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| Aufgabe | Ein Vektor [mm]\vec a[/mm] schließt mit der x-Achse den Winkel [mm]\alpha = 60°[/mm], mit der z-Achse den Winkel [mm]\beta = 135°[/mm] und mit der y-Achse einen stumpfen Winkel ein. Seine Länge ist 4.
Wie lautet [mm]\vec a[/mm]? |
[mm]a_x =|\vec a| \cdot cos\alpha = 4 \cdot cos 60° = 2[/mm]
[mm]a_z =|\vec a| \cdot cos\beta = 4 \cdot cos 135° \approx -2.83[/mm]
Ansatz für [mm]\gamma[/mm]:
[mm]cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma=1[/mm]
[mm]1-cos^2\alpha+cos^2\beta=cos^2\gamma[/mm]
[mm]1-cos^2 60°-cos^2 \135°=cos^2\gamma[/mm]
[mm]1-0,25-0,5=cos^2\gamma[/mm]
[mm]0,25=cos^2\gamma[/mm]
[mm]0,5=cos\gamma[/mm] oder [mm]-0,5=cos\gamma[/mm]
-0,5 da der Winkel stumpf ist: [mm]\right\ \gamma=120°[/mm]
eingesetzt in [mm]a_x =|\vec a| \cdot cos\gamma = 4 \cdot cos 120° = -2[/mm]
folgt für [mm]\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -2,83 \end{pmatrix}[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Do 14.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dein Vektor hat och nicht die Länge 4, das kann also nicht sein.
Du suchst folgenden Vektor:
[mm] \vec{a}=\vektor{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}}
[/mm]
Mit den Eigenschaften:
Winkel mit x-Achse: 60°
$$ [mm] \cos(60)=\bruch{\vektor{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}}*\vektor{1\\0\\0}}{\left|\vektor{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}}\right|*\left|\vektor{1\\0\\0}\right|} [/mm] $$
$$ [mm] \gdw \underbrace{\bruch{1}{2}}_{=\cos(60)}=\bruch{a_{1}}{\wurzel{a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²}*1} [/mm] $$
und dem Winkel mit der z-Achse von 135°.
$$ [mm] \cos(135)=\bruch{\vektor{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}}*\vektor{0\\0\\1}}{\left|\vektor{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}}\right|*\left|\vektor{0\\0\\1}\right|} [/mm] $$
$$ [mm] \gdw \underbrace{-\bruch{\wurzel{2}}{2}}_{=\cos(135)}=\bruch{a_{3}}{\wurzel{a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²}*1} [/mm] $$
Und der Länge 4
[mm] \Rightarrow \wurzel{a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²}=4
[/mm]
Jetzt kannst du in den ersten beiden Formeln diesen Wert im Nenner einsetzen, so dass sich ergibt:
[mm] -\bruch{\wurzel{2}}{2}=\bruch{a_{3}}{4}
[/mm]
und [mm] \bruch{1}{2}=\bruch{a_{1}}{4}
[/mm]
Damit kannst du jetzt [mm] a_{1} [/mm] bzw [mm] a_{3} [/mm] bestimmen, und damit dann auch [mm] a_{2} [/mm] (über die Länge)
Marius
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Ich habe also die [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] ausgerechnet und setze die beiden in die Gleichung [mm]\wurzel{a_1^2+a_2^2+a_3^2}=4[/mm] ein.
Ich verstehe dann nicht ganz wo mein Fehler im Ansatz ist (ich bekomme mit dem neuen richtigen Lösungsweg dann für [mm]a_3=3.36[/mm] heraus) und vor allem spielt dann der Winkel irgendwie keine Rolle mehr. Kann mir das einer erklären (ich stehe gerade total auf dem Schlauch)?
(ich bekomme die Gleichung oben nicht richtig formatiert - ich hoffe ihr wisst was ich meine)
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> Ich habe also die [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] ausgerechnet und setze die
> beiden in die Gleichung [mm]\wurzel{a_1^2+a_2^2+a_3^2}=4[/mm] ein.
> Ich verstehe dann nicht ganz wo mein Fehler im Ansatz ist
> (ich bekomme mit dem neuen richtigen Lösungsweg dann für
> [mm]a_3=3.36[/mm] heraus) und vor allem spielt dann der Winkel
> irgendwie keine Rolle mehr. Kann mir das einer erklären
> (ich stehe gerade total auf dem Schlauch)?
>
> (ich bekomme die Gleichung oben nicht richtig formatiert -
> ich hoffe ihr wisst was ich meine)
Hallo,
Du hast zuvor alles richtig gemacht, und der Weg, den Marius Dir vorschlägt, ist im Grunde der, den Du gegangen bist.
Wenn Du nun andere Komponenten herausbekommst, wird das daran liegen, daß Du Dich irgendwo verrechnet hast.
Wie bereits gesagt. es war alles richtig, nur die exakten Werte für den cos und sin einschlägiger Winkel solltest Du auswendig lernen.
Gruß v. Angela
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Alles klar! Hab auch den Rechenfehler beim zweiten Versuch gefunden, vielen Dank ihr beiden!
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> Dein Vektor hat och nicht die Länge 4, das kann also nicht
> sein.
Hallo Marius,
sein Vektor hat die Länge 4 - wenn man bereit ist, den gerundeten cos(134°) zu verzeihen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:07 Do 14.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo ihr beiden:
Sorry, ich habe mich bei der ersten Längenberechnung verrechnet
Marius
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> Ein Vektor [mm]\vec a[/mm] schließt mit der x-Achse den Winkel
> [mm]\alpha = 60°[/mm], mit der z-Achse den Winkel [mm]\beta = 135°[/mm] und
> mit der y-Achse einen stumpfen Winkel ein. Seine Länge ist
> 4.
>
> Wie lautet [mm]\vec a[/mm]?
> [mm]a_x =|\vec a| \cdot cos\alpha = 4 \cdot cos 60° = 2[/mm]
>
> [mm]a_z =|\vec a| \cdot cos\beta = 4 \cdot cos 135° \approx -2.83[/mm]
>
> Ansatz für [mm]\gamma[/mm]:
>
> [mm]cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma=1[/mm]
>
> [mm]1-cos^2\alpha+cos^2\beta=cos^2\gamma[/mm]
>
> [mm]1-cos^2 60°-cos^2 \135°=cos^2\gamma[/mm]
>
> [mm]1-0,25-0,5=cos^2\gamma[/mm]
>
> [mm]0,25=cos^2\gamma[/mm]
>
> [mm]0,5=cos\gamma[/mm] oder [mm]-0,5=cos\gamma[/mm]
>
> -0,5 da der Winkel stumpf ist: [mm]\right\ \gamma=120°[/mm]
>
> eingesetzt in [mm]a_x =|\vec a| \cdot cos\gamma = 4 \cdot cos 120° = -2[/mm]
>
> folgt für [mm]\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -2,83 \end{pmatrix}[/mm]
Hallo,
abgesehen davon, daß Du hier bei so "übersichtlichen" Winkeln nicht mit den gerundeten Werten für den cos arbeiten solltest, ist alles richtig.
[mm] cos(135°)=-\bruch{\wurzel{2}}{2}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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