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| Aufgabe | | Zeigen Sie: Axiom (A2) ["Kommutativgesetz der Addition"] in der Definition eines Vektorraums folgt bereits aus den anderen Axiomen. |
Ich habe irgendwie das Gefühl bei meinem Ansatz etwas wichtiges vergessen zu haben. Weil falls das stimmen sollte, wäre das Axiom (A2) in den einfachen Körperaxiomen ebenfalls redundant, was natürlich nicht sein kann. Ich muss wohl irgendwie auf die speziellen Axiome der skalaren Multiplikation zurückgreifen. Weiß aber nicht genau, was noch fehlt.
Ich hoffe jemand kann mir da einen kleinen Schubser in die richtige Richtung geben!
Mein Ansatz:
Seien v,w [mm] \in [/mm] eines Vektorraums V.
Vorgehensweise: Zeigen, dass z.B. (v + w) + (-(w + v)) = 0 gilt.
Damit wäre (-(w + v)) = (-(v + w)) bzw. (w + v) = (v + w).
(v + w) + ((-w) + (-v)) = (Add. Assoz.) v + (w + (-w)) + (-v) = (Add. Invers) v + 0 + (-v) = (Nullelement) v + (-v) = (Add. Invers) 0
[mm] \Rightarrow [/mm] ((-w) + (-v)) ist das additive Invers von (v + w) und damit gilt:
-(v + w) = (-w) + (-v) bzw (-v) + (-w) = (-w) + (-v).
[mm] \Box
[/mm]
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> Zeigen Sie: Axiom (A2) ["Kommutativgesetz der Addition"] in
> der Definition eines Vektorraums folgt bereits aus den
> anderen Axiomen.
Hallo,
Dein Unwohlsein trügt Dich nicht.
> Mein Ansatz:
> Seien v,w [mm]\in[/mm] eines Vektorraums V.
> Vorgehensweise: Zeigen, dass z.B. (v + w) + (-(w + v)) = 0
> gilt.
> Damit wäre (-(w + v)) = (-(v + w)) bzw. (w + v) = (v +
> w).
>
> (v + w) + ((-w) + (-v)) = (Add. Assoz.) v + (w + (-w)) +
> (-v) = (Add. Invers) v + 0 + (-v) = (Nullelement) v + (-v)
> = (Add. Invers) 0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] ((-w) + (-v)) ist das additive Invers von (v +
> w) und damit gilt:
> [mm] \red{ -(v + w) = (-w) + (-v) bzw (-v) + (-w) = (-w) + (-v)}.
[/mm]
> [mm]\Box[/mm]
Die Äquivalenz, die Du in der letzten Zeile verwendest, bekommst Du nicht aus den Dir zur Verfügung stehenden Axiomen, denn i.a. ist
-(v + [mm] w)\not=(-v) [/mm] + (-w).
Gruß v. Angela
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