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Hallo zusammen!
Ich habe mir einige Gedanken zu Vektorräumen gemacht und habe folgende Frage:
Es braucht ja mehrere Bedingungen, damit man von einem Vektorraum sprechen kann:
1.) f(x+y)=f(x)+f(y)
2.) [mm] f(\lambda*x)=\lambda [/mm] f(x)
... und dann noch ein paar andere Bedingungen.
Meine Frage: jetzt nehme man alle Abbildungen in der Ebene also [mm] \IR^{2}, [/mm] so wie wir sie kennen. Wir haben einen Parameter x und dann eine Funktionsvorschrift f(x).
Stimmt es, das nur alle Geraden, die durch den Ursprung gehen also vom Typ f(x)=ax allesamt Vektorräume sind?
Gibt es noch andere?
Vielen Dank im Voraus!
Gorky PArk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Mi 29.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> 1.) f(x+y)=f(x)+f(y)
>
> 2.) [mm]f(\lambda*x)=\lambda[/mm] f(x)
>
> ... und dann noch ein paar andere Bedingungen.
Dass du hier von f(x) sprichst ist sehr schlecht, i.A. nennt man die elemente eines vektorraumes x oder V, und es gehoert noch ein Koerper K dazu, z.Bsp. die reellen Zahlen, oder die rationalen Zahlen.
fuer 2 Elemente x1 und x2 aus V muss gelten x1=x2 ist wieder Element von V [mm] ,\lambda [/mm] aus K dann [mm] \lambda*x1 [/mm] aus V usw.
Was du hingeschrieben hast ist die Definition von linearen Funktionen, die man z.Bsp. auf einem vektorraum definieren kann!
des halb bilden z.bsp. alle funktionen der form ax=b einen Vektorraum, mit [mm] K=\IR [/mm] weil du bei addition von 2 solchen funktionen wieder so eine kriegst. der Vektorraum ist 2-dimensional.
Polynome vom Grad n also [mm] f=a_0+a_1x+.....+a_nx^n [/mm] bilden einen n+1 dim vektorraum, weil 2 solche polynome addiert wieder einen vektorraum ergeben.
die Menge der stetigen Funktionen bilden einen unendlich dimensionalen Vektorraum usw.
Gruss leduart
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