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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:40 Sa 16.04.2016 | | Autor: | fugit |
| Aufgabe | Welche der folgenden Mengen $M$ sind Vektorräume dem gegebenen Körper $K$ ? Geben sie für alle Vektorräume jeweils Basen an.
1. $M= [mm] \IR_{\le 5}[X]:=\{p(x) \in \IR[x]|grad(p)\le5\} [/mm] $ und [mm] $K=\IR$
[/mm]
2. $M= [mm] \IR[X]$ [/mm] und [mm] $K=\IR$
[/mm]
3. $M= [mm] \IF_4^{2\times3}$ [/mm] und [mm] $K=\IF_4$ [/mm] der körper mit $4$ Elementen
4. M= [mm] \IZ [/mm] und [mm] K=\IQ [/mm]
5.$ M= [mm] \mathcal{P}(\{1,2,3,4\})$ [/mm] die potenzmenge der Menge [mm] $\{1,2,3,4\}, [/mm] K= [mm] \IF_2$ [/mm] der körper mit $2$ Elementen und
$+: [mm] M\timesM \to [/mm] M , (X,Y) [mm] \mapsto [/mm] (X [mm] \cup [/mm] Y) [mm] \backslash [/mm] (X [mm] \cap [/mm] Y)$
sowie
$*: K [mm] \times [/mm] M [mm] \to [/mm] M , [mm] 0\cdot{}X [/mm] = [mm] \emptyset,1\cdot{}X [/mm] = X [mm] \forall [/mm] X [mm] \in [/mm] M$
Hinweis:Sie dürfen ohne Begründung hinnehmen,dass alle $K$ wirklich Körper sind. Sind keine Verknüpfungen geben,so sind die übliche Mult. und Add. gemeint.Denken sie daran,alle Aussagen ausreichend zu begründen. |
Hi,
da wir mündlich über diese Aufgaben abgefragt werden(Zeitspanne 10min), bin ich unsicher ,wie ausführlich meine Begründung sein muss.
1. $M= [mm] \IR_{\le 5}[X]:=\{p(x) \in \IR[x]|grad(p)\le5\} [/mm] $ und [mm] $K=\IR$.
[/mm]
ist abgeschlosen bzgl. der Addition
jedes polynom 5.grades addiert mit einem polynom 5.grades ist wieder en polynom 5.grades, da die Koeffizienten vor den einzelnen variablen addiert werden und die aus [mm] \IR [/mm] sind und [mm] \IR [/mm] abelsch bzgl. Addition ist ,ist [mm] \IR_{\le 5}[X] [/mm] abgeschl. bzgl. Addition.
Multi.
ich weis nicht,ob ich das hier nachrechnen muss oder ob die begründung reicht , dass die skalar aus [mm] \IR [/mm] sind und somit die skalarmultiplikation auf [mm] \IR_{\le 5}[X] [/mm] auch abgeschlossen.
Basis ist hier : [mm] x^5+x^4+x^3+x^2+x+1
[/mm]
2. $M= [mm] \IR[X]$ [/mm] und [mm] $K=\IR$
[/mm]
Addition abgeschlossenheit ist hier genauso zu begründen ,dass die Koeffizienten vor den einzelnen variablen addiert werden und diese aus [mm] \IR [/mm] sind und [mm] \IR [/mm] abelsch bzgl. Addition ist ,ist [mm] \IR [/mm] [X] abgeschl. bzgl. Addition.
multi.: gleiche Begründung wie oben ,bin da ein bisschen Verzweifelt.
Basis : [mm] x^n+x^{n-1}+..+x+1
[/mm]
3. $M= [mm] \IF_4^{2\times3}$ [/mm] und [mm] $K=\IF_4$ [/mm] der körper mit $4$ Elementen
Addition
[mm] $\pmat{ a_{1,1} & a_{1,2}&a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2}&a_{2,3} }$ [/mm]
wenn man jetzt $A= [mm] a_{i,j}, B=b_{i,j} 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] 2 , [mm] 1\le [/mm] j [mm] \le [/mm] 3$
$A+B$ ist jetzt eine Matrix ,wo man die einzelnen Einträge addiert und da diese aus [mm] $\IF_4$ [/mm] ist es abgeschlossen bzgl. Addition.
skalarmulti:
hier hab ich keine ahnung..:/
Basis:
[mm] $\{\pmat{ 1 & 0&0 \\0&0&0},\pmat{ 0&1&0 \\0&0&0},\pmat{ 0&0&1\\0&0&0},\pmat{ 0&0&0 \\1&0&0},\pmat{ 0&0&0 \\0&1&0},\pmat{ 0&0&0 \\0&0&1}\}$
[/mm]
4. $M= [mm] \IZ$ [/mm] und [mm] $K=\IQ$ [/mm]
ist abgeschlossen bzgl. der Addition jedoch nicht die Skalarmultiplikation
ziehe: [mm] $\frac{3}{8} \in \IQ 2,1\in \IZ$
[/mm]
1.Distrutiv gesetzt
[mm] $\frac{3}{8}*(2+1)=\frac{3}{8}*2+\frac{3}{8}*1 =\frac{9}{8}$ [/mm] jedoch
[mm] $\frac{9}{8} \notin \IZ$
[/mm]
5. hab ich keine Ahnung...:/
bitte hilfe..:/
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 18.04.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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