Vektorraumaxiome < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:50 Do 06.01.2011 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Menge [mm] $\IR^{+}$ [/mm] aller positiven reellen Zahlen mit den Verknüpfungen:
[mm] $x\oplus [/mm] y:=xy$ und [mm] $\lambda \circ x:=x^{\lambda}$
[/mm]
mit $x,y>0$ und [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] ein Vektorraum ist. |
Hallo,
zu zeigen, dass die Menge bzgl. der Verknüpfung [mm] $\oplus$ [/mm] eine kommutative Gruppe ist, ist einfach.
Ein Problem habe ich allerdings mit folgendem Vektorraumaxiom:
[mm] \forall \lambda, \mu \in \IR \forall x \in V (\lambda \oplus \mu) \circ x = \lambda \circ x \oplus \mu \circ x [/mm] , denn
[mm] (\lambda \oplus \mu) \circ x = (\lambda \mu) \circ x = x^{\lambda \mu} = x^{\lambda \oplus \mu} [/mm]
[mm] \not= x^{\lambda + \mu} = x^{\lambda} * x^{\mu} = x^{\lambda} \oplus x^{\mu} = \lambda \circ x \oplus \mu \circ x[/mm]
Damit habe ich doch widerlegt, dass die Menge ein Vektorraum ist, oder?
Danke und Grüße,
B
|
|
| |
|
Hi,
> Zeigen Sie, dass die Menge [mm]\IR^{+}[/mm] aller positiven reellen
> Zahlen mit den Verknüpfungen:
> [mm]x\oplus y:=xy[/mm] und [mm]\lambda \circ x:=x^{\lambda}[/mm]
> mit [mm]x,y>0[/mm]
> und [mm]\lambda \in \IR[/mm] ein Vektorraum ist.
> Hallo,
>
> zu zeigen, dass die Menge bzgl. der Verknüpfung [mm]\oplus[/mm]
> eine kommutative Gruppe ist, ist einfach.
>
> Ein Problem habe ich allerdings mit folgendem
> Vektorraumaxiom:
>
> [mm]\forall \lambda, \mu \in \IR \forall x \in V (x\oplus y) \circ x = \lambda \circ x \oplus \mu \circ x[/mm]
> , denn
>
> [mm](x\oplus y) \circ x = (\lambda \mu) \circ x = x^{\lambda \mu} = x^{\lambda \oplus \mu}[/mm]
>
> [mm]\not= x^{\lambda + \mu} = x^{\lambda} * x^{\mu} = x^{\lambda} \oplus x^{\mu} = \lambda \circ x \oplus \mu \circ x[/mm]
>
> Damit habe ich doch widerlegt, dass die Menge ein
> Vektorraum ist, oder?
>
Ich war erst geneigt, dir zuzustimmen und dachte, dass da jemand bei der Aufgabenstellung einfach nicht an das Potenzgesetz gedacht hat.
Aaaaber dann hab ich nochmal überlegt und festgestellt, dass das "+" in dieser Regel tatsächlich ja ein "+" im Körper ist, denn dort werden ja 2 Skalare addiert, du darfst hier nicht die Addition aus dem Vektorraum nehmen. Nur die Multiplikation ist ja als neue skalare Multiplikation definiert.
Und dann stimmt es auch.
> Danke und Grüße,
> B
lg weightgainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:24 Do 06.01.2011 | | Autor: | BarneyS |
> Hi,
>
> > Zeigen Sie, dass die Menge [mm]\IR^{+}[/mm] aller positiven reellen
> > Zahlen mit den Verknüpfungen:
> > [mm]x\oplus y:=xy[/mm] und [mm]\lambda \circ x:=x^{\lambda}[/mm]
> > mit
> [mm]x,y>0[/mm]
> > und [mm]\lambda \in \IR[/mm] ein Vektorraum ist.
> > Hallo,
> >
> > zu zeigen, dass die Menge bzgl. der Verknüpfung [mm]\oplus[/mm]
> > eine kommutative Gruppe ist, ist einfach.
> >
> > Ein Problem habe ich allerdings mit folgendem
> > Vektorraumaxiom:
> >
> > [mm]\forall \lambda, \mu \in \IR \forall x \in V (\lambda \oplus \mu) \circ x = \lambda \circ x \oplus \mu \circ x[/mm]
> > , denn
> >
> > [mm](\lambda \oplus \mu) \circ x = (\lambda \mu) \circ x = x^{\lambda \mu} = x^{\lambda \oplus \mu}[/mm]
>
> >
> > [mm]\not= x^{\lambda + \mu} = x^{\lambda} * x^{\mu} = x^{\lambda} \oplus x^{\mu} = \lambda \circ x \oplus \mu \circ x[/mm]
>
> >
> > Damit habe ich doch widerlegt, dass die Menge ein
> > Vektorraum ist, oder?
> >
>
> Ich war erst geneigt, dir zuzustimmen und dachte, dass da
> jemand bei der Aufgabenstellung einfach nicht an das
> Potenzgesetz gedacht hat.
>
> Aaaaber dann hab ich nochmal überlegt und festgestellt,
> dass das "+" in dieser Regel tatsächlich ja ein "+" im
> Körper ist, denn dort werden ja 2 Skalare addiert, du
> darfst hier nicht die Addition aus dem Vektorraum nehmen.
> Nur die Multiplikation ist ja als neue skalare
> Multiplikation definiert.
>
> Und dann stimmt es auch.
>
>
> > Danke und Grüße,
> > B
>
> lg weightgainer
Hallo weightgainer,
danke für deiner Antwort. Darüber habe ich auch schon nachgedacht. Allerdings finde ich es ein wenig verwirrend.
Man muss also stattdessen folgendes zeigen:
[mm]\forall \lambda, \mu \in \IR \forall x \in V (\lambda + \mu) \circ x = \lambda \circ x \oplus \mu \circ x[/mm]
Beweis:
[mm](\lambda + \mu) \circ x = x^{\lambda + \mu} = x^{\lambda}*x^{\mu} = x^{\lambda} \oplus x^{\mu} = \lambda \circ x \oplus \mu \circ x[/mm] ?
|
|
|
| |
|
> > Hi,
> >
> > > Zeigen Sie, dass die Menge [mm]\IR^{+}[/mm] aller positiven reellen
> > > Zahlen mit den Verknüpfungen:
> > > [mm]x\oplus y:=xy[/mm] und [mm]\lambda \circ x:=x^{\lambda}[/mm]
> > >
> mit
> > [mm]x,y>0[/mm]
> > > und [mm]\lambda \in \IR[/mm] ein Vektorraum ist.
> [...]
> Man muss also stattdessen folgendes zeigen:
>
> [mm]\forall \lambda, \mu \in \IR \forall x \in V (\lambda + \mu) \circ x = \lambda \circ x \oplus \mu \circ x[/mm]
Hallo,
genau.
>
> Beweis:
>
> [mm](\lambda + \mu) \circ x = x^{\lambda + \mu} = x^{\lambda}*x^{\mu} = x^{\lambda} \oplus x^{\mu} = \lambda \circ x \oplus \mu \circ x[/mm]
Richtig.
Gruß v. Angela
> ?
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 Do 06.01.2011 | | Autor: | BarneyS |
Ok, danke erstmal für die Hilfe.
Mit dem nächsten Axiom habe ich allerdings wieder ein Problem.
Ich finde es schwierig zu entscheiden, wo ich die skalare Multiplikation und wo die in der Aufgabenstellung definierte Verknüpfung verwenden soll?
Allgemein lautet das Axiom so:
[mm] \forall \lambda, \mu \in \IR \forall x \in V[/mm]
[mm] \lambda(\mu x) = (\lambda \mu) x =: \lambda \mu x [/mm]
Wie muss es denn jetzt für diese Aufgabe ausgedrückt werden?
Wenn man es wie folgt formuliert,
[mm] \lambda \circ (\mu \circ x) = (\lambda \circ \mu) \circ x =: \lambda \circ \mu \circ x [/mm]
kommt man wieder zu einem Widerspruch.
So
[mm] \lambda \circ (\mu \circ x) = (\lambda * \mu) \circ x [/mm]
würde es funktionieren. Was ist nun richtig und warum?
Ich nehme an letzteres, da immer wenn sich die Verknüpfung nur auf Skalare bezieht, die normale Multiplikation angewendet wird?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 Do 06.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Der zugrunde liegende Körper ist [mm] \IR [/mm] (mit den üblichen Verknüpfungen "+" und ".")
FRED
|
|
|
|
