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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Do 07.12.2006 | | Autor: | bob86a |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass [mm] (\IR_{>0},\oplus,\odot) [/mm] mit der Vektoraddition
a [mm] \oplus [/mm] b = a * b für alle a,b [mm] \in \IR_{>0}
[/mm]
und der Skalarmultiplikation
[mm] \lambda \odot [/mm] a = [mm] a^\lambda [/mm] für alle a [mm] \in \IR_{>0} [/mm] und [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
ein Vektorraum über dem Körper [mm] (\IR,+,*) [/mm] ist. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo! Also die Aufgabe gilt es zu lösen.
Mein Vektorraum ist also V = [mm] (\IR_{>0},\oplus,\odot)
[/mm]
und dazu mein Körper [mm] \IK [/mm] = [mm] (\IR,+,*)
[/mm]
Angefangen habe ich damit, dass ich gezeigt habe, dass das Einselement von [mm] \IK [/mm] für alle [mm] \overline{v} \in [/mm] V gilt:
1 [mm] \odot \overline{v} [/mm] = [mm] \overline{v}^1 [/mm] = [mm] \overline{v} [/mm] , da für jede Zahl x [mm] \in \IR x^1 [/mm] wieder x ist. (Kann man das so Begründen?)
Als nächstes wollte ich eigenlich die Assoziativität zeigen: [mm] (\lambda [/mm] * [mm] \mu)* \overline{v} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] (\mu [/mm] * [mm] \overline{v}) [/mm] gilt.
Aufgrund der gegebenen Verktoradditon und Skalarmultiplikation tue ich mich damit etwas schwer. Hier wäre ja
[mm] (\lambda [/mm] * [mm] \mu) \odot \overline{v} [/mm] = [mm] \overline{v}^{\lambda * \mu})
[/mm]
Wenn ich nun nach dem Muster oben weitermache komme ich im nächsten Schritt dann aber auf
[mm] \lambda [/mm] * [mm] (\mu \odot \overline{v}) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \overline{v}^\mu
[/mm]
Aber: [mm] \lambda [/mm] * [mm] \overline{v}^\mu \not= \overline{v}^{\lambda * \mu}
[/mm]
So gesehen wäre V also kein Vektorraum über [mm] \IK. [/mm] Der Aufgabenstellung entnehme ich aber, dass dies der Fall ist. Also habe ich etwas falsch gemacht. Aber was?
Ein Tipp wäre sehr nett :)
Mfg,
bob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Do 07.12.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo bob,
> Zeigen Sie, dass [mm](\IR_{>0},\oplus,\odot)[/mm] mit der
> Vektoraddition
> a [mm]\oplus[/mm] b = a * b für alle a,b [mm]\in \IR_{>0}[/mm]
> und der
> Skalarmultiplikation
> [mm]\lambda \odot[/mm] a = [mm]a^\lambda[/mm] für alle a [mm]\in \IR_{>0}[/mm] und
> [mm]\lambda \in \IR[/mm]
> ein Vektorraum über dem Körper [mm](\IR,+,*)[/mm]
> ist.
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt
> Hallo! Also die Aufgabe gilt es zu lösen.
> Mein Vektorraum ist also V = [mm](\IR_{>0},\oplus,\odot)[/mm]
> und dazu mein Körper [mm]\IK[/mm] = [mm](\IR,+,*)[/mm]
> Angefangen habe ich damit, dass ich gezeigt habe, dass das
> Einselement von [mm]\IK[/mm] für alle [mm]\overline{v} \in[/mm] V gilt:
> 1 [mm]\odot \overline{v}[/mm] = [mm]\overline{v}^1[/mm] = [mm]\overline{v}[/mm] , da
> für jede Zahl x [mm]\in \IR x^1[/mm] wieder x ist. (Kann man das so
> Begründen?)
>
> Als nächstes wollte ich eigenlich die Assoziativität
> zeigen: [mm](\lambda[/mm] * [mm]\mu)* \overline{v}[/mm] = [mm]\lambda[/mm] * [mm](\mu[/mm] *
> [mm]\overline{v})[/mm] gilt.
> Aufgrund der gegebenen Verktoradditon und
> Skalarmultiplikation tue ich mich damit etwas schwer. Hier
> wäre ja
> [mm](\lambda[/mm] * [mm]\mu) \odot \overline{v}[/mm] = [mm]\overline{v}^{\lambda * \mu})[/mm]
>
> Wenn ich nun nach dem Muster oben weitermache komme ich im
> nächsten Schritt dann aber auf
> [mm]\lambda[/mm] * [mm](\mu \odot \overline{v})[/mm] = [mm]\lambda[/mm] * [mm]\overline{v}^\mu[/mm]
> Aber: [mm]\lambda[/mm] * [mm]\overline{v}^\mu \not= \overline{v}^{\lambda * \mu}[/mm]
Nee, es gilt das Gleichheitszeichen:
Du musst jetzt nochmal die Definition der Multiplikation mit Skalaren anwenden.
[mm] \lambda [/mm] * [mm] \overline{v}^\mu [/mm] = [mm] (\overline{v}^\mu)^\lambda [/mm]
Siehst du jetzt die Gleichheit?
Gruß
Sigrid
>
> So gesehen wäre V also kein Vektorraum über [mm]\IK.[/mm] Der
> Aufgabenstellung entnehme ich aber, dass dies der Fall ist.
> Also habe ich etwas falsch gemacht. Aber was?
> Ein Tipp wäre sehr nett :)
>
> Mfg,
> bob
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Do 07.12.2006 | | Autor: | bob86a |
Hallo Sigrid!
Jetzt wo du es sagst fällt es mir glaube ich auch ein auf. Ich war irgendwie der Auffassung, dass hier die Multiplikation wie im Körper definiert ausgeführt werden muss.
Ist natürlich quatsch. Schließlich multipliziere ich meinen Vektor ja mit einem Skalar. Da ist die Skalarmultiplikation dann ja auch irgendwie wieder angebracht.
Oder wäre die Schlussfolgerung so falsch?
Vielen Dank schon mal für deine Hilfe!
Gruß,
Bob
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> Ich war irgendwie der Auffassung, dass hier die
> Multiplikation wie im Körper definiert ausgeführt werden
> muss.
> Ist natürlich quatsch. Schließlich multipliziere ich
> meinen Vektor ja mit einem Skalar.
Hallo,
genau das ist der Casus Knacktus: Du mußt genau darauf achten, was da gerade miteinander multipliziert wird.
Für das Assoziativgesetz ist hier zu zeigen
[mm] (\lambda [/mm] * [mm] \mu) \odot [/mm] v = [mm] \lambda \odot (\mu \odot [/mm] v).
Alles andere wäre Unfug, denn
es ist ja in diesem speziellen Vektorraum [mm] \lambda [/mm] * V gar nicht definiert.
Man muß da gut aufpassen, in solche Fallen tappt man leicht bei "komischen" Vektorräumen.
Gruß v. Angela
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