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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 So 07.06.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben ist der Untervektorraum [mm] U={(\vektor{a \\ b \\ 0})|a,b \in\IR} [/mm] des Vektorraums [mm] V_{3}.
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Dimension von U.
b) Geben Sie zwei verschiedene Basen von U an und bestimmen Sie die Linearkombinationsdarstellung der Basisvektoren durch die jeweils anderen Basisvektoren.
c) Welche geometrische Deutung ist für den Vektorraum U möglich? |
Hallo zusammen^^
Ich beschäftige mich grad mit dieser Aufgabe und komme bei der b) nicht mehr weiter.Stimmen die a) und die c) so?
a) Ich kann ja schreiben:
[mm] (\vektor{a \\ b \\ 0})=a*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+b*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}.
[/mm]
Diese zwei Vektoren sind linear unabhängig,daher ist die Dimension 2.
b) Also eine Basis hab ich ja schon,nämlich die aus a) [mm] a*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] b*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}.Ich [/mm] weiß nur nicht wie ich eine andere Basis rauskriegen soll und was mit "bestimmen Sie die Linearkombinationsdarstellung der Basisvektoren durch die jeweils anderen Basisvektoren" gemeint ist?
c) Also da der UVR 2-Dimensional ist,könnte man ihn als eine Ebene auffassen.Die Richtungsvektoren sind jeweils die Richtungsvektoren der x-Achse und der y-Achse.Daher ist es die x-y-Ebene.
Wäre das so richtig?
Vielen Dank
lg
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Hallo,
deine Überlegungen sind soweit richtig. Aufpassen musst du nur mit dem Begriff "Basis", denn nicht [mm]a* \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] ist ein Basisvektor, sondern nur [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm].
Im Grunde besteht deine Aufgabe bei b) nur darin, zwei Vektoren zu finden, die im 3. Eintrag eine 0 haben und linear unabhängig sind. Zwei Vektoren sind dann l.u., wenn der eine nicht das Vielfache des anderen ist. Also hast du da wirklich viele Möglichkeiten, z.B.
[mm]\vec{b_1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vec{b_2}=\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Und dann kannst du diese beiden als Linearkombination deiner beiden Basisvektoren schreiben:
[mm]\vec{b_1}=1*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} + 1*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
sowie
[mm]\vec{b_2}=2*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} + 1*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Andersrum kannst du das dann natürlich auch schreiben (denn auch [mm]\vec{b_1}[/mm] und [mm]\vec{b_2}[/mm] bilden eine Basis):
[mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=1*\vektor{2 \\ 1 \\ 0} - 1* \vektor{1 \\ 1 \\ 0}= 1*\vec{b_2} - 1*\vec{b_1}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}=-1*\vektor{2 \\ 1 \\ 0} + 2* \vektor{1 \\ 1 \\ 0}= -1*\vec{b_2} + 2*\vec{b_1}[/mm]
Wie gesagt - das ist nur eine weitere Beispiel-Basis, du kannst beliebig viele andere finden.
Gruß,
weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Achso,ist ja eigentlich ganz einfach =)
lg
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