Vektorraum reeller Polynome < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei V der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] der reellen Polynome vom Grad kleiner oder gleich 2.
a) Bestimmen Sie die Dimension von V, und geben Sie eine Basis an.
b) Zeigen Sie, dass U= { [mm] p\in [/mm] V:p(1)=0} Unterraum ist.
c) Bestimmen Sie die Dimension von U und geben Sie eine Basis von U an. |
Hallo,
ich habe:
a) Eine Basis B von V ist B= [mm] \{1,x^1, x^2\}, [/mm] darauf folgt, dass dim V = 3.
b) Seien [mm] v,w\in [/mm] U. Es gilt dann v(1)=0 und w(1)=0. Somit folgt:
(v+w)(1)=v(1)+w(1)=0+0=0, also gilt [mm] v+w\inU.
[/mm]
Seien [mm] \lambda\in\IR [/mm] und [mm] v\in [/mm] U. Dann gilt v(1)=0. Daraus folgt:
[mm] v(\lambda*1)=v(\lambda)*v(1)=v(\lambda)*0=0. [/mm] Somit [mm] \lambda*v\in [/mm] U.
c) Basis B von U ist B={0}, also dim U = 1.
Liebe Grüße
sommersonne
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> Sei V der [mm]\IR-Vektorraum[/mm] der reellen Polynome vom Grad
> kleiner oder gleich 2.
> a) Bestimmen Sie die Dimension von V, und geben Sie eine
> Basis an.
> b) Zeigen Sie, dass U= [mm] \{p \in V: p(1)=0 \} [/mm] Unterraum ist.
> c) Bestimmen Sie die Dimension von U und geben Sie eine
> Basis von U an.
> Hallo,
>
> ich habe:
>
> a) Eine Basis B von V ist B= [mm]\{1,x^1, x^2\},[/mm] darauf folgt,
> dass dim V = 3.
Hallo,
ja, das stimmt.
>
Zur b)
Bevor Du hier mehr oder weniger blindlings losrechnest, solltest Du Dir mal überlegen, welche Elemente U enthält.
Weil's eine Teilmenge von V ist, sind reelle Polynome vom Grad zwei drin, also solche: [mm] p(x)=ax^2+bx+c.
[/mm]
Aber es sind von denen nur die Polynome mit einer bestimmten Eigenschaft drin: 0=a+b+c <==> c=-a-b.
Also haben die Polynome dieser Menge ein ganz besonderes Aussehen, spätestens für die bestimmung der Basis solltest Du es kennen.
Um die Unterraumeigenschaft zu zeigen, ist zunächst zu zeigen, daß U nichtleer ist.
Du müßtest hierfür ein konkretes Element angeben, welches da drin liegt.
Dann ist zu zeigen, daß die Summe zweier Elemente aus U auch wieder in U liegt.
Daß die Summe von v,w [mm] \in [/mm] U auch wieder ein Polynom ist, also in V liegt, habt Ihr sicher schon gezeigt.
Wesentlich ist hier, daß auch (v+w)(1)=0 ist.
> b) Seien [mm]v,w\in[/mm] U. Es gilt dann v(1)=0 und w(1)=0. Somit
> folgt:
> (v+w)(1)=v(1)+w(1)=0+0=0, also gilt [mm]v+w\inU.[/mm]
Du hast das hier gelöst, indem Du die Def. der Addition zweier Funktionen verwendet hast.
Der nächte Punkt ist der, daß sicherzustellen ist, daß für jedes [mm] \lambda\in \IR [/mm] und [mm] v\in [/mm] U auch [mm] \lambda [/mm] v in U liegt.
daß [mm] \lambda [/mm] v ein Polynom ist, folgt aus der VR-eigenschaft von V.
Zu zeigen ist [mm] (\lambda [/mm] v)=0.
Das hast Du unten falsch gemacht, ich will das jetzt gar nicht zerpflücken.
Du kannst auch hier die Def. für die Multiplikation von Funktionen mit Skalaren verwenden.
[mm] (\lambda [/mm] v)(1)=...
> c) Basis B von U ist B={0}, also dim U = 1.
Die null kann keine Basis sein, denn sie ist nicht linear unabhängig. es ist ja 4711*0=0.
Es ist in Deinem Vektorraum U auch nicht nur die Nullfunktion enthalten. (Das wäre ein nulldimensionaler VR, Basis: leere Menge.)
Das hast Du wahrscheinlich inzwischen herausgefunden. Überlege Dir nun, aus welche Polynomen Du jedes Polynom aus U linearkombinieren kannst.
Gruß v. Angela
>
>
> Liebe Grüße
> sommersonne
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Hallo,
danke für deine Antwort!
Liebe Grüße
sommersonne
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Hallo,
ich muss doch nochmal nachfragen:
Ist meine Lösung zu b) so richtig?:
Sei [mm] a(x)=a_2x^2+a_1x^1+a_0 [/mm] und [mm] b(x)=b_2x^2+b_1x^1+b_0 [/mm] mit a(1)=0 und b(1)=0, also [mm] a,b\in [/mm] U.
ZZ: [mm] a+b\in [/mm] U
Es ist:
[mm] (a+b)(x)=a(x)+b(x)=a_2x^2+a_1x^1+a_0 [/mm] + [mm] b_2x^2+b_1x_1+b_0 [/mm]
= [mm] (a_2+b_2)(x^2)+(a_1+b_2)(x^1)+(a_0+b_0)
[/mm]
Somit gilt:
[mm] (a+b)(1)=(a_2+b_2)(1)+(a_1+b_2)(1)+(a_0+b_0)
[/mm]
= [mm] (a_2+b_2)+(a_1+b_2)+(a_0+b_0) [/mm] = [mm] a_2+a_1+a_0+b_2+b_1+b_0 [/mm] = 0+0=0
Also ist [mm] a+b\in [/mm] U.
ZZ: [mm] \lambda a\in [/mm] U.
[mm] \lambda a(x)=\lambda(a_2x^2+a_1x^1+a_0)=\lambda a_2x^2+\lambda a_1x^1+\lambda a_0
[/mm]
Es ist
[mm] \lambda a(1)=\lambda a_2+\lambda a_1+\lambda a_0
[/mm]
= [mm] \lambda(a_2+a_1+a_0)
[/mm]
[mm] =\lambda*0
[/mm]
= 0
Also [mm] \lambda a\in [/mm] U.
Liebe Grüße
sommersonne
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Hallo sommer![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]") ,
> Hallo,
>
> ich muss doch nochmal nachfragen:
>
> Ist meine Lösung zu b) so richtig?:
>
> Sei [mm]a(x)=a_2x_2+a_1x_1+a_0[/mm] und [mm]b(x)=b_2x_2+b_1x_1+b_0[/mm]
Halt, Stopp, du weißt doch über die Vektoren aus $U$ gar nichts, insbesondere nichts über ihre Gestalt, du weißt nur, dass ein Element [mm] $p\in [/mm] U$ die 1 auf 0 abbildet, mehr nicht.
Also darfst du auch nicht mehr Infos verwenden oder dazu schustern
> mit a(1)=0 und b(1)=0, also [mm]a,b\in[/mm] U.
> ZZ: [mm]a+b\in[/mm] U
genau, du darfst nur das benutzen:
Um zu zeigen, ob nun [mm] $a+b\in [/mm] U$ ist, berechne, ob $(a+b)(1)=0$ ist
Wie ist die Addition von Funktionen definiert? $(a+b)(1)=a(1)+b(1)$
Da [mm] $a,b\in [/mm] U$ sind, weißt du, dass das $=0+0=0$ ist
Also [mm] $a+b\in [/mm] U$
> Es ist:
> [mm](a+b)(x)=a(x)+b(x)=a_2x_2+a_1x_1+a_0[/mm] + [mm]b_2x_2+b_1x_1+b_0[/mm]
> = [mm](a_2+b_2)(x_2)+(a_1+b_2)(x_1)+(a_0+b_0)[/mm]
> Somit gilt:
> [mm](a+b)(1)=(a_2+b_2)(1)+(a_1+b_2)(1)+(a_0+b_0)[/mm]
> = [mm](a_2+b_2)+(a_1+b_2)+(a_0+b_0)[/mm] = [mm]a_2+a_1+a_0+b_2+b_1+b_0[/mm]
> = 0+0=0
> Also ist [mm]a+b\in[/mm] U.
Ja, von der Grundidee ok, siehe oben, aber du darfst nicht spezialisieren!
>
> ZZ: [mm]\lambda a\in[/mm] U.
> [mm]\lambda a(x)=\lambda(a_2x_2+a_1x_1+a_0)=\lambda a_2x_2+\lambda a_1x_1+\lambda a_0[/mm]
Ebenso hier, nicht spezialisieren!!
Wieder nur die Info benutzen, dass $a(1)=0$ ist (wegen [mm] $a\in [/mm] U$)
Also, um zu gucken, ob denn auch [mm] $\lambda a\in [/mm] U$ ist, prüfe, ob auch [mm] $(\lambda [/mm] a)(1)=0$ ist ...
[mm] $(\lambda a)(1)=\lambda a(1)=\lambda\cdot{}0=0$, [/mm] also ...
>
> Es ist
> [mm]\lambda a(1)=\lambda a_2+\lambda a_1+\lambda a_0[/mm]
> =
> [mm]\lambda(a_2+a_1+a_0)[/mm]
> [mm]=\lambda*0[/mm]
> = 0
>
> Also [mm]\lambda a\in[/mm] U.
Wieder fast ok 
Es fehlt das eigentliche erste Kriterium. Ist der Nullvektor in U?
Das ist aber trivial, Frage: Was ist denn hier der Nullvektor?
>
>
> Liebe Grüße
> sommersonne
LG
schachuzipus
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Hallo,
danke für deine Antwort.
Das mit dem Nullvektor in der Untergruppe hatten wir gar nicht, aber es ist ja jedes Polynom p mit p(1)=0 in U.
Also war das aus meiner ersten Frage richtig?:
Seien $ [mm] v,w\in [/mm] $ U. Es gilt dann v(1)=0 und w(1)=0. Somit folgt:
(v+w)(1)=v(1)+w(1)=0+0=0, also gilt $ v+w [mm] \in [/mm] U. $
Und dann:
Seien $ [mm] \lambda\in\IR [/mm] $ und $ [mm] v\in [/mm] $ U. Dann gilt v(1)=0. Daraus folt:
[mm] \lambda [/mm] v(1) = [mm] \lambda [/mm] * 0 = 0.
Also [mm] \lambda [/mm] v [mm] \in [/mm] U.
Liebe Grüße
sommersonne
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Hallo,
welcher der zwei Beweise war denn jetzt richtig?
Dies?:
Sei $ [mm] a(x)=a_2x^2+a_1x^1+a_0 [/mm] $ und $ [mm] b(x)=b_2x^2+b_1x^1+b_0 [/mm] $ mit a(1)=0 und b(1)=0, also $ [mm] a,b\in [/mm] $ U.
ZZ: $ [mm] a+b\in [/mm] $ U
Es ist:
$ [mm] (a+b)(x)=a(x)+b(x)=a_2x^2+a_1x^1+a_0 [/mm] $ + $ [mm] b_2x^2+b_1x_1+b_0 [/mm] $
= $ [mm] (a_2+b_2)(x^2)+(a_1+b_2)(x^1)+(a_0+b_0) [/mm] $
Somit gilt:
$ [mm] (a+b)(1)=(a_2+b_2)(1)+(a_1+b_2)(1)+(a_0+b_0) [/mm] $
= $ [mm] (a_2+b_2)+(a_1+b_2)+(a_0+b_0) [/mm] $ = $ [mm] a_2+a_1+a_0+b_2+b_1+b_0 [/mm] $ = 0+0=0
Also ist $ [mm] a+b\in [/mm] $ U.
ZZ: $ [mm] \lambda a\in [/mm] $ U.
$ [mm] \lambda a(x)=\lambda(a_2x^2+a_1x^1+a_0)=\lambda a_2x^2+\lambda a_1x^1+\lambda a_0 [/mm] $
Es ist
$ [mm] \lambda a(1)=\lambda a_2+\lambda a_1+\lambda a_0 [/mm] $
= $ [mm] \lambda(a_2+a_1+a_0) [/mm] $
$ [mm] =\lambda\cdot{}0 [/mm] $
= 0
Also $ [mm] \lambda a\in [/mm] $ U.
Hmm, ich dachte, da [mm] p(1)=p_2+p_1+p_0 [/mm] =0, wäre das der Nullvektor.
Liebe Grüße
sommersonne
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> Hallo,
>
> welcher der zwei Beweise war denn jetzt richtig?
Hallo,
im Prinzip könnte man beides machen. Es kommt darauf an, was Dir zur Verfügung steht:
Ist es die Addition v. Funktionen und die Multiplikationen v. Funktionen mit Skalaren?
Oder hattet Ihr gerade die Addition von Polynomen und die Multiplikation v. Polynomen mit Skalaren besprochen?
Ich weiß nicht, was bei Euch in der Vorlesung besprochen wird - mein Gefühl sagt mir: hier lieber die "lange" Variante nehmen...
Trotzdem noch eine kurze Anmerkung zu [mm] \lambda [/mm] v:
[mm] \lambda [/mm] v ist eine Funktion.
Zu zeigen ist [mm] (\lambda [/mm] v)(1)=0.
Das geht so:
[mm] (\lambda [/mm] v)(1) = [mm] \lambda [/mm] *v(1) =nach Def, der Multiplikation mit Skalaren)
[mm] =\lambda*0 [/mm] (weil v(1)=0)
=0.
Ich hatte das zuvor irgendwie unvollständig gesehen.
> Hmm, ich dachte, da [mm]p(1)=p_2+p_1+p_0[/mm] =0, wäre das der
> Nullvektor.
Du mußt an dieser Stelle andersrum denken. Der Nullvektor in V ist das Nullpolynom n(x)=0. Das wurde in der Vorlesung gezeigt - und außerdem ist es sonnenklar.
Und weil natürlich auch n(1)=0 ist, ist das Nullpolynom auch in U.
Gruß v. Angela
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Hallo,
danke für deine Antwort. Freut mich, dass ich nicht ganz daneben lag ;)
Aber jetzt noch zu Teil c):
c) Bestimmen Sie die Dimension von U und geben Sie eine Basis von U an.
Es sind in U alle Polynome p vom Grad kleiner gleich 2 enthalten, für die p(1)=0, gilt. Somit müssen die Bedingungen für eine Basis ebenso gelten. Für den Vektorraum der Polynome hatte ich als Basis [mm] \{1,x_1,x_2 \}. [/mm] Hmm, kann man {1, 1,1} als Basis nehmen, denn es muss ja p(1)= [mm] a_2x_2+a_1x_1+a_0=a_2+a_1+a_0=0 [/mm] gelten. Dann wäre die Dimension der Basis 1, also dim U=1.
Liebe Grüße
sommersonne
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> Hallo,
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> danke für deine Antwort. Freut mich, dass ich nicht ganz
> daneben lag ;)
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> Aber jetzt noch zu Teil c):
> c) Bestimmen Sie die Dimension von U und geben Sie eine
> Basis von U an.
>
> Es sind in U alle Polynome p vom Grad kleiner gleich 2
> enthalten, für die p(1)=0, gilt. Somit müssen die
> Bedingungen für eine Basis ebenso gelten.
Hallo,
ja.
Für den
> Vektorraum der Polynome hatte ich als Basis [mm]\{1,x_1,x_2 \}.[/mm]
> Hmm, kann man {1, 1,1} als Basis nehmen,
Nein. Die Familie (1,1,1) ist ja noch nichteinmal linear unabhängig, und mit der 1 kannst Du als Linearkombination nichts anderes erzeugen als reelle Zahlen. (jaja, ich weiß schon: Du wolltest das irgendwie mit [mm] x^2 [/mm] usw. multiplizieren, aber das geht nicht. Es geht ja hier um einen VR über [mm] \IR.)
[/mm]
> denn es muss ja
> p(1)= [mm]a_2x_2+a_1x_1+a_0=a_2+a_1+a_0=0[/mm] gelten.
Ich habe vorhin eins Deiner Posts stillschweigend nachgearbeitet, aber jetzt schreibst Du schon wieder [mm] a_2x_2+a_1x_1+a_0.
[/mm]
Polynome gehen doch so: [mm] p(x)=a_2x^2+a_1x+a_0.
[/mm]
Und weil p(1)=0 sein muß, muß für alle Polynome aus U [mm] p(1)=a_2+a_1+a_0=0 [/mm] gelten.
Ich hatte Dich schon in meinem ersten Post versucht darauf zu stoßen, daß damit ja nicht mehr alle Koeffizienten [mm] a_2, a_1, a_0 [/mm] unabhängig voneinander gewählt werden können.
Es muß ja sein: [mm] a_0=-a_2-a_1,
[/mm]
und damit haben samtliche Polynome, die im Unterraum U liegen, die Gestalt
[mm] p(x)=a_2x^2+a_1x [/mm] - [mm] a_2 [/mm] - [mm] a_1= a_2(x^2-1) [/mm] + [mm] a_1(x-1).
[/mm]
Nun geh mal in Dich und überlege Dir, mit welchen Polynomen Du all diese Polynome aus U als Linearkombination schreiben kannst.
Tip: es sind zwei Stück.
Gruß v. Angela
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Hallo,
danke für deine Antwort.
Die Basis ist [mm] {(x^2-1),(x-1)}, [/mm] denn damit lässt sich jedes p aus U darstellen. Damit ist dim U = 2.
Liebe Grüße
sommersonne
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 So 07.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo,
>
>
> danke für deine Antwort.
> Die Basis ist [mm]{(x^2-1),(x-1)},[/mm] denn damit lässt sich jedes
> p aus U darstellen. Damit ist dim U = 2.
>
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> Liebe Grüße
> sommersonne
Richtig.
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Hallo,
ich habe mich gerade über den Nullvektor beim Unterraumkriterium näher informiert. Er taucht in der Tat in allen Unterraumkriteriumdefinitionen auf, nur nicht in meinem Skript. Dort geht es nur um die abgeschlossene Addition und Multiplikation. Hat es einen Grund, dass der Nullvektor nicht als Kriterium zählt?
Liebe Grüße
sommersonne
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 So 07.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ein Untervektorraum (UVR) "für sich betrachtet" ist auch ein Vektorraum, also muss der Nullvektor auf jeden Fall mit drin sein.
Wenn es bei euch nicht explizit im Skript steht, dann gibt es zwei Möglichkeiten:
1) Der Prof hat es vergessen.
2) Es folgt "implizit" aus den anderen Kriterien.
Bei euch tippe ich auf das Zweite. Der UVR muss abgeschlossen sein unter skalarer Multiplikation, d.h. es muss auch das Produkt von einem Vektor mit der skalaren Null drin sein - und das ist ja dann der Nullvektor.
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Hallo Merle23,
du wirst recht haben, dass das bei uns absichtlich auf Grund der skalaren Multiplikation "weggefallen" ist.
Danke dir.
Liebe Grüße
sommersonne
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Hallo,
welches sind denn Eure Unterraumkriterien?
Wie Merle schon sagt, folgt ja aus der Abgeschlossenheit der Multiplikation mit Skalaren, daß der Nullvektor drin ist - vorausgesetzt, die Menge ist nichtleer.
Für die Funktionstüchtigkeit der Unterraumkriterien ist aber das Kriterium, welches (alternativ zu [mm] 0\in [/mm] U) meist als erstes oder gar nulltes genannt und bei Untersuchungen gern vergessen wird, sehr wichtig: [mm] U\not=\emptyset.
[/mm]
Um dies zu zeigen, ist ein ganz konkretes Element anzugeben, und die Null bietet sich hier an, weil sie meist schön einfach ist, und weil man sich in dem Fall, daß sie nicht drin ist, jegliche weitere Untersuchung sparen kann.
Gruß v. Angla
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![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
nochmal, und danke an Angela, die mir die Augen geöffnet hat 