Vektorraum nachweisen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Mi 10.11.2010 | | Autor: | FrageAcc |
| Aufgabe | V ist ein Vektorraum über dem Körper K. U [mm] \subset [/mm] V. Stelle fest ob es sich bei der Teilmenge U um einen Unterraum handelt.
K = [mm] \IR, [/mm] V = [mm] \IR^3, [/mm] U = [mm] \{x = \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} \in \IR^3 | 2x_{1} - x_{2} + 2x_{3} = 0 \} [/mm] |
das U nicht die leere Menge ist, ist mir klar aber wie weiße ich die zwei Abgeschlossenheiten nach?
Reicht es wenn ich sage:
Seien x = [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}, [/mm] y = [mm] \vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}} \in \IR^3. [/mm] Dann gilt:
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] + [mm] \vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3}}
[/mm]
Wenn ich das jetzt in die (Ebenen-)Gleichung einsetzte, dann steht da ja: [mm] 2(x_{1} [/mm] + [mm] y_{1}) [/mm] - [mm] (x_{2} [/mm] + [mm] y_{2}) [/mm] + [mm] 2(x_{3} [/mm] + [mm] y_{3}) [/mm] = 0
Aber wie kann ich aus dieser Aussage schließen, dass die Addition der Vektoren abgeschlossen ist? Vor allem, sind ja die x und y nicht beliebig! Das heißt die Addition könnte doch herausführen...
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> V ist ein Vektorraum über dem Körper K. U [mm]\subset[/mm] V.
> Stelle fest ob es sich bei der Teilmenge U um einen
> Unterraum handelt.
>
> K = [mm]\IR,[/mm] V = [mm]\IR^3,[/mm] U = [mm]\{x = \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} \in \IR^3 | 2x_{1} - x_{2} + 2x_{3} = 0 \}[/mm]
>
> das U nicht die leere Menge ist, ist mir klar aber wie
> weiße ich die zwei Abgeschlossenheiten nach?
>
> Reicht es wenn ich sage:
>
> Seien x = [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}},[/mm] y = [mm]\vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}} \in \IR^3.[/mm]
Nein, du willst doch die Abgeschlossenheit von U zeigen, also nimmst du dir nicht beliebige Vektoren aus [mm] \IR^3 [/mm] her, sondern solche aus U !
> Dann gilt:
>
> [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm] + [mm]\vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}}[/mm] = [mm]\vektor{x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3}}[/mm]
>
Das stimmt jedenfalls.
> Wenn ich das jetzt in die (Ebenen-)Gleichung einsetzte,
> dann steht da ja: [mm]2(x_{1}[/mm] + [mm]y_{1})[/mm] - [mm](x_{2}[/mm] + [mm]y_{2})[/mm] +
> [mm]2(x_{3}[/mm] + [mm]y_{3})[/mm] = 0
>
Und dieses " = 0 " ist eben nachzuweisen, denn du willst ja zeigen, dass x+y in U liegt.
> Aber wie kann ich aus dieser Aussage schließen, dass die
> Addition der Vektoren abgeschlossen ist?
Das ist eben keine gesicherte Aussage, sondern die zu beweisende Behauptung.
> Vor allem, sind ja die x und y nicht beliebig!
Eben ! Sie sind nicht beliebig, weil sie aus U sind.
> Das heißt die Addition könnte doch herausführen...
Dass sie das nicht tut, dass also die oben behauptete Gleichung richtig ist, zeigst du durch Auflösen der Klammern und Ausnutzen der Tatsache, dass x und y für sich alleine jeweils die Gleichung erfüllen.
>
>
> Vielen Dank!
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:24 Do 11.11.2010 | | Autor: | FrageAcc |
Wenn ich die Klammen auflöse steht da:
[mm] (2x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3}) [/mm] + [mm] (2y_{1} [/mm] - [mm] y_{2} [/mm] + [mm] 2y_{3}) [/mm] = 0
Jeder Teil der Gleichung beschriebt die Menge aller Vektoren [mm] \in [/mm] U.
Ich brauche leider nochmals Hilfe... Mir wird nicht klar, wie man denn hier nun Abgeschlossenheit ableiten kann? (ich weiß zufällig schon, dass U ein Unterraum ist)
Wäre sehr dankbar, wenn mir das nochmal jemand erklären könnte
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Do 11.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
weil x [mm] \in [/mm] U ist, deshalb ist die erste Klammer 0
und weil y [mm] \in [/mm] U ist, deshalb ist die zweite Klammer 0
und weil 0+0 = 0 ist, deshalb ist die Summe 0
und deshalb ist x+y [mm] \in [/mm] U.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:45 Do 11.11.2010 | | Autor: | FrageAcc |
Also darf ich annehmen, dass die Gleichung stimmt? Es ist oft schwer rauszufiltern was nun Voraussetzung ist und was nicht :(
Folgendermaßen könnte man das nicht zeigen, oder?:
[mm] 2(x_{1} [/mm] + [mm] y_{1}) [/mm] - [mm] (x_{2} [/mm] + [mm] y_{2}) [/mm] + [mm] 2(x_{3} [/mm] + [mm] y_{3}) [/mm] = 0
Jeder der drei Teile wäre ja wieder in [mm] \IR [/mm] (reelle zahl + reelle zahl ergibt wieder eine reelle Zahl) aber ich darf das so nicht sagen, da ich nicht weiß inwieweit [mm] \IR [/mm] zur Menge gehört, die diese Gleichung erfüllt.
Für die Abgeschlossenheit bezüglich Lambda ergibt sich dann einfach:
[mm] \lambda*(2x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3}) [/mm] Da laut Voraussetzung [mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3}=0 [/mm] folgt: [mm] \lambda*(0) [/mm] = 0 <=> 0 = 0, was eine wahre Aussage ist.
Bin für jede Kritik bezüglich meiner Gedankengänge dankbar!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 Do 11.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Also darf ich annehmen, dass die Gleichung stimmt? Es ist
> oft schwer rauszufiltern was nun Voraussetzung ist und was
> nicht :(
>
> Folgendermaßen könnte man das nicht zeigen, oder?:
>
> [mm]2(x_{1}[/mm] + [mm]y_{1})[/mm] - [mm](x_{2}[/mm] + [mm]y_{2})[/mm] + [mm]2(x_{3}[/mm] + [mm]y_{3})[/mm] = 0
>
> Jeder der drei Teile wäre ja wieder in [mm]\IR[/mm] (reelle zahl +
> reelle zahl ergibt wieder eine reelle Zahl) aber ich darf
> das so nicht sagen, da ich nicht weiß inwieweit [mm]\IR[/mm] zur
> Menge gehört, die diese Gleichung erfüllt.
Nein, natürlich nicht.
Du fängst bei solchen Nachweisen so an, dass du den Term auf der linken Seite deiner Gleichung hinschreibst (ohne das " = 0 " !). Diesen Term formst du dann immer weiter um / rechnest ihn aus, bis ein Ergebnis herauskommt.
Wenn dieses Ergebnis 0 ist, dann ist x+y [mm] \in [/mm] U, sonst nicht.
>
>
> Für die Abgeschlossenheit bezüglich Lambda ergibt sich
> dann einfach:
>
> [mm]\lambda*(2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]2x_{3})[/mm] Da laut Voraussetzung
> [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]2x_{3}=0[/mm] folgt: [mm]\lambda*(0)[/mm] = 0 <=> 0 = 0,
> was eine wahre Aussage ist.
>
Na ja, so ähnlich.
Du willst prüfen, ob [mm] \lambda*x \in [/mm] U gilt.
Also berechnest du zunächst einmal [mm] \lambda*x [/mm] :
[mm] \lambda*x [/mm] = [mm] \lambda*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] = [mm] \vektor{\lambda*x_1 \\ \lambda*x_2 \\ \lambda*x_3}
[/mm]
Und nun rechnest du aus , was [mm] 2*(\lambda*x_1) [/mm] - [mm] (\lambda*x_2) [/mm] + [mm] 2*(\lambda*x_3) [/mm] ist :
[mm] 2*(\lambda*x_1) [/mm] - [mm] (\lambda*x_2) [/mm] + [mm] 2*(\lambda*x_3) [/mm] = [mm] \lambda*(2x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + [mm] 2x_3) [/mm] = 2*0 (weil x [mm] \in [/mm] U ist) = 0.
Daraus folgt, dass [mm] \lambda*x \in [/mm] U ist.
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> Bin für jede Kritik bezüglich meiner Gedankengänge
> dankbar!
>
>
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Do 11.11.2010 | | Autor: | FrageAcc |
Also ist [mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3}=0 [/mm] die Voraussetzung, mit der ich arbeiten kann. Ich muss grundsätzlich folgendes zeigen:
x [mm] \in [/mm] U => x+y [mm] \in [/mm] U [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] U
Stimmt das? Mir geht es grundsätzlich um das Beweisprinzip...
Danke
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Hallo FrageAcc,
> Also ist [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]2x_{3}=0[/mm] die Voraussetzung, mit
> der ich arbeiten kann.
Ja, so ist ja [mm]U[/mm] definiert.
Die Vektoren [mm]\vec{x}=\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}\in U[/mm] haben die Eigenschaft [mm]2x_1-x_2+2x_3=0[/mm]
> Ich muss grundsätzlich folgendes
> zeigen:
>
> x [mm]\in[/mm] U und [mm]\red{y\in U}[/mm] => x+y [mm]\in[/mm] U [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] U
>
> Stimmt das?
Ja, unter anderem.
Dies ist die Abgeschlossenheit unter Vektoraddition.
Zudem musst du zeigen:
2) [mm]U\neq\emptyset[/mm] bzw. äquivalent [mm]\vec{0}=\vektor{0\\
0\\
0}\in U[/mm]
und
3) [mm]\forall\vec{x}=\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}\in U \ \forall\lambda\in\IR \ : \ \lambda\cdot{}\vec{x}=\lambda\cdot{}\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}\in U[/mm]
Das ist die Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation mit Skalaren (also Körperelementen)
> Mir geht es grundsätzlich um das
> Beweisprinzip...
Jo, das sind 3 Kriterien insgesamt, schaue mal in die VL oder auf Wikipedia oder so ...
>
>
> Danke
Gerne
Gruß
schachuzipus
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