Vektorraum der Polynome < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Mi 04.03.2009 | | Autor: | deny-m |
| Aufgabe | Für [mm] n\in\IN\sub [/mm] bezeichne [mm] \Pi_n [/mm] den Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner oder gleich n mit der üblichen Addition
(p + q)(x) := p(x) + q(x), [mm] x\in\IR\sub
[/mm]
von Polynomen p und q sowie der Multiplikation mit Skalaren [mm] \lambda [/mm] der Form
[mm] (\lambda [/mm] p)(x) := [mm] \lambda [/mm] p(x), [mm] x\in\IR\sub:
[/mm]
Eine punktweise Multiplikation der Polynome p und q ist wie folgt de niert:
(pq)(x) := p(x)q(x), [mm] x\in\IR\sub [/mm] :
Bewerten Sie dazu die folgenden Aussagen:
Bezüglich des inneren Produktes
[mm] \left\langle p,q\right\rangle [/mm] := p(0)q(0) + p(1)q(1)
auf dem [mm] \Pi_1 [/mm] ist [mm] q_1(x) [/mm] := 1, [mm] q_2(x) [/mm] := 2x - 1 eine Orthogonalbasis von [mm] \Pi_1.
[/mm]
Hinweis: Es muss nicht nachgewiesen werden, dass [mm] \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle [/mm] ein inneres Produkt ist. |
Ich finde überhaupt kein Ansatz! Ich versteh nicht was damit gemeint ist, bezüglich des inneren Produktes! Ich weiß nicht wie man [mm] q_1 [/mm] und [mm] q_2 [/mm] in Verbindung mit dem Innerem Produkt bringt! Kann mir auch nicht so wirklich vorstellen wie Polynome als Vektoren abgebildet werden.
Bitte um Hilfe!
* Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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* Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, deny-m,
es liegt also der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 1 vor.
Dieser hat die Dimension 2.
Du musst daher zeigen, dass die beiden Polynome linear unabhängig sind
(das genügt bereits, um eine Basis zu bilden) und dann, dass das innere Produkt von beiden =0 ergibt: Dann ist es eine Orthogonalbasis!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:33 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Somebody |
> Hi, deny-m,
>
> es liegt also der Vektorraum der Polynome vom Grad
> höchstens 1 vor.
> Dieser hat die Dimension 2.
> Du musst daher zeigen, dass die beiden Polynome linear
> unabhängig sind
> (das genügt bereits, um eine Basis zu bilden) und dann,
> dass das innere Produkt von beiden =0 ergibt: Dann ist es
> eine Orthogonalbasis!
Vorschlag zur Vereinfachung: Daraus, dass die beiden Polynome (als Vektoren) nicht das Nullpolynom (also nicht gleich dem Nullvektor) sind, folgt aus dem =0 sein des inneren Produktes bereits, dass sie (als Vektoren) nicht nur "orthogonal" sondern zugleich auch linear unabhängig sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 Mi 04.03.2009 | | Autor: | deny-m |
[mm] q_1(x)=1 [/mm]
[mm] q_2(x)=2x-1
[/mm]
Lineare Unabhängigkeit wenn:
[mm] \alpha_0 [/mm] 1 + [mm] \alpha_1(2x-1) [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow \alpha_0 [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] Lineare Abhängigkeit
Innere Produkt:
[mm] q_1 \cdot q_2 [/mm] = 1 [mm] \cdot [/mm] (2x-1) = 2x-1
Ist es so richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Mi 04.03.2009 | | Autor: | deny-m |
Was ich vergessen habe zu erwähn ist , das man diese Aussage als "wahr" oder "falsch" bewerten soll!
Wie kann man denn diese Aussage verstehn?
p(0)q(0) + p(1)q(1)
heißt das, dass p= [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] und q auch q= [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] ???
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Hallo deny-m,
> Was ich vergessen habe zu erwähnen ist , dass man diese
> Aussage als "wahr" oder "falsch" bewerten soll!
>
> Wie kann man denn diese Aussage verstehen?
>
> p(0)q(0) + p(1)q(1)
Das ist keine Aussage, nur ein Term
In deinem Ausgangspost steht doch, dass genau so das Skalarprodukt (innere Produkt) zweier Vektoren (Polynome) aus deinem gegebenen VR definiert ist
Also [mm] $\langle p,q\rangle:=p(0)q(0)+p(1)q(1)$
[/mm]
Das Skalarprodukt zweier Vektoren wird also berechnet, indem du die Vektoren=Polynome an den Stellen $x=0$ und $x=1$ auswertest und auf die obige Art und Weise zusammenfügst.
Bsp. $p(x)=2x+1$, $q(x)=x$
Dann ist $p(0)=1, p(1)=3, q(0)=0, q(1)=1$, also das innere Produkt von p und q [mm] $\langle p,q\rangle=1\cdot{}0+3\cdot{}1=3$
[/mm]
>
> heißt das, dass p= [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> und q auch q= [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] ???
Nein, p und q sind doch Polynome
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:08 Mi 04.03.2009 | | Autor: | deny-m |
also für meine Aufgabe heißt es dann:
[mm] q_1(x) [/mm] = 2x - 1 [mm] q_2(x) [/mm] = 1
[mm] q_1(0) [/mm] = -1 [mm] q_2(0) [/mm] = 1
[mm] q_1(1) [/mm] = 1 [mm] q_2(1) [/mm] = 1
Inneres Produkt:
-1*1 + 1*1 = 0
Juhhuuuuuu es ist Null!
Ist es jetzt richtig??
Vielen Dank für die tollen Antworten! Hatte eine Denkfehler bezüglich der mathematischen Gramatik!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, deny-m
Ja! So stimmt's!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Mi 04.03.2009 | | Autor: | deny-m |
Danke euch!!!
Also wenn keien hier mehr widerspricht, dann muss es wohl so richtig sein!
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