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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Mo 28.01.2008 | | Autor: | mike8080 |
| Aufgabe | Es sei [mm] \IR[x] [/mm] = [mm] {{a_{n}x^{n} + .... + a_{1}x+a_{0} | n \varepsilon \IN, a_{i} \varepsilon \IR, i = 0,1,...n}} [/mm] die Menge aller reellen Polynome.
Bekanntlich können zwei Polynome addiert und multipliziert und mit einer reellen Zahl skalar multipliziert werden Für die reelle Polynome p = [mm] \summe_{i=0}^{n} p_{i}x^{i} [/mm] und q = [mm] \summe_{i=0}^{n} q_{i}x^{i}(n\varepsilon \IN) [/mm] und die reelle Zahl [mm] \lambda [/mm] gilt:
p+q = [mm] \summe_{i=0}^{n} (p_{i} [/mm] + [mm] q_{i})x^{i} [/mm] Addition
p* q = [mm] \summe_{i=0}^{n} \summe_{j=0}^{n} p_{i}*q_{j} x^{i+j} [/mm] Multiplikation
[mm] \lambda [/mm] * p = [mm] \summe_{i=0}^{n} \lambda p_{i}x^{i} [/mm] Skalarmultiplikation
Bemerkung: Da die Koeffizienten [mm] p_{i} [/mm] und [mm] q_{i} (i\varepsilon{(0,1,...n}) [/mm] auch gleich Null sein dürfen, beinhaltet die obige Definition auch die Addition und Multiplikation von Polynomen unterschiedlichen Grades.
(a) Zeige, dass [mm] (\IR[x],+,*) [/mm] ein [mm] \IR [/mm] - Vektorraum ist
(b) Ist [mm] (\IR[x],+,*) [/mm] ein Körper? |
Hallo Leute ich hoffe einer von euch kann mir bei der ... Aufgabe behilflich sein.
Ich such jetzt schon den ganzen Tag [naja nicht ganz aber echt schon lange  ] im Internet nach Beispielaufgaben zu dem Thema finde aber absolut garnichts.
Ich weiß nicht mal wie und wo ich bei der Aufgabe anfangen soll?
Ich bin total verzweifelt und bitte um Hilfe!!
Kann mir jemand ein Buch empfehlen mit Aufgaben bzw Lösungen zu dem Thema??
Danke für eure Hilfe
Gruß Mike
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Sabah |
(b) Ist [mm] (\IR[x],+,*) [/mm] ein Körper?
nein, [mm] (\IR[x],+,*) [/mm] ist ein Ring
oder Halbkörper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi,
um eine Aufgabe lösen zu können, muss man zunächst einmal verstehen, was man überhaupt machen soll.
Zu (a): Weißt Du denn, was ein Vektorraum/Gruppe ist?
Die Aufgabe verlangt von Dir, dass Du die Vektorraum-Axiome nachweist. Im Einzelnen findest Du diese z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier.
Zu (b): R[X] ist stets ein Ring, der sog. Polynomring. Woran könnte es scheitern, dass R[X] kein Körper ist. Überlege Dir, dass es i.A. keine multiplikativen Inverse gibt, benutze dazu die Gradformeln.
LG
Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Mo 28.01.2008 | | Autor: | mike8080 |
Danke für die schnelle Antwort!
Ich hab heute schon aufgaben zu den Untervektorräumen gemacht die waren leichter aber du hast recht so ganz verstanden hab ich die Thematik noch nicht :-/
Die Summenformel macht mir in der Aufgabe Probleme.
eigentlich muß ich ja "nur" prüfen:
1) ob R[x] durch 0 geht
2) ob Teilmenge abgeschlossen im bezug auf die Vektoraddition ist
3) ob die Teilmenge abgesch. im bezug auf die Skalarmultiplikation ist
aber wie macht man das bei einer Summenformel?
bis jetzt hab ich nur solche gemacht z.B.
V1 := {x1,x2,x3,x4) [mm] \varepsilon \IR^{4} [/mm] | x1 + x4 =2*x2}
Gibt es irgenwo ein Beispiel für nen Untervektorraum mit Summenformel?
Dann macht es vielleicht klick, aber so fehlt mir total der ansatz.
gruß mike
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> Die Summenformel macht mir in der Aufgabe Probleme.
> eigentlich muß ich ja "nur" prüfen:
>
> 1) ob R[x] durch 0 geht
> 2) ob Teilmenge abgeschlossen im bezug auf die
> Vektoraddition ist
> 3) ob die Teilmenge abgesch. im bezug auf die
> Skalarmultiplikation ist
Hallo,
ob Du nur das prüfen mußt, hängt stark davon ab, was Ihr in der Vorlesung bereits gezeigt habt.
Wenn bereits bekannt sit, daß die Abb. v. [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] mit der in Deiner Aufgabe definierten Addition und Multiplikation mit Körperelementen einen VR bilden, mußt Du tatsächlich lediglich zeigen, daß die Polynome einen Unterraum bilden, also 1)-3) nachweisen.
Falls Du Dich nicht auf den VR der Abbildungen v. [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] berufen kannst, mußt Du die VR-Axiome komplett nachweisen - was ich aber eigentlich nicht vermute.
> aber wie macht man das bei einer Summenformel?
Im Moment sind wir ja bei Aufgabe a) - also frei v. Doppelsummen, denn im VR werden ja keine Elemente desselbigen miteinander multipliziert. Insofern kannst Du Dich wegen der Summen schonmal ein wenig abregen.
Ansonsten hindert Dich ja niemand daran, die Summe p = $ [mm] \summe_{i=0}^{n} p_{i}x^{i} [/mm] $ auszuschreiben als [mm] p=p_0x^0+p_1x^1+p_2x^2+...+p_nx^n.
[/mm]
Damit ist das gar fürchterliche Summenzeichen verschwunden.
Wenn Du nun die UVR-Kriterien nachweist, überlege Dir zu
1) ob die Null des VRs der reellen Funktionen in R[x] enthalten ist.
2) Addiere [mm] p:=p_0x^0+p_1x^1+p_2x^2+...+p_nx^n [/mm] und [mm] q:=q_0x^0+q_1x^1+q_2x^2+...+q_nx^n [/mm] und guck nach, ob das Ergebnis ein Polynom ist
3) Multipliziere [mm] p=p_0x^0+p_1x^1+p_2x^2+...+p_nx^n [/mm] mit [mm] \lambda\in \IR [/mm] und guck nach, ob Du ein Polynom erhältst.
Das ist alles kein Hexenwerk.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Di 29.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi,
> Die Summenformel macht mir in der Aufgabe Probleme.
ich glaub, nun weiß ich, wo Dein Problem liegt. Mache Dir klar, welche Elemente Dein Vektorraum enhält. In unserem Fall sind das alle endlichen Polynome über einem speziellen Körper. D.h. Deine "Summen" sind also die Elemente des Vektorraums, nichts weiter. Zwei Vektoren kann man stets miteinander verknüpfen (addieren) und man kann einen Vektor mit einem Skalar multiplizieren.
> eigentlich muß ich ja "nur" prüfen:
>
> 1) ob R[x] durch 0 geht
> 2) ob Teilmenge abgeschlossen im bezug auf die
> Vektoraddition ist
> 3) ob die Teilmenge abgesch. im bezug auf die
> Skalarmultiplikation ist
>
> aber wie macht man das bei einer Summenformel?
Auch nicht anders als bei anderen Vektorräumen. Hier die ersten Schritte:
Die konstante Nullfunktion 0· X0 = 0 ist ein Polynom und somit auch im Vektorraum enthalten.
Seien nun [mm] $p:=\summe_{i=0}^{n}{a_iX^i}, q:=\summe_{j=0}^{m}{b_j X^j}$ [/mm] zwei Polynome, nun musst Du nachweisen, dass dann auch die Summen von beiden ein Polynom ist mit endlichem Grad. Dazu musst Du Dir nur angucken, wie die Addition von Polynomen definiert ist.
LG
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:50 Sa 02.02.2008 | | Autor: | mike8080 |
Hallo Zusammen,
also wir haben die Aufgabe nochmals mit unserem Prof besprochen und ich muß sagen ich wär nie auf die Lösung gekommen,
erst haben wir geprüft:
- ob es eine kommutative Gruppe ist
- Assoziativität gilt
- neutrales Element enthalten ist
- Distributivgesetz
usw.
Ich hau mir jetzt nochmal die Grundlagen rein und dann mal sehen ob es klappt. Trotzdem danke an alle
gruß Michael
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