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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Sa 14.04.2012 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | Seien [mm] \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y} \in \IR^n. [/mm] Zeigen Sie:
[mm] ||\overrightarrow{x} [/mm] + [mm] \overrightarrow{y}|| [/mm] = [mm] ||\overrightarrow{x}|| [/mm] + [mm] ||\overrightarrow{y}|| \gdw [/mm] es gibt [mm] \lambda\ge0 [/mm] mit [mm] \overrightarrow{y}=\lambda*\overrightarrow{x} [/mm] oder [mm] \overrightarrow{x}=\lambda*\overrightarrow{y} [/mm] |
Hallo,
Ich habe mir die Lösung dazu angeschaut und verstehe davon einen Teil nicht so ganz...
Hier erstmal die Lösung:
[mm] ||\overrightarrow{x} [/mm] + [mm] \overrightarrow{y}|| [/mm] = [mm] ||\overrightarrow{x}|| [/mm] + [mm] ||\overrightarrow{y}|| [/mm]
[mm] \gdw ||\overrightarrow{x} [/mm] + [mm] \overrightarrow{y}||^2 [/mm] = [mm] (||\overrightarrow{x}|| [/mm] + [mm] ||\overrightarrow{y}||)^2
[/mm]
[mm] \gdw \overrightarrow{x}*\overrightarrow{y}=||\overrightarrow{x}||*||\overrightarrow{y}||
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] cos [mm] \alpha=1
[/mm]
[mm] \gdw \alpha=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] Die beiden Vektoren schließen den Winkel 0 ein
[mm] \gdw [/mm] sie sind parallel und haben die gleiche Richtung
[mm] \gdw [/mm] es gibt [mm] \lambda\ge0 [/mm] mit [mm] \overrightarrow{y}=\lambda*\overrightarrow{x} [/mm] oder [mm] \overrightarrow{x}=\lambda*\overrightarrow{y}
[/mm]
Was ich bei dieser Lösung nicht verstehe, ist folgender Schritt:
[mm] ||\overrightarrow{x} [/mm] + [mm] \overrightarrow{y}||^2 [/mm] = [mm] (||\overrightarrow{x}|| [/mm] + [mm] ||\overrightarrow{y}||)^2
[/mm]
[mm] \gdw \overrightarrow{x}*\overrightarrow{y}=||\overrightarrow{x}||*||\overrightarrow{y}||
[/mm]
Wieso ist das Äquivalent? Und warum ist [mm] \overrightarrow{x}*\overrightarrow{y}=||\overrightarrow{x}||*||\overrightarrow{y}|| [/mm] ? Ist das eine Allgemeine Regel (die ich nicht kenne)?
Und ist hier mit parallel auch gleichzeitig senkrecht gemeint?
Und mit dem letzten Teil:
es gibt [mm] \lambda\ge0 [/mm] mit [mm] \overrightarrow{y}=\lambda*\overrightarrow{x} [/mm] oder [mm] \overrightarrow{x}=\lambda*\overrightarrow{y}
[/mm]
Wird doch gesagt, dass man z.b. den Vektor [mm] \overrightarrow{y} [/mm] durch ein (positives) vielfaches von [mm] \overrightarrow{x} [/mm] darstellen kann, oder?
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Hallo,
> Seien [mm]\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y} \in \IR^n.[/mm]
> Zeigen Sie:
>
> [mm]||\overrightarrow{x}[/mm] + [mm]\overrightarrow{y}||[/mm] =
> [mm]||\overrightarrow{x}||[/mm] + [mm]||\overrightarrow{y}|| \gdw[/mm] es
> gibt [mm]\lambda\ge0[/mm] mit
> [mm]\overrightarrow{y}=\lambda*\overrightarrow{x}[/mm] oder
> [mm]\overrightarrow{x}=\lambda*\overrightarrow{y}[/mm]
> Hallo,
>
> Ich habe mir die Lösung dazu angeschaut und verstehe davon
> einen Teil nicht so ganz...
>
> Hier erstmal die Lösung:
>
> [mm]||\overrightarrow{x}[/mm] + [mm]\overrightarrow{y}||[/mm] =
> [mm]||\overrightarrow{x}||[/mm] + [mm]||\overrightarrow{y}||[/mm]
> [mm]\gdw ||\overrightarrow{x}[/mm] + [mm]\overrightarrow{y}||^2[/mm] =
> [mm](||\overrightarrow{x}||[/mm] + [mm]||\overrightarrow{y}||)^2[/mm]
> [mm]\gdw \overrightarrow{x}*\overrightarrow{y}=||\overrightarrow{x}||*||\overrightarrow{y}||[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] cos [mm]\alpha=1[/mm]
> [mm]\gdw \alpha=0[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] Die beiden Vektoren schließen den
> Winkel 0 ein
> [mm]\gdw[/mm] sie sind parallel und haben die gleiche Richtung
> [mm]\gdw[/mm] es gibt [mm]\lambda\ge0[/mm] mit
> [mm]\overrightarrow{y}=\lambda*\overrightarrow{x}[/mm] oder
> [mm]\overrightarrow{x}=\lambda*\overrightarrow{y}[/mm]
>
>
> Was ich bei dieser Lösung nicht verstehe, ist folgender
> Schritt:
> [mm]||\overrightarrow{x}[/mm] + [mm]\overrightarrow{y}||^2[/mm] =
> [mm](||\overrightarrow{x}||[/mm] + [mm]||\overrightarrow{y}||)^2[/mm]
> [mm]\gdw \overrightarrow{x}*\overrightarrow{y}=||\overrightarrow{x}||*||\overrightarrow{y}||[/mm]
>
> Wieso ist das Äquivalent? Und warum ist
> [mm]\overrightarrow{x}*\overrightarrow{y}=||\overrightarrow{x}||*||\overrightarrow{y}||[/mm]
> ? Ist das eine Allgemeine Regel (die ich nicht kenne)?
Hier wird doch einfach die Eigenschaft des Skalarprodukts
[mm]\left \| \overrightarrow{x} \right \|^2=\overrightarrow{x}*\overrightarrow{x}[/mm]
verwendet.
>
> Und ist hier mit parallel auch gleichzeitig senkrecht
> gemeint?
Nein: parallel ist parallel.
>
> Und mit dem letzten Teil:
> es gibt [mm]\lambda\ge0[/mm] mit
> [mm]\overrightarrow{y}=\lambda*\overrightarrow{x}[/mm] oder
> [mm]\overrightarrow{x}=\lambda*\overrightarrow{y}[/mm]
> Wird doch gesagt, dass man z.b. den Vektor
> [mm]\overrightarrow{y}[/mm] durch ein (positives) vielfaches von
> [mm]\overrightarrow{x}[/mm] darstellen kann, oder?
Ja, das folgt ja dann wiederum aus der Ausgangsgleichung. Also dass es dieses [mm] \lambda [/mm] gibt, ist trivial, aber dass es nichtnegativ ist, muss man sich eben noch klarmachen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Sa 14.04.2012 | | Autor: | Jack159 |
> > Was ich bei dieser Lösung nicht verstehe, ist folgender
> > Schritt:
> > [mm]||\overrightarrow{x}[/mm] + [mm]\overrightarrow{y}||^2[/mm] =
> > [mm](||\overrightarrow{x}||[/mm] + [mm]||\overrightarrow{y}||)^2[/mm]
> > [mm]\gdw \overrightarrow{x}*\overrightarrow{y}=||\overrightarrow{x}||*||\overrightarrow{y}||[/mm]
>
> >
> > Wieso ist das Äquivalent? Und warum ist
> >
> [mm]\overrightarrow{x}*\overrightarrow{y}=||\overrightarrow{x}||*||\overrightarrow{y}||[/mm]
> > ? Ist das eine Allgemeine Regel (die ich nicht kenne)?
>
> Hier wird doch einfach die Eigenschaft des Skalarprodukts
>
> [mm]\left \| \overrightarrow{x} \right \|^2=\overrightarrow{x}*\overrightarrow{x}[/mm]
>
> verwendet.
Hallo Diophant,
Danke für deine Antwort, aber ich verstehe es ehrlich gesagt immer noch nicht so ganz.
Wieso ist das folgende Äquivalent? Wie kommt man darauf?
[mm] ||\overrightarrow{x} [/mm] + [mm] \overrightarrow{y}||^2 [/mm] = [mm] (||\overrightarrow{x}|| [/mm] + [mm] ||\overrightarrow{y}||)^2
[/mm]
[mm] \gdw \overrightarrow{x}*\overrightarrow{y}=||\overrightarrow{x}||*||\overrightarrow{y}||[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Sa 14.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Jack,
> Wieso ist das folgende Äquivalent? Wie kommt man darauf?
>
> [mm]||\overrightarrow{x}[/mm] + [mm]\overrightarrow{y}||^2[/mm] = [mm](||\overrightarrow{x}||[/mm] + [mm]||\overrightarrow{y}||)^2[/mm]
> [mm]\gdw \overrightarrow{x}*\overrightarrow{y}=||\overrightarrow{x}||*||\overrightarrow{y}||[/mm]
Das ist in der Tat sehr grobschrittig.
Rechne die beiden Seiten der oberen Gleichung mithilfe einer binomischen Formel und der Skalarproduktregel, die dir Diophant genannt hat (jeweils angewandt auf x+y, x und y), aus.
So erhältst du eine Gleichung, die äquivalent zur unteren Gleichung ist.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Sa 14.04.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo tobit09,
Die obere Gleichung:
[mm] ||\overrightarrow{x} [/mm] + [mm] \overrightarrow{y}||^2 =(||\overrightarrow{x}|| [/mm] + [mm] ||\overrightarrow{y}||)^2
[/mm]
Wie ich hier die linke Seite der Gleichung mit der Binomischen Formel ausrechnen bzw. vereinfachen soll, ist mir unklar O.o Ich könnte jetzt nur die rechte Seite mit der Binomischen Formel umschreiben und mit der Skalaproduktregel noch weiter umschreiben:
[mm] ||\overrightarrow{x} [/mm] + [mm] \overrightarrow{y}||^2 =(||\overrightarrow{x}|| [/mm] + [mm] ||\overrightarrow{y}||)^2
[/mm]
[mm] \gdw ||\overrightarrow{x} [/mm] + [mm] \overrightarrow{y}||^2 =||\overrightarrow{x}||^2 [/mm] + [mm] 2*\overrightarrow{x}*\overrightarrow{y}+||\overrightarrow{y}||^2
[/mm]
(Skalarproduktregel $ [mm] \left \| \overrightarrow{x} \right \|^2=\overrightarrow{x}\cdot{}\overrightarrow{x} [/mm] $ anwenden:)
[mm] \gdw ||\overrightarrow{x} [/mm] + [mm] \overrightarrow{y}||^2 =\overrightarrow{x}*\overrightarrow{x}+2*\overrightarrow{x}*\overrightarrow{y}+\overrightarrow{y}*\overrightarrow{y}
[/mm]
Weiter komme ich nicht...Ich weiß nicht, wie ich davon ausgehend jetzt auf
[mm] \overrightarrow{x}\cdot{}\overrightarrow{y}=||\overrightarrow{x}||\cdot{}||\overrightarrow{y}||
[/mm]
kommen soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Sa 14.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Die obere Gleichung:
>
> [mm]||\overrightarrow{x}[/mm] + [mm]\overrightarrow{y}||^2 =(||\overrightarrow{x}||[/mm]
> + [mm]||\overrightarrow{y}||)^2[/mm]
>
> Wie ich hier die linke Seite der Gleichung mit der
> Binomischen Formel ausrechnen bzw. vereinfachen soll, ist
> mir unklar
Sorry, war von mir missverständlich formuliert. Das mit der binomischen Formel sollte sich nur auf die rechte Seite beziehen.
> Ich könnte jetzt nur die rechte Seite mit
> der Binomischen Formel umschreiben und mit der
> Skalaproduktregel noch weiter umschreiben:
>
> [mm]||\overrightarrow{x}[/mm] + [mm]\overrightarrow{y}||^2 =(||\overrightarrow{x}||[/mm] + [mm]||\overrightarrow{y}||)^2[/mm]
>
> [mm]\gdw ||\overrightarrow{x}[/mm] + [mm]\overrightarrow{y}||^2 =||\overrightarrow{x}||^2[/mm] + [mm]2*\overrightarrow{x}*\overrightarrow{y}+||\overrightarrow{y}||^2[/mm]
Da fehlen die Doppelstriche um $x$ und $y$ im Term [mm] $2\cdot{}\overrightarrow{x}\cdot{}\overrightarrow{y}$.
[/mm]
> (Skalarproduktregel [mm]\left \| \overrightarrow{x} \right \|^2=\overrightarrow{x}\cdot{}\overrightarrow{x}[/mm] anwenden:)
>
> [mm]\gdw ||\overrightarrow{x}[/mm] + [mm]\overrightarrow{y}||^2 =\overrightarrow{x}*\overrightarrow{x}+2*\overrightarrow{x}*\overrightarrow{y}+\overrightarrow{y}*\overrightarrow{y}[/mm]
>
>
> Weiter komme ich nicht...Ich weiß nicht, wie ich davon
> ausgehend jetzt auf
>
> [mm]\overrightarrow{x}\cdot{}\overrightarrow{y}=||\overrightarrow{x}||\cdot{}||\overrightarrow{y}||[/mm]
> kommen soll...
Wende die genannte Skalarproduktregel auch auf [mm] $||x+y||^2$ [/mm] auf der linken Seite an:
[mm] $||x+y||^2=(x+y)\cdot(x+y)=\ldots$.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Sa 14.04.2012 | | Autor: | Jack159 |
Nach einigen Umformungen erhält man dann am Ende
$ [mm] \overrightarrow{x}\cdot{}\overrightarrow{y}=||\overrightarrow{x}||\cdot{}||\overrightarrow{y}|| [/mm] $
Habs nun auch rausbekommen. Danke euch allen ;)
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