Vektorraum reeller Polynome < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:34 Di 23.04.2013 | | Autor: | Maurizz |
| Aufgabe | Sie [mm] \IR_{2} [/mm] der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad [mm] \ge [/mm] 2 über dem Intervall [0,1], versehen mit dem Skalarprodukt:
[mm] \integral_{0}^{1}{p(x)q(x)dc, \forall_{q,p}\in\IR_{2}[0,1]}.
[/mm]
Sei weiter der Unterraum [mm] W:=span(1+x^{2}) [/mm] gegeben. Bestimmen Sie eine Basis von [mm] W^{\perp} [/mm] = { v [mm] \in \IR^{2} [/mm] :(v,w)=0 [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] W } |
Hallo,
Ich war mir jetzt nicht sicher in welchen Bereich die Aufgabe fällt, darum kann es sein, dass ich es an die falsche Stelle gepostet habe.
Mein Hauptproblem liegt daran, dass ich nicht den Zusammenhang zwischen Integralen und einer Basis begreife.
Wegen [mm] span(1+x^{2}).. x^{2} [/mm] + 1 kann ich ja als Polynom verstehen. Das wiederrum kann ich als Vektor interpretieren: [mm] x_{2} [/mm] + 1 = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}*\vektor{x^{2}\\ 0 \\ 1}.
[/mm]
Eine Basis wäre dann die Kombination der 2 Vektoren [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\0\\1}.
[/mm]
Das war jetzt einfach nur mal ein Gedanke.
Zu den Integralen: Damit kann ich praktisch die Fläche eines Skalarprodukts zweier Polynome berechnen.
Theoretisch könnte ich doch damit zeigen : [mm] ax^{2} [/mm] + bx + c [mm] \ge ax^{2} [/mm] + c. Somit [mm] ax^{2} [/mm] + c sich in einem Unterraum von [mm] ax^{2} [/mm] + bx + c befindet. Vorrausgesetzt ich betrachte beide im gleichen Intervall.
Jedenfalls steht unter der Aufgabe noch ein Hinweis: Ich könnte es mit Hilfe der aus der Schule bekannten Integralformeln bestimmen. Deshalb kam ich auf die Idee die 2 Flächen zu vergleichen.
Trotzdem, damit erhalte ich keine "Basis".
Zumindest kann ich mir das nicht vorstellen.
Als zweiten Ansatz dachte ich mir, ich wandle das Polynom in eine Matrix um.
Darin bin ich aber kläglich gescheitert.
Was wohl daran liegt das es fast 3 Uhr ist:)
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Mit deinen Überlegungen liegst du völlig daneben.
Zunächst einmal sollte es wohl um Polynome vom Grad [mm]\leq 2[/mm] und nicht [mm]\geq 2[/mm] gehen. Sonst liegt nämlich überhaupt kein Vektorraum vor. Die Elemente des Vektorraums, also die "Vektoren", sind hier die Polynome. Auch [mm]w_0[/mm] mit [mm]w_0(x) = 1 + x^2[/mm] ist so ein "Vektor". Andere "Vektoren" wären zum Beispiel [mm]u,v[/mm] mit [mm]u(x) = 20x^2 - 20x + 7[/mm] und [mm]v(x) = 5x^2 - 2[/mm].
Und durch
[mm]\langle p,q \rangle = \int_0^1 p(x)q(x) ~ \mathrm{d}x[/mm]
wird nun für die "Vektoren" ein Skalarprodukt definiert. Daß das überhaupt ein Skalarprodukt ist, wurde sicher in der Vorlesung oder einer früheren Übung gezeigt. Spaßeshalber kann man für die obigen [mm]u,v,w_0[/mm] einmal Skalarprodukte ausrechnen:
[mm]\langle u , w_0 \rangle = \int_0^1 \left( 20x^2 - 20x + 7 \right) \left( 1 + x^2 \right) ~ \mathrm{d}x = 5[/mm]
[mm]\langle v , w_0 \rangle = \int_0^1 \left( 5x^2 - 2 \right) \left( 1 + x^2 \right) ~ \mathrm{d}x = 0[/mm]
Damit ist [mm]u \not \in W^{\bot}[/mm], dagegen [mm]v \in W^{\bot}[/mm]. Denn da [mm]W[/mm] von [mm]w_0[/mm] aufgespannt wird, muß jeder zu [mm]w_0[/mm] orthogonale "Vektor" automatisch zu allen [mm]w \in W[/mm] orthogonal sein. Also ist [mm]v \in W^{\bot}[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:53 Di 23.04.2013 | | Autor: | Maurizz |
Das macht plötzlich so viel Sinn.
Nein ich hab gestern als ich über die Übung gestolpert bin zum ersten mal Skalarprodukt und Integral zusammen gesehen.
Eventuell kam das in einer Vorlesung letztes Semester, aber dann war ich anscheinend nicht da.
Aufjedenfall vielen Dank.
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