Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 So 07.11.2004 | | Autor: | Nadja |
Hallo!
Kann mir vielleicht jemand helfen?
Welche der folgenden Mengen sind lineare Teilräume?
" die Menge X C [mm] R^3 [/mm] der Vektoren v=(x,y,z) mit z=3x und x=2y."
" Die Menge Y C [mm] R^3 [/mm] der Vektoren v=(x,y,z) mit xy=0"
" Die Menge Z der 2x3 Matrizen A in M(2x3;R), so dass die Einträge in einer der Splaten von A alle gleich sind."
" Die Menge F der Funktion f in F(R;R) mit f(x+1)=f(x) für alle x [mm] \in [/mm] R."
Könnt ihr mir vieleicht bei dem Ansatz helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hi Nadja,
ich weiss nicht, ob ein linearer Teilraum dasselbe ist wie ein Unter(vektor)raum, aber falls ja, empfehle ich dir, einfach die beiden Axiome für Unterräume nachzurechnen, nämlich:
(U1) [mm]\forall x,y \in U: (x+y) \in U[/mm]
(U2) [mm]x \in U, \forall \lambda \in \IK: (\lambda x) \in U[/mm]
Ein Beispiel steht im Betrag "Unterräume: Definition und Aufgabe"
Gruss,
Michael
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Nadja |
hi
Also ein linearer Teilraum ist schon ein Untervektorraum.
Die Def. ist mir schon klar aber ich weiß nicht wie ich die Def anwenden soll.
Kann mir da jemand vielleicht bei dem ersten Teil der Aufgabe ein Tipp geben.
Danke
Nadaj
|
|
|
| |
|
Hallo Nadja,
Die Summe von 2 Elementen und das Vielfache eines Element des Teilraums soll wieder Element des TR sein . War doch so oder?
Setzt doch mal die Summe von 2 Vektoren in deine Bedingung ein. Kannst Du aus der Gültigkeit für jeden einzelnen die Gültigkeit für die Summe schließen?
gruß
mathemaduenn
P.S: Wenn's kein Teilraum ist ist oft ein Gegenbeispiel am einfachsten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Do 11.11.2004 | | Autor: | Nadja |
ich versteh immer noch nicht wie das funktionieren soll.
Hmmmmmmmm
Kann mir vielleicht jemand ein Beispiel wie für i geben.
Danke
|
|
|
| |
|
Hallo!
Gut, dann mal Aufgabe i) exemplarisch - das sollte Dir zeigen, wie man die Definition anwendet. 
Also, gegeben ist die Menge $X = [mm] \{ v = \pmat{x\\y\\z} : x = 2y \mbox{ und } z = 3x\} \subseteq \IR^3$.
[/mm]
Seien [mm] $v_1 [/mm] , [mm] v_2 \in [/mm] X$ beliebig. Dann gilt nach Definition:
[mm] $v_1 [/mm] = [mm] \pmat{x_1 \\ y_1 \\ z_1} [/mm] = [mm] \pmat{ 2y_1 \\ y_1 \\ 6y_1}$
[/mm]
Und ebenso
[mm] $v_2 [/mm] = [mm] \pmat{x_2 \\ y_2 \\ z_2} [/mm] = [mm] \pmat{ 2y_2 \\ y_2 \\ 6y_2}$
[/mm]
Dann gilt fuer die Summe doch:
[mm] $v_1 [/mm] + [mm] v_2 [/mm] = [mm] \pmat{2(y_1 + y_2) \\ y_1 + y+2 \\ 6(y_1 + y_2)} \in [/mm] X$
Und ebenso gilt fuer [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] beliebig:
[mm] $\lambda v_1 [/mm] = [mm] \pmat{2(\lambda y_1) \\ \lambda y_1 \\ 6(\lambda y_1)} \in [/mm] X$
Damit ist X ein linearer Teilraum.
Alles klar?
Viel Erfolg bei den anderen! Es ist wirklich ganz einfach, versprochen.
Lars
|
|
|
|
