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Hallo Leute,
ich muss bei aufgaben nachprüfen, ob gewisse Abbildungen linear sind oder nicht.
die aufgabe:
f: [mm] \IR^3 \rightarrow \IR^3 [/mm] , f(x,y,z) := (x - y,z,z - y)
Ich weiß zwar dass ich zum prüfen der Linearität zum einen schauen ob Additivität und Homogenität wichtig ist.
Aber wie ich es konkret an dem oben stehenden Beispiel mache, weiß ich leider nicht. Bräauchte dahingehend einige Hinweise, damit ich das zum einen an der Aufgabe hier anwenden kann aber danach übertragunsmäßig auch auf die übrigen aufgaben bei mir übertragen kann.
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Halli hallo!
> die aufgabe:
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> f: [mm]\IR^3 \rightarrow \IR^3[/mm] , f(x,y,z) := (x - y,z,z - y)
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> Ich weiß zwar dass ich zum prüfen der Linearität zum einen
> schauen ob Additivität und Homogenität wichtig ist.
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> Aber wie ich es konkret an dem oben stehenden Beispiel
> mache, weiß ich leider nicht. Bräauchte dahingehend einige
> Hinweise, damit ich das zum einen an der Aufgabe hier
> anwenden kann aber danach übertragunsmäßig auch auf die
> übrigen aufgaben bei mir übertragen kann.
Also ich wills mal versuchen
das erste Kriterium ist: f(x+y)=f(x)+f(y)
in unserem Fall also
[mm] f\vektor{x_{1}+x_{2} \\ y_{1}+y_{2} \\ z_{1}+z_{2}}=\vektor{x_{1}+x_{2}-y_{1}-y_{2} \\ z_{1}+z_{2} \\ z_{1}+z_{2}-y_{1}-y_{2}}=\vektor{x_{1}-y_{1} \\ z_{1} \\ z_{1}-y_{1}}+\vektor{x_{2}-y_{2} \\ z_{2} \\ z_{2}-y_{2}}=f\vektor{x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1}}+f\vektor{x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2}}
[/mm]
Also gilt Kriterium nummer 1
das zweite Kriterium ist: [mm] f(\lambda{x})=\lambda{f(x)}
[/mm]
also
[mm] f\vektor{\lambda{x} \\ \lambda{y} \\ \lambda{z}}=\vektor{\lambda{x}-\lambda{y} \\ \lambda{z} \\ \lambda{z}-\lambda{y}}=\lambda{\vektor{x-y \\ z \\ z-y}}=\lambda{f\vektor{x \\ y \\ z}}
[/mm]
Also gilt auch kriterium nummer 2 und somit ist deine Funktion linear!
Liebe Grüße
Ulrike
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