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| Aufgabe | Der Vektorraum V habe die Dimensionen [mm] n<\infty [/mm] . Man zeige:
a) Für jedes w [mm] \in [/mm] V ist [mm] \alpha_{w} [/mm] : V* [mm] \to [/mm] K, definiert durch [mm] \alpha_{w}(v [/mm] *):=v *(w), eine Linearform auf V*, also ein Element des sog. "Bidualraumes" V**:=(V*)*.
b)Für w,w´ [mm] \in [/mm] V gilt [mm] \alpha_{w} [/mm] = [mm] \alpha_{w `} \gdw [/mm] w=w´
c)Jede Linearform [mm] \alpha [/mm] : V * [mm] \to [/mm] K auf V * ist von obiger Form, d.h. zu [mm] \alpha [/mm] gibt es ein w [mm] \in [/mm] V mit [mm] \alpha [/mm] = [mm] \alpha_{w} [/mm] |
Ich habe keine Anung wie ich das lösen kann! Kann mir jemanden helfen?
Danke!
Ramona
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Ramona!
Naja, so gar keine Ahnung vom Thema zu haben, sollte dazu führen sich mit den Vorlesungsinhalten intensiver auseinander zu setzen.
Ich gebe mal ein paar Tipps:
Im ersten Fall musst du die Linearität von [mm] $a_w$ [/mm] zeigen, also:
[mm] $a_w(\lambda u^{\star} [/mm] + [mm] \mu v^{\star}) [/mm] = [mm] \lambda a_w(u^{\star}) [/mm] + [mm] \mu a_w(v^{\star})$.
[/mm]
Das folgt aber sofort durch Einsetzen und ein paar leichten Umformungen.
Zur zweiten Aufgabe:
Ergänze $w$ zu einer Basis von $V$. Gilt [mm] $a_w =a_{w'}$, [/mm] dann muss auch [mm] $a_w(w^{\star}) [/mm] = [mm] a_{w'}(w^{\star})$ [/mm] gelten, wobei [mm] $w^{\star} \in V^{\star}$ [/mm] so gewählt ist, dass [mm] $w^{\star}(w) [/mm] =1$ und [mm] $w^{\star}$ [/mm] auf allen anderen Basiselementen verschwindet.
Zur dritten Aufgabe:
Definiere [mm] $\Phi: [/mm] V [mm] \to V^{\star\star}$ [/mm] durch [mm] $\Phi(w)=a_w$. [/mm] Nach der zweiten Aufgabe ist [mm] $\Phi$ [/mm] injektiv, also -da $V$ endlichdimensional ist- auch surjektiv.
Liebe Grüße
Stefan
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