Vektorraum Polynomfkt. Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei V der reelle Vektorraum der Polynomfunktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR, [/mm] vom Höchstgrad 2 , d.h., der Raum aller Funktionen f,
f(x) = [mm] c_{0} [/mm] + [mm] c_{1} \* [/mm] x + [mm] c_{2} \* x^{2}
[/mm]
mit [mm] c_{0},c_{1},c_{2} \in \IR [/mm] , für alle x [mm] \in \IR. [/mm] Für eine feste Zahl t und alle x [mm] \in \IR [/mm] definiert man:
[mm] g_{1}(x) [/mm] = 1, [mm] g_{2}(x)= [/mm] x+t, [mm] g_{3}(x) [/mm] = [mm] (x+t)^{2} [/mm] .
Zeigen Sie, dass [mm] B=({g_{1},g_{2},g_{3}}) [/mm] eine Basis für V ist und bestimmen sie die Koordinaten von f [mm] \in [/mm] V in B. |
huhu,
ja eine seeehr lange Aufgabenstellung...^^ Ich hab hier schon n paar verschiedene Versuche mit Gleichungssystem versucht aber nix irgendwie haut so wirklich hin. Das einzige, was ich bzgl. der Polynomfunktion 2. Grades sagen kann, ist, dass sie eine basis hat mit [mm] (1,x,x^{2}). [/mm] Muss man vielleicht zeigen, dass diese Basis in basis B steckt? Oder wie würdet ihr vorgehen?
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> Es sei V der reelle Vektorraum der Polynomfunktionen von
> [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR,[/mm] vom Höchstgrad 2 , d.h., der Raum aller
> Funktionen f,
>
> f(x) = [mm]c_{0}[/mm] + [mm]c_{1} \*[/mm] x + [mm]c_{2} \* x^{2}[/mm]
>
> mit [mm]c_{0},c_{1},c_{2} \in \IR[/mm] , für alle x [mm]\in \IR.[/mm] Für
> eine feste Zahl t und alle x [mm]\in \IR[/mm] definiert man:
> [mm]g_{1}(x)[/mm] = 1, [mm]g_{2}(x)=[/mm] x+t, [mm]g_{3}(x)[/mm] = [mm](x+t)^{2}[/mm] .
>
> Zeigen Sie, dass [mm]B=({g_{1},g_{2},g_{3}})[/mm] eine Basis für V
> ist und bestimmen sie die Koordinaten von f [mm]\in[/mm] V in B.
> huhu,
> ja eine seeehr lange Aufgabenstellung...^^ Ich hab hier
> schon n paar verschiedene Versuche mit Gleichungssystem
> versucht aber nix irgendwie haut so wirklich hin. Das
> einzige, was ich bzgl. der Polynomfunktion 2. Grades sagen
> kann, ist, dass sie eine basis hat mit [mm](1,x,x^{2}).[/mm] Muss
> man vielleicht zeigen, dass diese Basis in basis B steckt?
> Oder wie würdet ihr vorgehen?
Jup, das ist eine gute Idee.
Zeig einfach, dass sich [mm] 1,x,x^2 [/mm] alle drei darstellen lassen mit deiner Basis B, dann bist du fertig.
Um f in entsprechenden Koordinaten darzustellen nimm dir erst [mm] $g_3$, [/mm] das ist nämlich der einzige, in dem ein quadratischer Faktor drinnsteckt.
Die anderen kriegst du dann auch sicher hin. ;)
lg
Schadow
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hey^^
schön dass der Ansatz richtig war. Ich lass mich grad nur von dem t verunsichern. Ich meine damit ich [mm] (1,x,x^{2}) [/mm] mithilfe von B darstellen kann muss ja t gleich 0 sein oder? Oder hab ich "herausgefunden" dass die feste Zahl t 0 ist?
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> hey^^
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> schön dass der Ansatz richtig war. Ich lass mich grad nur
> von dem t verunsichern. Ich meine damit ich [mm](1,x,x^{2})[/mm]
> mithilfe von B darstellen kann muss ja t gleich 0 sein
> oder? Oder hab ich "herausgefunden" dass die feste Zahl t 0
> ist?
>
>
Hallo,
t ist eine beliebige aber feste Zahl, und du sollst zeigen, daß die die drei Vektoren [mm] g_1(x), g_2(x), g_3(x) [/mm] eine Basis sind, egal, was man für t hinschreibt.
Oftmals ist es einfacher, die Aufgabenstellung zunächst mal für ein konkretes t zu bearbeiten, etwa für t=5.
Zeigen müßtest Du, daß Du [mm] 1,x,x^2 [/mm] als linearkombination von [mm] g_1(x), g_2(x), g_3(x) [/mm] schreiben kannst,
daß Du also reelle Zahlen [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] findest mit
[mm] a_1g_1(x)+a_2g_2(x)+a_3g_3(x)=1,
[/mm]
für die beiden anderen analog.
Die Koeffizienten werden vermutlich vom t abhängen.
Wie gesagt, die Sache mal für t=5 durchzuspielen, wäre kein Fehler.
Gruß v. Angela
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huhu,
erstmal danke für die versch Möglichkeiten die du schreibst.
ne Lösung für das erste wäre denke ich
[mm] a_{1}\*g_{1} [/mm] + [mm] a_{2}\*g_{2} [/mm] + [mm] a_{3}\*g_{3}=1
[/mm]
=> darstellbar durch [mm] 1\*g_{1} [/mm] + 0 [mm] \* g_{2} [/mm] + 0 [mm] \*g{3}
[/mm]
Nicht wirklich ne Kunst, aber beim zweiten wirds schon härter...
[mm] a_{1}\*g_{1} [/mm] + [mm] a_{2}\*g_{2} [/mm] + [mm] a_{3}\*g_{3}=x
[/mm]
ich denke ich sehe richtig, dass [mm] a_{1} [/mm] zwingend 0 sein muss. Dann hab ich
[mm] a_{2}\*(x+t) [/mm] + [mm] a_{3}\*(x+t)^{2} [/mm] = x
Ausmultipliziert:
[mm] a_{2}\*x [/mm] + [mm] a_{2}\*t [/mm] + [mm] a_{3}\*x^{2} [/mm] + [mm] a_{3}\*2xt [/mm] + [mm] a_{3}\*t^{2} [/mm] = x
soweit, sogut. bin mir nicht sicher, aber wegen dem [mm] x^{2} [/mm] das vorkommt, muss ich [mm] a_{3} [/mm] auch 0 wählen oder?
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> ne Lösung für das erste wäre denke ich
> [mm]a_{1}\*g_{1}[/mm] + [mm]a_{2}\*g_{2}[/mm] + [mm]a_{3}\*g_{3}=1[/mm]
> => darstellbar durch [mm]1\*g_{1}[/mm] + 0 [mm]\* g_{2}[/mm] + 0 [mm]\*g{3}[/mm]
>
> Nicht wirklich ne Kunst, aber beim zweiten wirds schon
> härter...
>
> [mm]a_{1}\*g_{1}[/mm] + [mm]a_{2}\*g_{2}[/mm] + [mm]a_{3}\*g_{3}=x[/mm]
>
> ich denke ich sehe richtig, dass [mm]a_{1}[/mm] zwingend 0 sein
> muss.
Hallo,
da wäre ich mir nicht von vornherein sicher, und so lange, bis das Gegenteil bewiesen ist, solltest Du nichts weglassen.
Du bekommst
[mm] a_1*1+$a_{2}\*(x+t)$ [/mm] + [mm] $a_{3}\*(x+t)^{2}$ [/mm] = x
<==>
[mm] a_1+$a_{2}\*x$ [/mm] + [mm] $a_{2}\*t$ [/mm] + [mm] $a_{3}\*x^{2}$ [/mm] + [mm] $a_{3}\*2xt$ +$a_{3}\*t^{2}$ [/mm] = x
Jetzt sortiere nach 1, x, [mm] x^2, [/mm] also
(...)*1+ [mm] (...)*x+(...)*x^2=x.
[/mm]
Vielleicht kommst du jetzt drauf, wie es weitergeht.
Gruß v. Angela
> Dann hab ich
>
> [mm]a_{2}\*(x+t)[/mm] + [mm]a_{3}\*(x+t)^{2}[/mm] = x
>
> Ausmultipliziert:
>
> [mm]a_{2}\*x[/mm] + [mm]a_{2}\*t[/mm] + [mm]a_{3}\*x^{2}[/mm] + [mm]a_{3}\*2xt[/mm] +
> [mm]a_{3}\*t^{2}[/mm] = x
>
> soweit, sogut. bin mir nicht sicher, aber wegen dem [mm]x^{2}[/mm]
> das vorkommt, muss ich [mm]a_{3}[/mm] auch 0 wählen oder?
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ahhhhh jetzt geht mir n licht auf^^
wir haben:
[mm] (a_{1}+a_{3}\*t+a_{2}t^{2}) [/mm] + [mm] (a_{2}-a_{2}\*2\*t)\*x +(a_{3})=x
[/mm]
wir wollen also
[mm] (a_{1}+a_{3}\*t+a_{2}t^{2}) [/mm] = 0
[mm] (a_{2}-a_{2}\*2\*t) [/mm] = 0
[mm] a_{3}=1
[/mm]
haben.
das pack ich analog auch mit [mm] x^{2}
[/mm]
hast du vlt n tipp bezüglich den Koordinaten?
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> ahhhhh jetzt geht mir n licht auf^^
Das paßt zum Advent.
>
> wir haben:
>
> [mm](a_{1}+a_{3}\*t+a_{2}t^{2})[/mm] + [mm](a_{2}-a_{2}\*2\*t)\*x +(a_{3})x^2=x[/mm]
Irgendwie ist ein bißchen Chaos mit den [mm] a_i.
[/mm]
Die Gleichung, von der wir ausgingen, war doch $ [mm] a_1\cdot{}1+ [/mm] $ $ [mm] a_{2}*(x+t) [/mm] $ + $ [mm] a_{3}*(x+t)^{2} [/mm] $ = x .
Aber vom Prinzip her hast Du verstanden, wie ich es meinte.
>
> wir wollen also
> [mm](a_{1}+a_{3}\*t+a_{2}t^{2})[/mm] = 0
> [mm](a_{2}-a_{2}\*2\*t)[/mm] = 0
> [mm]a_{3}=1[/mm]
Aus dem Gleichungssystem mußt Du nun die [mm] a_i [/mm] errechnen.
>
> haben.
> das pack ich analog auch mit [mm]x^{2}[/mm]
Das denke ich auch.
>
> hast du vlt n tipp bezüglich den Koordinaten?
Du sollst $ [mm] c_{0} [/mm] $ + $ [mm] c_{1} [/mm] * $ x + $ [mm] c_{2} [/mm] * [mm] x^{2} [/mm] $ als Linearkombination der [mm] g_i [/mm] schreiben, also [mm] \lambda_i\in \IR [/mm] finden mit
[mm] c_{0} [/mm] $ + $ [mm] c_{1} [/mm] * $ x + $ [mm] c_{2} [/mm] * [mm] x^{2}=\lambda_1g_1(x)+\lambda_2g_28x)+\lambda_3g_3(x).
[/mm]
Die [mm] \lambda_i [/mm] werden von den [mm] c_i [/mm] abhängen, und auch t wird wohl irgendwie drin rumschwirren.
Der Koordinatenvektor von f bzgl B ist dann der Vektor [mm] \vektor{\lambda_1\\\lambda_2\\\lambda_3}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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K habs hingekriegt soweit ;)
Kann jemand den Thread closen? wollte nur danke sagen aber durch überarbeiten des textes wurde daraus ne frage ;P
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blöd dass ich mir nicht selber antworten kann ; P
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grrr.... ich höng jetzt doch iwie an den Koordinaten rum... also Ausgangsgleichung hab ich:
[mm] c_{0} [/mm] + [mm] c_{1}x [/mm] + [mm] c_{2} x^{2} [/mm] = [mm] \lambda_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}(x+t) [/mm] + [mm] \lambda_{3}(x+t)^{2}
[/mm]
ausmultipliziert:
[mm] c_{0} [/mm] + [mm] c_{1}x [/mm] + [mm] c_{2} x^{2} [/mm] = [mm] \lambda_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}x+ \lambda_{2}t +\lambda_{3}x^{2}+ \lambda_{3}t^{2} [/mm] + [mm] \lambda_{3}2xt
[/mm]
uff uff so viele Unbekannte... Ich weiß gar nicht was ich da großartig kürzen/rausschmeissen kann. Ich könnt höchstens umstellen wie z.b.
[mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] c_{0} [/mm] + [mm] c_{1}x [/mm] + [mm] c_{2} x^{2} [/mm] - [mm] \lambda_{2}x- \lambda_{2}t -\lambda_{3}x^{2} [/mm] - [mm] \lambda_{3} t^{2} [/mm] - [mm] \lambda_{3}2xt
[/mm]
Ich denke nicht, dass eine solche Darstellung ausreicht oder?
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> grrr.... ich höng jetzt doch iwie an den Koordinaten
> rum... also Ausgangsgleichung hab ich:
>
> [mm]c_{0}[/mm] + [mm]c_{1}x[/mm] + [mm]c_{2} x^{2}[/mm] = [mm]\lambda_{1}[/mm] +
> [mm]\lambda_{2}(x+t)[/mm] + [mm]\lambda_{3}(x+t)^{2}[/mm]
>
> ausmultipliziert:
>
> [mm]c_{0}[/mm] + [mm]c_{1}x[/mm] + [mm]c_{2} x^{2}[/mm] = [mm]\lambda_{1}[/mm] + [mm]\lambda_{2}x+ \lambda_{2}t +\lambda_{3}x^{2}+ \lambda_{3}t^{2}[/mm] + [mm]\lambda_{3}2xt[/mm]
>
> uff uff so viele Unbekannte...
Hallo,
nein, das sind nicht viele Unbekannte.
Bedenke: das Polynom links ist gegeben. Wir betrachten hier die [mm] c_i [/mm] als bekannt. Ebenso ist t keine Variable, sondern ein festes t.
Du suchst lediglich die drei [mm] \lambda_i, [/mm] und natürlich werden sie irgendwie von den [mm] c_i [/mm] und t abhängen.
Sortiere jetzt mal nach Vielfachen von 1, x und [mm] x^2 [/mm] und schreibe die Gleichung als
[mm] (...)+(...)x+(...)x^2=0.
[/mm]
Ich denke, jetzt fällt Dir ein, wie es weitergehen kann.
Gruß v. Angela
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> Es sei V der reelle Vektorraum der Polynomfunktionen von
> [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR,[/mm] vom Höchstgrad 2 , d.h., der Raum aller
> Funktionen f,
>
> f(x) = [mm]c_{0}[/mm] + [mm]c_{1} \*[/mm] x + [mm]c_{2} \* x^{2}[/mm]
>
> mit [mm]c_{0},c_{1},c_{2} \in \IR[/mm] , für alle x [mm]\in \IR.[/mm] Für
> eine feste Zahl t und alle x [mm]\in \IR[/mm] definiert man:
> [mm]g_{1}(x)[/mm] = 1, [mm]g_{2}(x)=[/mm] x+t, [mm]g_{3}(x)[/mm] = [mm](x+t)^{2}[/mm] .
>
> Zeigen Sie, dass [mm]B=({g_{1},g_{2},g_{3}})[/mm] eine Basis für V
> ist und bestimmen sie die Koordinaten von f [mm]\in[/mm] V in B.
> huhu,
> ja eine seeehr lange Aufgabenstellung...^^ Ich hab hier
> schon n paar verschiedene Versuche mit Gleichungssystem
> versucht aber nix irgendwie haut so wirklich hin. Das
> einzige, was ich bzgl. der Polynomfunktion 2. Grades sagen
> kann, ist, dass sie eine basis hat mit [mm](1,x,x^{2}).[/mm]
Hallo,
paß auf Deine Formulierungen auf, denn unpräzise Formulierungen können dazu führen, daß man sich irgendwann noch mehr durcheinanderbringt, als man sowieso schon ist.
Eine Polynomfunktion hat keine Basis.
Vektorräume haben eine Basis.
Der Vektorraum, der hier betrachtet wird, ist der Vektorraum der Polynome von Höchstgrad 2. Dessen Standardbasis [mm] (1,x,x^2) [/mm] gibst Du richtig an.
> Muss
> man vielleicht zeigen, dass diese Basis in basis B steckt?
> Oder wie würdet ihr vorgehen?
Es gibt verschiedene Wege.
Ich weiß nun nicht so genau, was Du Dir unter "in Basis B steckt" vorstellst.
Du kannst so vorgehen, daß Du zeigst, daß Du [mm] 1,x,x^2 [/mm] als Linearkombination von [mm] g_1(x), g_2(x), g_3(x) [/mm] schreiben kannst,
solltest Dir aber genau überlegen, mit welcher Argumentation Du dann auf die Basiseigenschaft schließt.
Nächste Möglichkeit: Du kennst die Dimension von V.
Wenn Du zeigen kannst, daß die drei Vektoren [mm] g_1(x), g_2(x), g_3(x) [/mm] linear unabhängig sind, weißt Du, daß sie eine Basis von V sind. Dazu sollte es einen Satz in der vrlesung gegeben haben.
Nächste Möglichkeit, die in Richtung Deiner Ursprungsidee geht: zeige, daß die drei Vektoren [mm] g_1(x), g_2(x), g_3(x) [/mm] ein Erzeugendensystem von v sind, Du also jedes Polynom vom Höchstgrad 2 als Linearkombination von die drei Vektoren [mm] g_1(x), g_2(x), g_3(x) [/mm] schreiben kannst.
Dann hast Du eine Erzeugendensystem aus drei vektoren, weißt, daß die Dimension 3 ist und kannst mit einem Satz der vorlesung schließen, daß die drei Vektoren [mm] g_1(x), g_2(x), g_3(x) [/mm] eine Basis ist.
Gruß v. Angela
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