Vektorraum reellwertiger Funk. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:09 Fr 11.11.2005 | | Autor: | heine789 |
Hallo zusammen.
Habe eine Aufgabe, aber keine Ahnung wie ich die lösen soll:
Betrachtet werde die Menge V aller auf R definierten reellwertigen Funktionen. Auf V werde eine Addition und auf R x V eine skalare Multiplikation erklärt durch
(f+g)(x) := f(x) + g(x) für alle x aus R
(a * f)(x) := a * f(x) für alle x aus R
Zeigen Sie, das (V,+,*) einen reelen Vektorraum mit der Menge der Polynome vom Maximalgrad n als Unterraum bildet.
Hat jemand eine Idee? Es wäre schon eine große Hilfe, wenn ich wüsste, was schrittweise zu machen ist.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Du musst natürlich die Vektorraumaxiome nachweisen. Da die Definition der Addition komponentenweise geschieht, folgen alle Gesetze unmittelbar aus der Tatsache, das [mm] $(\IR,+)$ [/mm] ein Vektorraum über sich selbst ist.
Das neutrale Element ist die konstante Nullfunktion.
Zum Unterraum: Du musst dir überlegen, dass die Menge der Polynomfunktionen vom Maximalgrad $n$ nicht leer ist (klar) und dass mit zwei Polynomfunktionen vom Maximalgrad $n$ jede Linearkombination dieser Polynomfunktionen ebenfalls ein Polynomfunktion vom Maximalgrad $n$ ist.
Es gilt aber offenbar:
$Grad(f+g) [mm] \le \max\{Grad(f), Grad(g)\}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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