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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Do 26.01.2006 | | Autor: | JokerX |
| Aufgabe | Sei [mm] $(U,+,\cdot)$ [/mm] ein Unterraum des K-Vektorraums [mm] $(K^{n},+,\cdot)$. ($(K,+,\cdot)$ [/mm] ist ein Körper, $n [mm] \in \IN$)
[/mm]
Beweisen Sie: Es existiert ein Unterraum [mm] $(T,+,\cdot)$ [/mm] des K-Vektorraums [mm] $(K^{n},+,\cdot)$ [/mm] mit den folgenden Eigenschaften $$(1)~U [mm] \cap T=\{0\}$$ $$(2)~U+T=K^{n}$$
[/mm]
(Ein solcher Unterraum [mm] $(T,+,\cdot)$ [/mm] von [mm] $(K^{n},+,\cdot)$ [/mm] heisst ein zu [mm] $(U,+,\cdot)$ [/mm] komplementärer Unterraum von [mm] $(K^{n},+,\cdot)$.) [/mm] |
Hallo,
ich habe diese Aufgabe zu bearbeiten, habe aber Probleme damit zu verstehen wie ich das lösen soll. Es wäre toll, wenn jemand von euch mir einen Ansatz zur Lösung geben könnte.
Grüsse,
JokerX
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Do 26.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo JokerX!
Es sei $U$ ein $k$-dimensionaler Unterraum des [mm] $\IK^n$.
[/mm]
Es sei [mm] $\{u_1,\ldots,u_k\}$ [/mm] eine Basis von $U$. Diese können wir zu einer Basis
[mm] $\{u_1,\ldots,u_k,u_{k+1},\ldots,u_n\}$
[/mm]
des [mm] $\IR^n$ [/mm] ergänzen.
Dann ist [mm] $T:=Span(u_{k+1},\ldots,u_n)$ [/mm] der gesuchte komplementäre Unterraum.
Versuche mal die beiden Eigenschaften nachzuweisen!
Liebe Grüße
Julius
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