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| Aufgabe | Es sei mit [mm] P_{n} [/mm] der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad k [mm] \le [/mm] n bezeichnet.
a) Zeigen Sie, dass V = {p [mm] \in P_{n} [/mm] | p hat nur ungerade Exponenten} ein Unterraum von [mm] P_{n} [/mm] ist. Geben Sie für diesen Raum eine Basis an und bestimmen Sie die Dimension von V
b) Betrachten sie speziell [mm] P_{2}. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] (p_{1},p_{2},p_{3}.p_{4}) [/mm] mit
[mm] p_{1}(x) [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + x - 1, [mm] p_{2}(x)= x^{2} [/mm] - x + 1, [mm] p_{3}(x)= [/mm] x, [mm] p_{4}(x) [/mm] = x + 4
ein Erzeugendensystem von [mm] P_{2} [/mm] ist. Ist das System auch eine Basis? Wenn nicht, verkürzen Sie es zu einer Basis. |
zur a) Sollte ich hier etwa ein Polynom bzw. Term kennen, dass alle möglichen Exponenten hat?
Ist sowas hier z.B. gemeint: [mm] ax^{3}+bx [/mm] (+ c nicht, da die 0 ein gerader Exponent wäre)
Ansonsten gehe ich mathematisch wie vor?
b) Was soll ich denn mit den einzelnen Polynomen machen? Wie prüfe ich am effizientesten, ob etwas ein erzeugendensystem ist? Eine Basis, wenn ich mich recht entsinne wären 3 Vektoren, die l.u. sind eine Basis und auch ein erzeugendensystem, aber ich weiss nicht, wie ich das auf polynome transferieren soll.
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen, da ich einfach keine Ahnung von Vektorräumen im Allgemeinen habe.
Vielen Dank und dem Forum bin ich natürlich treu ergeben.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Di 26.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
a. steht da doch gerade Exponenten nicht ungerade, also
[mm] p_{k}=\summe_{i=0}^{[n/2]}a_i*x^{2i}
[/mm]
dann die Kriterien für UVR zeigen.
b. du musst zeigen, dass du alle Pol. der Form [mm] ax^2+b [/mm] erzeugen kannst. Dass es keine Basis ist solltest du sehen! Eine Basis ist dann leicht zu finden.
Gruss leduart
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Danke für den Hinweis, dass ich mich verschrieben habe. Tatsächlich gemeint sind nur ungerade Exponenten für p.
Wärst du noch so freundlich UVR auszuschreiben, damit ich das googeln kann und somit mit etwas glück herausfinde, was zu tun ist?
Bei der (b) Stelle ich das wie am geschicktesten an? Das erinner tmich ein wenig daran Vektoren auf l.u. zu überprüfen.
Sprich ich nehme mir z.B. p1 und p2 und addiere sie und dabe bekomme ich ja [mm] 2x^{2} [/mm] raus, was ein [mm] P_{2} [/mm] w#re und fahre so mit allen kombinationen durch.
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Hallo,
> Danke für den Hinweis, dass ich mich verschrieben habe.
> Tatsächlich gemeint sind nur ungerade Exponenten für p.
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> Wärst du noch so freundlich UVR auszuschreiben,
Da hier über Unter(vektor)räume geredet wird, wird UVR wohl was bezeichnen??
> damit ich
> das googeln kann und somit mit etwas glück herausfinde,
> was zu tun ist?
>
>
> Bei der (b) Stelle ich das wie am geschicktesten an? Das
> erinner tmich ein wenig daran Vektoren auf l.u. zu
> überprüfen.
Zum testen auf Erzeugendensystem nimm dir ein beliebiges Ploynom aus [mm] $P_2$ [/mm] her, etwa [mm] $p(x)=ax^2+bx+c$ [/mm] und versuche, es als LK der gegebenen Polynome darzustellen.
Also [mm] $ax^2+bx+c=\sum\limits_{i=1}^{4}\lambda_i\cdot{}p_i(x)$
[/mm]
Findest du entsprechende Koeffizienten [mm] $\lambda_i$ [/mm] (in Abhängigkeit von $a,b,c$)?
Die Frage nach der Basis erübrigt sich, wenn du über die Dimension von [mm] $P_2$ [/mm] nachdenkst. Wie sieht denn die Standardbasis von [mm] $P_2$ [/mm] aus?
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> Sprich ich nehme mir z.B. p1 und p2 und addiere sie und
> dabe bekomme ich ja [mm]2x^{2}[/mm] raus, was ein [mm]P_{2}[/mm] w#re und
> fahre so mit allen kombinationen durch.
Nein, strukturierter ...
Du solltest mal in deine Mitschrift oder ins Skript schauen.
Oder gar in ein LA-Buch ...
Gruß
schachuzipus
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