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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:11 Mi 10.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hier noch eine Frage:
Gibt es eine [mm] \IC\mbox{-Vektorraumstruktur} [/mm] auf [mm] \IR, [/mm] so dass die skalare Multiplikation [mm] \IC\times\IR\to\IR [/mm] eingeschränkt auf [mm] \IR\times\IR [/mm] die übliche Multiplikation reeller Zahlen ist?
Also, ich glaube, ich verstehe hier irgendetwas nicht so ganz. Aber die skalare Multiplikation wäre dann doch so etwas, oder:
[mm] z\in\IC; [/mm] z=a+ib
[mm] x\in\IR
[/mm]
z*x=(a+ib)x=ax+ibx
Und eingeschränkt auf [mm] \IR\times\IR [/mm] verstehe ich jetzt so, dass ich halt statt [mm] z\in\IC [/mm] dann ein [mm] v\in\IR [/mm] nehme. Und dann hätte ich doch mit
v=a+0*i
vx=vx
die normale Multiplikation.
Also, was verstehe ich denn hier verkehrt?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:30 Mi 10.08.2005 | | Autor: | SEcki |
> Also, was verstehe ich denn hier verkehrt?
Gar nichts, das ist alles richtig. Der Knackpunkt ist: was passiert mit der 1, wenn sie von links mit i multipliziert wird?Betrachte dazu: i*1=r, was folgt für i*i*1=i*r*1, wenn man links und rechts geschickt umformt?
SEcki
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:56 Mi 10.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo SEcki!
Danke schon mal für die Antwort.
> > Also, was verstehe ich denn hier verkehrt?
>
> Gar nichts, das ist alles richtig. Der Knackpunkt ist: was
> passiert mit der 1, wenn sie von links mit i multipliziert
> wird?Betrachte dazu: i*1=r, was folgt für i*i*1=i*r*1, wenn
> man links und rechts geschickt umformt?
Also, wo genau liegt jetzt das Problem? Wenn i das Element aus [mm] \IC [/mm] ist, dass mit dem Element 1 aus [mm] \IR [/mm] verknüpft wird. Dann liegt das Ergebnis ja schon nicht mehr in [mm] \IR, [/mm] wie es eigentlich sollte. Und wie schränke ich denn dann i auf [mm] \IR [/mm] ein?
Kannst du vielleicht mal genau erklären, was ich jetzt zeigen muss? (das zu zeigen, möchte ich dann noch alleine versuchen) Also, ich nehme an, hier kommt ein Widerspruch raus, und wie ich dafür anfangen muss und wo der Widerspruch sein soll, das wüsste ich gerne...
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 Do 11.08.2005 | | Autor: | SEcki |
> Also, wo genau liegt jetzt das Problem? Wenn i das Element
> aus [mm]\IC[/mm] ist, dass mit dem Element 1 aus [mm]\IR[/mm] verknüpft wird.
> Dann liegt das Ergebnis ja schon nicht mehr in [mm]\IR,[/mm] wie es
> eigentlich sollte.
Bitte was? Warum das denn? Da steht in der ganzen Aufgabe nichts von ...
> Und wie schränke ich denn dann i auf [mm]\IR[/mm]
> ein?
Gar nicht? Aber eine komplexe Zahl a+i*b lässt sich halt mit reellen a und b schreiben, also mittels VR-Axiomen immer vorbeiziehen.
> Kannst du vielleicht mal genau erklären, was ich jetzt
> zeigen muss?
Einen Widerspruch. Ang. es gäbe so eine VR-Struktur, dann wäre auch ..., Wdsp. Der Rest steht schon oben.
> (das zu zeigen, möchte ich dann noch alleine
> versuchen) Also, ich nehme an, hier kommt ein Widerspruch
> raus, und wie ich dafür anfangen muss und wo der
> Widerspruch sein soll, das wüsste ich gerne...
Wenn du weisst, wo er leigt, bist du fertig mit dem Bewis. Es sind quasi zwei Schritte von obiger Gleichung zum Widerspruch. Richitg Klammern und Vertauschen hilft.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:15 Do 11.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
> > Also, wo genau liegt jetzt das Problem? Wenn i das Element
> > aus [mm]\IC[/mm] ist, dass mit dem Element 1 aus [mm]\IR[/mm] verknüpft wird.
> > Dann liegt das Ergebnis ja schon nicht mehr in [mm]\IR,[/mm] wie es
> > eigentlich sollte.
>
> Bitte was? Warum das denn? Da steht in der ganzen Aufgabe
> nichts von ...
Was bedeutet denn dann: [mm] \IC\times\IR\to\IR [/mm] ??? Und [mm] i*1=i\notin\IR [/mm] !!!
> > Und wie schränke ich denn dann i auf [mm]\IR[/mm]
> > ein?
>
> Gar nicht? Aber eine komplexe Zahl a+i*b lässt sich halt
> mit reellen a und b schreiben, also mittels VR-Axiomen
> immer vorbeiziehen.
Wieso gar nicht? Es steht doch explizit da, dass die Multiplikation eingeschränkt werden soll!
> > Kannst du vielleicht mal genau erklären, was ich jetzt
> > zeigen muss?
>
> Einen Widerspruch. Ang. es gäbe so eine VR-Struktur, dann
> wäre auch ..., Wdsp. Der Rest steht schon oben.
>
> > (das zu zeigen, möchte ich dann noch alleine
> > versuchen) Also, ich nehme an, hier kommt ein Widerspruch
> > raus, und wie ich dafür anfangen muss und wo der
> > Widerspruch sein soll, das wüsste ich gerne...
>
> Wenn du weisst, wo er leigt, bist du fertig mit dem Bewis.
> Es sind quasi zwei Schritte von obiger Gleichung zum
> Widerspruch. Richitg Klammern und Vertauschen hilft.
Leider verstehe ich immer noch nicht, was ich da genau zeigen muss! ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 Do 11.08.2005 | | Autor: | SEcki |
> Was bedeutet denn dann: [mm]\IC\times\IR\to\IR[/mm] ??? Und
> [mm]i*1=i\notin\IR[/mm] !!!
Die letzte ussage ist falsch - das steht nicht in der Aufgabe. Du weisst nicht, was i*1 ist - blos das das Ergebnis in [m]\IR[/m] liegt.
> Wieso gar nicht? Es steht doch explizit da, dass die
> Multiplikation eingeschränkt werden soll!
Ja, eben. Die Skalarmultiplikation soll eingeschränkt werden - dann betrachtet man eben i nicht mehr. Du hast eine Multiplikation gegeben - und du schränkst die Definitionsmenge ein. Und dann kommt danach kein i mehr vor.
> Leider verstehe ich immer noch nicht, was ich da genau
> zeigen muss!
Ich verstehe dein Problem nicht ... vielleicht muss jemand anderes ran, ich glaub, ich kann dir nicht mehr helfen ... *shrug*
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Do 11.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Wir haben hier zwei verschiedene Multiplikationen (eigentlich sogar drei, aber die beiden Multiplikationen in [mm] $\IR$ [/mm] und [mm] $\IC$ [/mm] identifiziere ich in dem Sinne, dass [mm] $\IR$ [/mm] als Teilkörper von [mm] $\IC$ [/mm] aufgefasst wird).
Die Skalarmultiplikation, die [mm] $\IR$ [/mm] zu einem [mm] $\IC$-Vektorraum [/mm] machen sollte, bezeichne ich so:
[mm] $\star: \begin{array}{ccc} \IC \times \IR & \to & \IR \\[5pt] (\lambda,x) & \mapsto & \lambda \star x \end{array}$.
[/mm]
Beachte bitte, dass dann im Allgemeinen
[mm] $\lambda \cdot [/mm] x [mm] \ne \lambda \star [/mm] x [mm] \quad (\lambda \in \IC, [/mm] x [mm] \in \IR)$
[/mm]
gilt, wenn ich mit [mm] $\cdot$ [/mm] die "gewöhnliche" Multiplikation im Körper [mm] $\IC$ [/mm] (bzw. die Einschränkung auf den Teilkörper [mm] $\IR$) [/mm] bezeichne.
Dagegen soll aber:
[mm] $\lambda \cdot \mu [/mm] = [mm] \lambda \star \mu \quad (\lambda,\, \mu \in \IR)$
[/mm]
gelten.
Nun, nach Voraussetzung gilt:
$i [mm] \star [/mm] 1 =: r [mm] \in \IR$.
[/mm]
Weiterhin gilt:
$r [mm] \star [/mm] 1 = r [mm] \cdot [/mm] 1 = r$,
also:
$i [mm] \star [/mm] 1 = r [mm] \star [/mm] 1$.
Daraus folgt aber:
$r=i [mm] \in \IC \setminus \IR$,
[/mm]
im Widerspruch zu $r [mm] \in \IR$.
[/mm]
Daher kann es keine solche Skalarmultiplikation geben, die [mm] $\IR$ [/mm] zu einem [mm] $\IC$-Vektorraum [/mm] macht und deren Einschränkung auf [mm] $\IR \times \IR$ [/mm] die "gewöhnliche" Körpermultiplikation auf [mm] $\IR$ [/mm] induziert.
Jetzt alles klar?
Wenn nicht, dann frage bitte nach... 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Fr 12.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> Wir haben hier zwei verschiedene Multiplikationen
> (eigentlich sogar drei, aber die beiden Multiplikationen in
> [mm]\IR[/mm] und [mm]\IC[/mm] identifiziere ich in dem Sinne, dass [mm]\IR[/mm] als
> Teilkörper von [mm]\IC[/mm] aufgefasst wird).
>
> Die Skalarmultiplikation, die [mm]\IR[/mm] zu einem [mm]\IC[/mm]-Vektorraum
> machen sollte, bezeichne ich so:
>
> [mm]\star: \begin{array}{ccc} \IR \times \IC & \to & \IR \\[5pt] (\lambda,x) & \mapsto & \lambda \star x \end{array}[/mm].
Aber muss nicht [mm] \lambda\in\IC [/mm] liegen und x in [mm] \IR? [/mm] In meinem Buch steht als Verknüpfung:
[mm] *:K\times V\to [/mm] V, [mm] (\lambda,v)\mapsto\lambda*v
[/mm]
> Beachte bitte, dass dann im Allgemeinen
>
> [mm]\lambda \cdot x \ne \lambda \star x \quad (\lambda \in \IR, x \in \IC)[/mm]
>
> gilt, wenn ich mit [mm]\cdot[/mm] die "gewöhnliche" Multiplikation
> im Körper [mm]\IC[/mm] (bzw. die Einschränkung auf den Teilkörper
> [mm]\IR[/mm]) bezeichne.
>
> Dagegen soll aber:
>
> [mm]\lambda \cdot \mu = \lambda \star \mu \quad (\lambda,\, \mu \in \IR)[/mm]
>
> gelten.
>
> Nun, nach Voraussetzung gilt:
>
> [mm]i \star 1 =: r \in \IR[/mm].
>
> Weiterhin gilt:
>
> [mm]r \star 1 = r \cdot 1 = r[/mm],
>
> also:
>
> [mm]i \star 1 = r \star 1[/mm].
Wieso folgt denn hieraus nicht schon direkt i=r? Kann man das nicht irgendwie mit dem Inversen von 1 multiplizieren oder gibt es dafür kein Inverses?
> Nun multiplizieren wir beide Seiten (im Sinne einer
> Skalarmultiplikation!) von links mit [mm]i[/mm], und erhalten:
>
> (1) [mm]i \star (i \star 1) = i \star (r \star 1)[/mm].
>
> Nun wenden wir die Vektorraumaxiome an und erhalten (dies
> ist ja eine Art Assoziativgesetz):
>
> [mm]\blue{(-1)} \star 1 = (i \cdot i) \star 1 = i \star (i \star 1) \stackrel{(1)}{=} i \star (r \star 1) = \blue{(i \cdot r)} \star 1[/mm].
Das zweite Gleichheitszeichen verstehe ich noch nicht so ganz...
> Daraus erhalten wir:
>
> [mm]\blue{-1 = i \cdot r}[/mm].
>
> Daraus folgt aber:
>
> [mm]r=i \in \IC \setminus \IR[/mm],
>
> im Widerspruch zu [mm]r \in \IR[/mm].
>
> Daher kann es keine solche Skalarmultiplikation geben, die
> [mm]\IR[/mm] zu einem [mm]\IC[/mm]-Vektorraum macht und deren Einschränkung
> auf [mm]\IR \times \IR[/mm] die "gewöhnliche" Körpermultiplikation
> auf [mm]\IR[/mm] induziert.
>
> Jetzt alles klar?
Also, bis auf diese zwei Kleinigkeiten da oben ist mir alles klar. Allerdings muss ich die Aufgabe jetzt nochmal in Worte fassen. Also: wir haben einen Körper [mm] \IC [/mm] und möchten [mm] \IR [/mm] zu einem Vektorraum machen, und zwar so, dass die Skalarmultiplikation die normale Multiplikation reeller Zahlen ist, wenn ich zwei Elemente aus [mm] \IR [/mm] damit verknüpfe. Ist das richtig so? Aber irgendwie sehe ich da so jetzt nicht, wo der Widerspruch liegt. Also, in der Rechnung schon, aber ich weiß den Zusammenhang zwischen der Rechnung und der Aufgabe nicht so ganz. Verstehst du, wo mein Problem liegt?
Viele Grüße
Christiane
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 Fr 12.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Aber muss nicht [mm]\lambda\in\IC[/mm] liegen und x in [mm]\IR?[/mm] > In
> meinem Buch steht als Verknüpfung:
> [mm]*:K\times V\to[/mm] V, [mm](\lambda,v)\mapsto\lambda*v[/mm]
Ja, das war einer meiner üblichen Schreib- und Tippfehler. Ich habe es jetzt verbessert. ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") , so etwas ärgert mich...
> > Nun, nach Voraussetzung gilt:
> >
> > [mm]i \star 1 =: r \in \IR[/mm].
> >
> > Weiterhin gilt:
> >
> > [mm]r \star 1 = r \cdot 1 = r[/mm],
> >
> > also:
> >
> > [mm]i \star 1 = r \star 1[/mm].
>
> Wieso folgt denn hieraus nicht schon direkt i=r? Kann man
> das nicht irgendwie mit dem Inversen von 1 multiplizieren
> oder gibt es dafür kein Inverses?
Doch, stimmt natürlich. ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") Daraus folgt sofort $i=r$. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Aus das werde ich gleich mal verbessern...
> > [mm]\blue{(-1)} \star 1 = (i \cdot i) \star 1 = i \star (i \star 1) \stackrel{(1)}{=} i \star (r \star 1) = \blue{(i \cdot r)} \star 1[/mm].
>
> Das zweite Gleichheitszeichen verstehe ich noch nicht so
> ganz...
Ist ja jetzt überflüssig, aber dies ist eines der Vektorraumaxiome:
[mm] $\lambda \cdot (\mu \cdot [/mm] v) = [mm] (\lambda \mu) \cdot [/mm] v$.
> Also, bis auf diese zwei Kleinigkeiten da oben ist mir
> alles klar. Allerdings muss ich die Aufgabe jetzt nochmal
> in Worte fassen. Also: wir haben einen Körper [mm]\IC[/mm] und
> möchten [mm]\IR[/mm] zu einem Vektorraum machen, und zwar so, dass
> die Skalarmultiplikation die normale Multiplikation reeller
> Zahlen ist, wenn ich zwei Elemente aus [mm]\IR[/mm] damit verknüpfe.
> Ist das richtig so?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber irgendwie sehe ich da so jetzt
> nicht, wo der Widerspruch liegt. Also, in der Rechnung
> schon, aber ich weiß den Zusammenhang zwischen der Rechnung
> und der Aufgabe nicht so ganz. Verstehst du, wo mein
> Problem liegt?
Naja, ich versuche es mal zu erklären.
Die Skalarmultiplikation einer komplexen Zahl $z$ mit einer reellen Zahl $x$ so ja eine reelle Zahl $r$ sein. Gleichzeitig kann man diese Zahl $r$ aber auch durch Multiplikation einer reellen Zahl $y$ mit $x$ erreichen. Wenn $z$ einen nicht-trivialen Imaginärteil hat, führt dies automatisch zu einem Widerspruch, da aus $z [mm] \cdot [/mm] x = y [mm] \cdot [/mm] x$ sofort $z=y$ folgt.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:37 Fr 12.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Ich glaub', ich hab's jetzt. ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
> > Aber muss nicht [mm]\lambda\in\IC[/mm] liegen und x in [mm]\IR?[/mm] > In
> > meinem Buch steht als Verknüpfung:
> > [mm]*:K\times V\to[/mm] V, [mm](\lambda,v)\mapsto\lambda*v[/mm]
>
> Ja, das war einer meiner üblichen Schreib- und Tippfehler.
> Ich habe es jetzt verbessert. , so etwas
> ärgert mich...
Macht ja nichts. Wenigstens habe ich mir deswegen nochmal Gedanken drüber gemacht, und hoffentlich ist es jetzt auch fest in meinem Gehirn drin, wie es sein muss...
> > > Nun, nach Voraussetzung gilt:
> > >
> > > [mm]i \star 1 =: r \in \IR[/mm].
> > >
> > > Weiterhin gilt:
> > >
> > > [mm]r \star 1 = r \cdot 1 = r[/mm],
> > >
> > > also:
> > >
> > > [mm]i \star 1 = r \star 1[/mm].
> >
> > Wieso folgt denn hieraus nicht schon direkt i=r? Kann man
> > das nicht irgendwie mit dem Inversen von 1 multiplizieren
> > oder gibt es dafür kein Inverses?
>
> Doch, stimmt natürlich. Daraus folgt sofort [mm]i=r[/mm].
>
Gut.
> Aus das werde ich gleich mal verbessern...
>
> > > [mm]\blue{(-1)} \star 1 = (i \cdot i) \star 1 = i \star (i \star 1) \stackrel{(1)}{=} i \star (r \star 1) = \blue{(i \cdot r)} \star 1[/mm].
>
> >
> > Das zweite Gleichheitszeichen verstehe ich noch nicht so
> > ganz...
>
> Ist ja jetzt überflüssig, aber dies ist eines der
> Vektorraumaxiome:
>
> [mm]\lambda \cdot (\mu \cdot v) = (\lambda \mu) \cdot v[/mm].
Komisch, und ich hatte extra die Axiome daneben gelegt und gesucht, welches es denn sein könnte... Da hab' ich wohl vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr gesehen. Oder so. 
> > Aber irgendwie sehe ich da so jetzt
> > nicht, wo der Widerspruch liegt. Also, in der Rechnung
> > schon, aber ich weiß den Zusammenhang zwischen der Rechnung
> > und der Aufgabe nicht so ganz. Verstehst du, wo mein
> > Problem liegt?
>
> Naja, ich versuche es mal zu erklären.
>
> Die Skalarmultiplikation einer komplexen Zahl [mm]z[/mm] mit einer
> reellen Zahl [mm]x[/mm] so ja eine reelle Zahl [mm]r[/mm] sein. Gleichzeitig
> kann man diese Zahl [mm]r[/mm] aber auch durch Multiplikation einer
> reellen Zahl [mm]y[/mm] mit [mm]x[/mm] erreichen. Wenn [mm]z[/mm] einen
> nicht-trivialen Imaginärteil hat, führt dies automatisch zu
> einem Widerspruch, da aus [mm]z \cdot x = y \cdot x[/mm] sofort [mm]z=y[/mm]
> folgt.
Ich glaub', mich hatte dieses "eingeschränkt" verwirrt. Das wird wohl hier einfach nur dafür gebraucht, damit man weiß, wie man zwei reelle Zahlen multipliziert... Ich glaub', ich wollte es viel komplizierter haben.
Viele Grüße und danke für die Antwort
Christiane
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
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