Vektorraum & Erzeugendensystem < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 Do 09.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
| Aufgabe | Sei [mm] \IR^\le^2 [/mm] der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad
Familie S = (x + 1, x − 1, [mm] x^2 [/mm] − 1, [mm] x^2 [/mm] + 1) ein Erzeugendensystem
Teiltupel S' von S so, dass S' eine Basis von [mm] \IR^\le^2 [/mm] ist. |
Hallo zusammen,
ich habe kleine Mühe bei dieser Aufgabe.
Verstehe ich das richtig, das ich prüfen muss, dass S eine Basis im Vektorraum [mm] \IR^\le^2 [/mm] ist?
Und dann noch eine zweite Basis S' finden muss, die eine Teilmenge von S ist?
Ich habe diese Frage auf kein anderes Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 Do 09.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\IR^\le^2[/mm] der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad
> Familie S = (x + 1, x − 1, [mm]x^2[/mm] − 1, [mm]x^2[/mm] + 1)
> ein Erzeugendensystem
> Teiltupel S' von S so, dass S' eine Basis von [mm]\IR^\le^2[/mm]
> ist.
> Hallo zusammen,
>
> ich habe kleine Mühe bei dieser Aufgabe.
>
> Verstehe ich das richtig, das ich prüfen muss, dass S eine
> Basis im Vektorraum [mm]\IR^\le^2[/mm] ist?
> Und dann noch eine zweite Basis S' finden muss, die eine
> Teilmenge von S ist?
>
> Ich habe diese Frage auf kein anderes Forum gestellt.
Ich nehme an, dass Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 2 gemeint sind.
Du sollst 2 Dinge tun:
1. Zeige, dass S ein Erzeugendensystem Deines Vektorraumes ist.
2. Bestimme eine Teilmenge S' von S so, dass S' eine Basis des Vektoraumes ist.
Ich mach Dir mal ein anderes Beispiel:
Hier ist der Vektorraum der [mm] \IR^2. [/mm] Dann ist S={ [mm] \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1}, \vektor{2 \\ -3} [/mm] } ein Erzeugendensystem aber keine Basis des [mm] \IR^2.
[/mm]
Mit S' = { [mm] \vektor{1 \\ 0}, \vektor{2 \\ -3} [/mm] } hast Du eine Teilmenge von S, die eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] ist.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:01 Fr 10.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
irgendwie habe ich mühe mit der schreibweise....
wie prüfe ich ob die famile S = (x+1, x-1, [mm] x^2-1, x^2+1) [/mm] ein erzeugendes system ist?
(v1, v2, v3, v4) = [mm] \lambda(x+1), \mu(x-1), \nu(x^2-1), \varepsilon(x^2+1)
[/mm]
dann
v1 = [mm] \lambda(x+1)
[/mm]
v2 = [mm] \mu(x-1)
[/mm]
v3 = [mm] \nu(x^2-1)
[/mm]
v4 = [mm] \varepsilon(x^2+1)
[/mm]
dann alles auf die variabeln [mm] \lambda, \mu, \nu [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] lösen und schon ist gezeigt, dass es ein erzeugendes system ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Fr 10.10.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich habe eine Idee. Allerdings geht das nur, wenn du benutzen darfst, dass
[mm] \{x^k|k=0,1,...,n\} [/mm] eine Basis (also: Erzeugendensystem und linear unabhängig) der Polynome vom Grad [mm] n\in\IN [/mm] ist.
In deinem Fall: [mm] \{x^k|k=0,1,2\}=\{1,x,x^2\}
[/mm]
Wenn du weißt (und: es benutzen darfst z.B., weil ihr das in der Vorlesung gemacht habt) dass [mm] x^0=1,x,x^2 [/mm] eine Basis des [mm] \IR-Vektorraums [/mm] der Polynome vom Grad [mm] \le{2} [/mm] ist.
Dann kannst du sagen, [mm] S=(x+1,x-1,x^2-1, x^2+1) [/mm] ist erzeugend, wenn es Linearkombinationen aus [mm] S=(x+1,x-1,x^2-1, x^2+1) [/mm] gibt, die [mm] 1,x,x^2 [/mm] bilden. Sprich
[mm] 1=\lambda*(x+1)+\gamma*(x-1)+\alpha*(x^2-1)+\beta*(x^2+1)
[/mm]
[mm] =\lambda*x+\lambda+\gamma*x-\gamma+\alpha*x^2-\alpha+\beta*x^2+\beta
[/mm]
[mm] =x^2*(\alpha+\beta)+x*(\lambda+\gamma)+1*(\lambda-\gamma-\alpha+\beta)
[/mm]
Jetzt sehen wir durch Koeffizientenvergleich:
i) [mm] \alpha+\beta=0 \gdw \alpha=-\beta
[/mm]
ii) [mm] \lambda+\gamma=0 \gdw \lambda=-\gamma
[/mm]
iii) [mm] \lambda-\gamma-\alpha+\beta=1, [/mm] wir wissen: aus i) und ii) [mm] \alpha=-\beta [/mm] und [mm] \lambda=-\gamma
[/mm]
[mm] -\gamma-\gamma+\beta+\beta=1\gdw 2\beta=1+2\gamma
[/mm]
Wähle zum Beispiel: [mm] \beta=1, [/mm] so ist (damit die Gleichung erfüllt ist) [mm] \gamma=\bruch{1}{2}
[/mm]
Zu i) Sei [mm] \beta=1, [/mm] dann ist [mm] \alpha=-1
[/mm]
Zu ii) Sei [mm] \gamma=\bruch{1}{2}, [/mm] dann ist [mm] \lambda=-\bruch{1}{2}
[/mm]
Es ist demnach
[mm] 1=-\bruch{1}{2}*(x+1)+\bruch{1}{2}*(x-1)-1*(x^2-1)+1*(x^2+1)
[/mm]
So musst du auch vorgehen für
[mm] x=\lambda*(x+1)+\gamma*(x-1)+\alpha*(x^2-1)+\beta*(x^2+1)
[/mm]
und
[mm] x^2=\lambda*(x+1)+\gamma*(x-1)+\alpha*(x^2-1)+\beta*(x^2+1)
[/mm]
Findest du auch hier Linearkombinationen, die die Gleichung erfüllen, so erzeugt S demnach [mm] 1,x,x^2, [/mm] die die Polynome vom Grad [mm] \le{2} [/mm] erzeugen und somit erzeuget auch S die Polynome vom Grad [mm] \le{2}.
[/mm]
Das war jetzt der erste Schritt, den fred97 angesprochen hat.
Bleibt noch 2. zu zeigen:
> 2. Bestimme eine Teilmenge S' von S so, dass S' eine Basis des Vektoraumes ist.
[mm] S=(x+1,x-1,x^2-1, x^2+1) [/mm] eine Basis, wenn aus
[mm] 0=\lambda*(x+1)+\gamma*(x-1)+\alpha*(x^2-1)+\beta*(x^2+1)
[/mm]
folgt, dass [mm] \lambda=\gamma=\alpha=\beta=0. [/mm]
Wenn wir wieder umstellen:
[mm] 0=\lambda*(x+1)+\gamma*(x-1)+\alpha*(x^2-1)+\beta*(x^2+1)
[/mm]
[mm] =x^2*(\alpha+\beta)+x*(\lambda+\gamma)+1*(\lambda-\gamma-\alpha+\beta)
[/mm]
Da [mm] 1,x,x^2 [/mm] linear unabhängig, folgt: [mm] (\alpha+\beta)=0 [/mm] und [mm] (\lambda+\gamma) [/mm] und [mm] (\lambda-\gamma-\alpha+\beta)=0.
[/mm]
Folgt daraus aber [mm] \lambda=\gamma=\alpha=\beta=0 [/mm] ???
Wenn ja, dann handelt es sich hierbei um eine Basis,
wenn nicht, dann ist [mm] S'\subset{S}.
[/mm]
Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen. Wenn du allerdings, dass , was ich vorausgesetzt habe, nicht nutzen darfst, dann kannst du mit meinen Tipps nichts anfangen. ![[scheisskram]](/images/smileys/scheisskram.gif "[scheisskram]") Deswegen stelle ich den Status auf "teilweise bantwortet".
MfG barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Fr 10.10.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Hey barsch....
....deine Idee finde ich super...nein in der vorlesung hatten wir das nicht, ABER es wahr die 1 Aufgabe auf diesem Übungsblatt. Also denke ich, ich könnte es ja doch Voraussetzen indem ich auf Aufgabe 1 verweise....was meinst Du?
Gruss,
nadine
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Fr 10.10.2008 | | Autor: | barsch |
Hi Nadine,
> Hey barsch....
>
> ....deine Idee finde ich super...nein in der vorlesung
> hatten wir das nicht, ABER es wahr die 1 Aufgabe auf diesem
> Übungsblatt. Also denke ich, ich könnte es ja doch
> Voraussetzen indem ich auf Aufgabe 1 verweise....was meinst
> Du?
ja, du kannst dann auf die 1. Aufgabe verweisen und so vorgehen.
> Gruss,
> nadine
MfG barsch
|
|
|
|
