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Vektorraumaxiome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 Do 28.04.2011
Autor: noname2k

Aufgabe
Die Vektoraddition sei gegeben mit:
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\x_3\\x_4}+\vektor{y_1 \\ y_2\\y_3\\y_4}:=\vektor{x_1y_1+x_2y_3\\x_1y_2+x_2y_4\\x_3y_1+x_4y_3\\x_3y_2+x_4y_4} [/mm]

Hallo,

ich möchte dafür die Assoziativität zeigen, also [mm] $(\vec{x}+\vec{y})+\vec{z}=\vec{x}+(\vec{y}+\vec{z})$ [/mm]

[mm] $(\vec{x}+\vec{y})+\vec{z}=(\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3\\x_4}+\vektor{y_1 \\ y_2\\y_3\\y_4})+\vektor{z_1 \\ z_2\\z_3\\z_4}=\vektor{x_1y_1+x_2y_3\\x_1y_2+x_2y_4\\x_3y_1+x_4y_3\\x_3y_2+x_4y_4}+\vektor{z_1 \\ z_2\\z_3\\z_4}=\vektor{(x_1y_1+x_2y_3)z_1+(x_1y_2+x_2y_4)z_3\\(x_1y_1+x_2y_3)z_2+(x_1y_2+x_2y_4)z_4\\(x_3y_1+x_4y_3)z_1+(x_3y_2+x_4y_4)z_3\\(x_3y_1+x_4y_3)z_2+(x_3y_2+x_4y_4)z_4} [/mm]
[mm] $=\vektor{x_1y_1z_1+x_2y_3z_1+x_1y_2z_3+x_2y_4z_3\\x_1y_1z_2+x_2y_3z_2+x_1y_2z_4+x_2y_4z_4\\x_3y_1z_1+x_4y_3z_1+x_3y_2z_3+x_4y_4z_3\\x_3y_1z_2+x_4y_3z_2+x_3y_2z_4+x_4y_4z_4}$ [/mm]

[mm] $\vec{x}+(\vec{y}+\vec{z})=\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3\\x_4}+(\vektor{y_1 \\ y_2\\y_3\\y_4}+\vektor{z_1 \\ z_2\\z_3\\z_4})=\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3\\x_4}+\vektor{y_1z_1+y_2z_3\\y_1z_2+y_2z_4\\y_3z_1+y_4z_3\\y_3z_2+y_4z_4}=\vektor{x_1(y_1z_1+y_2z_3)+x_2(y_3z_1+y_4z_3\\x_1(y_1z_2+y_2z_4)+x_2(y_3z_2+y_4z_4\\x_3(y_1z_1+y_2z_3)+x_4(y_3z_1+y_4z_3\\x_3(y_1z_2+y_2z_4)+x_4(y_3z_2+y_4z_4}$ [/mm]
[mm] $=\vektor{x_1y_1z_1+x_1y_2z_3+x_2y_3z_1+x_2y_4z_3\\x_1y_1z_2+x_1y_2z_4+x_2y_3z_2+x_2y_4z_4\\x_3y_1z_1+x_3y_2z_3+x_4y_3z_1+x_4y_4z_3\\x_3y_1z_2+x_3y_2z_4+x_4y_3z_2+x_4y_4z_4}$ [/mm]

Ist das soweit korrekt oder bin ich da total falsch rangegangen? Fehlen noch irgendwelche Zwischenschritte?

Ich danke schonmal für Eure Hilfe/Tipps.

        
Bezug
Vektorraumaxiome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:58 Do 28.04.2011
Autor: algieba

Hi

deine Vorgehensweise ist richtig. Wenn deine beiden Ergebnisse übereinstimmen (was sie auch tun), dann hast du die Assoziativität gezeigt. Ich habe jetzt aber nicht alle Indizes überprüft, aber das dürfte schon alles stimmen.

Also um es kurz zu sagen: Alles richtig [ok]

Viele Grüße

Bezug
                
Bezug
Vektorraumaxiome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:29 Do 28.04.2011
Autor: noname2k


> Hi
>  
> deine Vorgehensweise ist richtig. Wenn deine beiden
> Ergebnisse übereinstimmen (was sie auch tun), dann hast du
> die Assoziativität gezeigt. Ich habe jetzt aber nicht alle
> Indizes überprüft, aber das dürfte schon alles stimmen.
>  
> Also um es kurz zu sagen: Alles richtig [ok]
>  
> Viele Grüße

Danke.
Jetzt hab ich noch eine Frage zu einem anderen Axiom dafür.
zu zeigen: [mm] $\alpha(\vec{x}+\vec{y})=\alpha\vec{x}+\alpha\vec{y}$ [/mm]

[mm] $\alpha(\vec{x}+\vec{y})=\alpha(\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}+\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4})=\alpha\vektor{x_1y_1+x_2y_3\\x_1y_2+x_2y_4\\x_3y_1+x_4y_3\\x_3y_2+x_4y_4}=\vektor{\alpha(x_1y_1+x_2y_3)\\\alpha(x_1y_2+x_2y_4\\\alpha(x_3y_1+x_4y_3)\\\alpha(x_3y_2+x_4y_4)}$ [/mm]

[mm] $\alpha\vec{x}+\alpha\vec{y}=\alpha\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}+\alpha\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4}=\vektor{\alpha x_1\\\alpha x_2\\\alpha x_3\\\alpha x_4}+\vektor{\alpha y_1\\\alpha y_2\\\alpha y_3\\\alpha y_4}=?\vektor{\alpha x_1\alpha y_1+\alpha x_2\alpha y_3\\\vdots}$ [/mm]
Beim letzten Schritt hab ich nur die 1. Zeile hingeschrieben, weil ich mir da nicht sicher bin ob das so korrekt ist.
Muss ich dort die Vorschrift der Vektoraddition benutzen so wie ich es gemacht habe oder ist das falsch? Falls es korrekt ist, dürfte das Axiom ja nicht gelten da beim 2. Ergebnis jeweils ein [mm] \alpha^2 [/mm] entsteht oder?

Bezug
                        
Bezug
Vektorraumaxiome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:06 Do 28.04.2011
Autor: Sigrid


>
> Danke.
>  Jetzt hab ich noch eine Frage zu einem anderen Axiom
> dafür.
>  zu zeigen:
> [mm]\alpha(\vec{x}+\vec{y})=\alpha\vec{x}+\alpha\vec{y}[/mm]
>  
> [mm]\alpha(\vec{x}+\vec{y})=\alpha(\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}+\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4})=\alpha\vektor{x_1y_1+x_2y_3\\x_1y_2+x_2y_4\\x_3y_1+x_4y_3\\x_3y_2+x_4y_4}=\vektor{\alpha(x_1y_1+x_2y_3)\\\alpha(x_1y_2+x_2y_4\\\alpha(x_3y_1+x_4y_3)\\\alpha(x_3y_2+x_4y_4)}[/mm]
>  
> [mm]\alpha\vec{x}+\alpha\vec{y}=\alpha\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}+\alpha\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4}=\vektor{\alpha x_1\\\alpha x_2\\\alpha x_3\\\alpha x_4}+\vektor{\alpha y_1\\\alpha y_2\\\alpha y_3\\\alpha y_4}=?\vektor{\alpha x_1\alpha y_1+\alpha x_2\alpha y_3\\\vdots}[/mm]
>  
> Beim letzten Schritt hab ich nur die 1. Zeile
> hingeschrieben, weil ich mir da nicht sicher bin ob das so
> korrekt ist.
>  Muss ich dort die Vorschrift der Vektoraddition benutzen
> so wie ich es gemacht habe oder ist das falsch? Falls es
> korrekt ist, dürfte das Axiom ja nicht gelten da beim 2.
> Ergebnis jeweils ein [mm]\alpha^2[/mm] entsteht oder?

Du musst auf jeden Fall die gegebene Definition der Vektoraddition benutzen. Wenn Du für die Multiplikation mit einem Skalar die übliche S- multiplikation im [mm] R_4 [/mm] gegeben hast, ist Deine Rechnung richtig. Du kannst dann einfach ein Gegenbeispiel angeben, um zu zeigen, dass das Distributivgesetz nicht gilt.
Gruß
Sigrid


Bezug
                                
Bezug
Vektorraumaxiome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:44 Do 28.04.2011
Autor: noname2k

Vielen Dank für Eure Hilfe.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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