passende Verknüpfungen:
1.
Eine solche, die zwei Elemente des K zu einem neuen Element von K verknüpft, und zwar so, daß K mit dieser Verknüpfung eine kommutative Gruppe ist.
Man muß also eine Verknüpfung [mm] \oplus [/mm] definieren:
für [mm] k_1, k_2\in [/mm] K sei [mm] k_1\oplus k_2:=...
[/mm]
Aus welchem Fundus können wir schöpfen: zur Verfügung stehen uns die Verknüpfungen in den Körpern K und K'.
2.
Wir benötigen eine Multiplikation mit Skalaren, hier also eine Multiplikation [mm] \odot [/mm] mit Elementen des K', welche den entsprechenden VR-Axiomen Folge leistet.
für [mm] k'\in [/mm] K und [mm] k\in [/mm] K sei
[mm] k'\odot [/mm] k:=...
Auch hier stehen uns die Verknüpfungen in den Körpern K und K' zur Verfügung, und man muß nun eine Idee zur Definition der Abbildung entwickeln. An dieser Stelle wird man den Homomorphismus benötigen.
Bedenke, daß das Bild von K' unter f eine Teilmenge von K ist.
(Für die Def. sind die Elemente von K' "umzuleiten" auf solche von K)
3.
Wenn Du Verknüpfungen definiert hast, weise die Gütligkeit sämtlicher VR-Axiome nach.
Wenn das nicht klappt, wirst Du neu überlegen müssen.
Ein bißchen Probieren gehört dazu.
LG Angela
>
> mfg,
>
> zjay
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Di 11.12.2012 | | Autor: | zjay |
Abend,
danke für deinen ausführlichen Beitrag erstmal.
Mit 1.) und 2.) habe ich mich jetzt schon einige Stunden beschäftigt und bin zu folgendem gekommen:
Die Definition, auf die ich zurückgreife, lautet:
Eine Menge V mit einer inneren Verknüpfung (Addtion genannt):
V x V [mm] \rightarrow [/mm] V
(x,y) [mm] \mapsto [/mm] x+y
und einer äußeren Vernüpfung (Multiplikation von Skalaren):
K x V [mm] \rightarrow [/mm] V
[mm] (\lambda,x) \mapsto \lambda [/mm] * x =: [mm] \lambda [/mm] x
heißte K-Vektorraum (oder Vektorraum über K) genau dann, wenn sie folgende Axiome erfüllt:
V1: (V,+) ist abelsch
V2: für alle [mm] \lambda [/mm] , [mm] \mu \in [/mm] K und x,y [mm] \in [/mm] V gilt:
a) [mm] \lambda *(x+y)=\lambda [/mm] *x + [mm] \lambda [/mm] *y
b) [mm] (\lambda [/mm] + [mm] \mu)*x=\lambda [/mm] *x + [mm] \mu [/mm] *x
c) [mm] (\lambda *\mu)*x=\lambda [/mm] * [mm] (\mu [/mm] *x)
d) x*1=x [mm] (1=1_{k})
[/mm]
Zunächst einmal habe ich versucht die beiden Verknüpfungen zu zeigen:
Vektor x:={ [mm] (x_{1},x_{2},...,x_{n}) [/mm] } und Vektor y:={ [mm] (y_{1},y_{2},...,y_{n}) [/mm] }
für K x K [mm] \rightarrow [/mm] K gilt
(x,y) [mm] \mapsto x+y=(x_{1},x_{2},...,x_{n})+(y_{1},y_{2},...,y_{n})=((x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},...,x_{n}+y_{n})
[/mm]
für K' x K [mm] \rightarrow [/mm] K gilt für [mm] \lambda \in [/mm] K' und x [mm] \in [/mm] X:
[mm] \lambda *(x_{1},x_{2},...,x_{n})=(\lambda *x_{1},\lambda *x_{2},...,\lambda *x_{n})
[/mm]
Bevor ich jetzt die Axiome runterbete, würde ich gerne wissen wie "Auch hier stehen uns die Verknüpfungen in den Körpern K und K' zur Verfügung, und man muß nun eine Idee zur Definition der Abbildung entwickeln.An dieser Stelle wird man den Homomorphismus benötigen." gemeint ist.
PS:
Was ändert sich an der Aufgabe, wenn bei der Aufgabenstellung
| Aufgabe | Es sei V ein K-Vektorraum, [mm] f:\IK \rightarrow \IK [/mm] ein Körperhomomorphismus und seien [mm] v_{1},..,v_{n} \in [/mm] V.
a) Geben Sie Verknüpfungen [mm] \IK' [/mm] x [mm] \IK \rightarrow \IK [/mm] und [mm] \IK [/mm] x [mm] \IK \rightarrow \IK [/mm] an, so dass K ein K'-Vektorraum ist. Begründen Sie Ihre Antwort.
b) Geben Sie Verknüpfungen [mm] \IK' [/mm] x V [mm] \rightarrow [/mm] V und V x V [mm] \rightarrow [/mm] V an, so dass V ein K'-Vektorraum ist. Begründen Sie Ihre Antwort |
das [mm] \IK [/mm] durch den K-VR V ersetzt wird?
mfg,
zjay
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> Die Definition, auf die ich zurückgreife, lautet:
>
> Eine Menge V mit einer inneren Verknüpfung (Addtion
> genannt):
>
> V x V [mm]\rightarrow[/mm] V
> (x,y) [mm]\mapsto[/mm] x+y
>
> und einer äußeren Vernüpfung (Multiplikation von
> Skalaren):
>
> K x V [mm]\rightarrow[/mm] V
> [mm](\lambda,x) \mapsto \lambda[/mm] * x =: [mm]\lambda[/mm] x
>
> heißte K-Vektorraum (oder Vektorraum über K) genau dann,
> wenn sie folgende Axiome erfüllt:
>
> V1: (V,+) ist abelsch
> V2: für alle [mm]\lambda[/mm] , [mm]\mu \in[/mm] K und x,y [mm]\in[/mm] V gilt:
> a) [mm]\lambda *(x+y)=\lambda[/mm] *x + [mm]\lambda[/mm] *y
> b) [mm](\lambda[/mm] + [mm]\mu)*x=\lambda[/mm] *x + [mm]\mu[/mm] *x
> c) [mm](\lambda *\mu)*x=\lambda[/mm] * [mm](\mu[/mm] *x)
> d) x*1=x [mm](1=1_{k})[/mm]
Hallo,
ja, so ist "Vektorraum" definiert.
Davon, daß Du das weißt, war ich ausgegangen.
Du solltest Dich vor dem Lösen der Dir vorliegenden Aufgabe damit beschäftigen, daß jeder Körper K ein K-VR ist.
Die Verknüpfungen sind hier
a.) die Addition [mm] \oplus [/mm] der Vektoren [mm] k,l\in [/mm] K:
[mm] k\oplus [/mm] l:=k+l, wobei + die Addition im Körper ist,
b.) die Multiplikation mit Skalaren:
[mm] k\vdot [/mm] l:=kl, also die Multiplikation im Körper.
Das war in der Vorlesung garantiert dran - und man sollte es wissen.
Auch seine Dimension und eine Basis kennen.
Es ist z.B. [mm] \IR [/mm] ein [mm] \IR-VR, [/mm] ebenfalls ist [mm] \IC [/mm] eine [mm] \IC-VR.
[/mm]
>
> Zunächst einmal habe ich versucht die beiden
> Verknüpfungen zu zeigen:
>
> Vektor x:={ [mm] (x_{1},x_{2},...,x_{n}) [/mm] } und Vektor y:={ [mm] (y_{1},y_{2},...,y_{n}) [/mm] }
>
> für K x K [mm]\rightarrow[/mm] K gilt
>
> (x,y) [mm]\mapsto x+y=(x_{1},x_{2},...,x_{n})+(y_{1},y_{2},...,y_{n})=((x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},...,x_{n}+y_{n})[/mm]
Das ist Kokolores hoch drei.
K ist ein Körper.
Kein Mensch redet davon, daß wir es mit irgendwelchen Tupeln zu tun haben.
Zeig, daß K ein K'-VR mit diesen Verknüpfungen ist:
Addition: für [mm] k,l\in [/mm] K sei [mm] k\oplus [/mm] l:=k+l, wobei + die normale Addition in K ist,
Multiplikation mit Skalaren: für [mm] k'\in [/mm] K' und [mm] k\in [/mm] K sei
[mm] k'\odot [/mm] k:=f(k')*k, wobei echts die normale Multiplikation im Körper steht.
Daß K eine Gruppe bzgl der Addition ist, mußt Du nicht zeigen, denn wir verwenden die Addition des Körpers.
Zeigen mußt Du nun alle Axiome, die mit der Multiplikation mit Skalaren zu tun haben.
Ich rate Dir hierbei, die drei Multiplikation zwischen Elementen aus
K' und K,
K' und K',
K und K
deutlich zu unterscheiden, also mit verschiedenen Zeichen zu versehen,
etwa [mm] \odot, \*'und \*.
[/mm]
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 Mi 12.12.2012 | | Autor: | zjay |
okay gut, dann probier ich da bis morgen nochmal was zusammenzudeichseln ;)
Danke für die Hilfe bisher.
mfg,
zjay
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