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| Aufgabe | Sei K ein Körper und V ein L-Vektorraum mit |V| [mm] \not= [/mm] 1. Man zeige die Äquivalentder folgenden Aussagen:
(a) [mm] 1_{K} [/mm] + [mm] 1_{K} [/mm] = [mm] 0_{K}
[/mm]
(b) [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V v + v = [mm] 0_{V}
[/mm]
(c) [mm] \exists [/mm] v [mm] \in [/mm] V [mm] \backslash {0_{K}} [/mm] v + v = [mm] 0_{V} [/mm] |
Hallo,
ich habe da mal ein paar Fragen. Also ich verstehe diese Aufgabe eigentlich nicht. Mir ist nur klar, dass [mm] 1_{K} [/mm] das neutrale Element und [mm] 0_{K} [/mm] den Nullvektor ist. Doch wie komme ich nun weiter???
Bei (a) würde ich sagen, muss [mm] 1_{K} [/mm] = 0 sein, denn 0 + 0 = 0. Aber ist das alles? Und wie kann ich das ganze denn andersherum beweisen?
Warum ist v + v = [mm] 0_{K}.
[/mm]
Ich bin echt am verzweifeln. Bitte helft mir.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Do 05.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Tommy,
zur Notation würde ich sagen:
[mm] 1_K [/mm] liegt in K und ist das neutrale Element der Multiplikation
[mm] 0_K [/mm] liegt in K und ist das neutrale Element der Addition
[mm] 0_V [/mm] liegt in V und ist der Nullvektor
Bei (c) hast Du wahrscheinlich einen Tippfehler, das muss wohl [mm]\exists v \in V \setminus 0_{\bf{V}} \ldots[/mm] heissen.
Und jetzt zum eigentlichen Witz der Aufgabe:
Bei a) gilt sicher, dass [mm] 1_K \ne 0_K [/mm] , denn in einem Körper müssen 0 und 1 immer zwei verschiedene Elemente sein (0 gehört ja gar nicht zur multiplikativen Gruppe von K, kann also auch nicht deren Einselement sein). Allerdings verbieten die Körperaxiome nirgends, dass 1+ 1 = 0 gelten könnte. (a) macht also eine gewisse Aussage über den Grundkörper des Vektorraums.
Nun ist die Äquivalenz der drei Aussagen zu zeigen. D.h. wenn eine dr Aussagen wahr ist (egal welche), dann müssen auch die anderen beiden wahr sein.
Beweistechnisch nimmst Du jetzt also am besten an, dass (a) wahr ist und zeigst, dass dann (b) gilt, d.h. Du zeigst (a)=>(b). Anschließend zeigst Du noch (b) => (c) und (c) => (a) und hast damit die gleichwertigkeit der drei Aussagen gezeigt.
Versuch einfach mal, wie weit Du damit kommst.....
Gruß
piet
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Vielen Dank schon mal. Jetzt wird mir die Aufgabe auch schon klarer. Aber wie soll ich aus einem Zusammenhang in (a), der ja nur auf K bezogen ist, die Richtigkeit von (b) zeigen, die ja nur auf V bezogen ist. Da fehlt mir noch der kleine Zusammenhang.
Vielleicht könntest du mir da ja mal einen kleinen Denkanstoss geben. Und was soll das ganze mit |V| [mm] \not= [/mm] 1???
Vielen Dank.
Gruß, Tommy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Do 05.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Vielen Dank schon mal. Jetzt wird mir die Aufgabe auch
> schon klarer. Aber wie soll ich aus einem Zusammenhang in
> (a), der ja nur auf K bezogen ist, die Richtigkeit von (b)
> zeigen, die ja nur auf V bezogen ist. Da fehlt mir noch der
> kleine Zusammenhang.
Nun, $v = [mm] 1_K [/mm] v$ fuer alle $v [mm] \in [/mm] V$ 
> Vielleicht könntest du mir da ja mal einen kleinen
> Denkanstoss geben. Und was soll das ganze mit |V| [mm]\not=[/mm]
> 1???
Also wenn $|V| = 1$ ist, dann gilt natuerlich immer $v + v = 0$ fuer $v [mm] \in [/mm] V$, egal ob im Koerper [mm] $1_K [/mm] + [mm] 1_K [/mm] = [mm] 0_K$ [/mm] gilt oder nicht. Aber sobald es einen Vektor $v [mm] \in [/mm] V$ mit $v [mm] \neq [/mm] 0$ gibt wirds interessant...
LG & HTH, Felix
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