Vektorraum Sup-Norm < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | (a) Zeigen sie, dass jeder Vektorraum $V$ mit einem Skalarprodukt die Parallelogrammidentität erfüllt (wobei [mm] $||x||:=\sqrt{})$:
[/mm]
[mm] $||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2)$ [/mm] für [mm] x,y\in [/mm] V. |
| Aufgabe 2 | | (b) Benutzen sie (a), um zu zeigen, dass die Supremumsnorm auf $C[0,1]$ nicht von einem Skalarprodukt kommt (d.h. die Sup.-Norm kann nicht als [mm] ||f||=\sqrt{} [/mm] geschrieben werden). |
Also (a) ist einfach. Man muß ja nur die Def. des Skalarproduktes anwenden und ausrechnen.
Aber bei (b) komm ich nicht weiter.
Wenn ich die Definitionen anwende, komm ich auf:
[mm] ||f+g||^2_{\infty}+||f-g||^2_{\infty}=(sup_{x\in[0,1]}|f+g|)^2+(sup_{x\in[0,1]}|f-g|)^2
[/mm]
[mm] 2*||f||^2_{\infty}+2*||g||^2_{\infty}=2*(sup_{x\in[0,1]}|f|)^2+2*(sup_{x\in[0,1]}|g|)^2
[/mm]
Jetz muss ich doch nur noch zeigen, dass hierbei keine Gleichheit besteht, oder?
[mm] Also:||f+g||^2_{\infty}+||f-g||^2_{\infty}\le 2*||f||^2_{\infty}+2*||g||^2_{\infty}
[/mm]
Wenn nicht, wie geh ich da am besten vor?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Di 27.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> (a) Zeigen sie, dass jeder Vektorraum [mm]V[/mm] mit einem
> Skalarprodukt die Parallelogrammidentität erfüllt (wobei
> [mm]||x||:=\sqrt{})[/mm]:
>
> [mm]||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2)[/mm] für [mm]x,y\in[/mm] V.
> (b) Benutzen sie (a), um zu zeigen, dass die Supremumsnorm
> auf [mm]C[0,1][/mm] nicht von einem Skalarprodukt kommt (d.h. die
> Sup.-Norm kann nicht als [mm]||f||=\sqrt{}[/mm] geschrieben
> werden).
> Also (a) ist einfach. Man muß ja nur die Def. des
> Skalarproduktes anwenden und ausrechnen.
>
> Aber bei (b) komm ich nicht weiter.
>
> Wenn ich die Definitionen anwende, komm ich auf:
>
> [mm]||f+g||^2_{\infty}+||f-g||^2_{\infty}=(sup_{x\in[0,1]}|f+g|)^2+(sup_{x\in[0,1]}|f-g|)^2[/mm]
>
> [mm]2*||f||^2_{\infty}+2*||g||^2_{\infty}=2*(sup_{x\in[0,1]}|f|)^2+2*(sup_{x\in[0,1]}|g|)^2[/mm]
>
> Jetz muss ich doch nur noch zeigen, dass hierbei keine
> Gleichheit besteht, oder?
>
> [mm]Also:||f+g||^2_{\infty}+||f-g||^2_{\infty}\le 2*||f||^2_{\infty}+2*||g||^2_{\infty}[/mm]
Diese Ungl. stimmt i.a. nicht !
>
> Wenn nicht, wie geh ich da am besten vor?
Suche zwei ganz konkrete Funktionen f,g [mm] \in[/mm] [mm]C[0,1][/mm] mit:
[mm] ||f+g||^2_{\infty}+||f-g||^2_{\infty}\ne 2*||f||^2_{\infty}+2*||g||^2_{\infty}
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
Also nehe ich einfach
$f(x)=sin(x) und g(x)=cos(x)$
Dann ist
[mm] ||f+g||^2_{\infty}+||f-g||^2_{\infty}=2+1=3
[/mm]
[mm] 2||f||^2_{\infty}+2||g||^2_{\infty}=2+2=4
[/mm]
Damit ist die UNgleichheit gezeigt.
Ist das so korrekt??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Di 27.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also nehe ich einfach
> [mm]f(x)=sin(x) und g(x)=cos(x)[/mm]
>
> Dann ist
> [mm]||f+g||^2_{\infty}+||f-g||^2_{\infty}=2+1=3[/mm]
Das stimmt nicht
>
> [mm]2||f||^2_{\infty}+2||g||^2_{\infty}=2+2=4[/mm]
Das auch nicht
FRED
>
> Damit ist die UNgleichheit gezeigt.
>
>
> Ist das so korrekt??
|
|
|
| |
|
> > Also nehe ich einfach
> > [mm]f(x)=sin(x) und g(x)=cos(x)[/mm]
> >
> > Dann ist
> > [mm]||f+g||^2_{\infty}+||f-g||^2_{\infty}=2+1=3[/mm]
>
> Das stimmt nicht
Warum?
Das supremum von sinx+cosx im Intervall [0,1] ist [mm] \sqrt{2}, [/mm] also ist [mm] ||f+g||^2_{\infty}=2
[/mm]
Oder nicht??
> >
> > [mm]2||f||^2_{\infty}+2||g||^2_{\infty}=2+2=4[/mm]
>
> Das auch nicht
>
>
> FRED
> >
> > Damit ist die UNgleichheit gezeigt.
> >
> >
> > Ist das so korrekt??
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Di 27.09.2011 | | Autor: | fred97 |
Du hast mit allem recht. Ich hab mich vertan
Gruß FRED
|
|
|
|
