Vektorrechnung Gerade < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Mi 01.06.2005 | | Autor: | hase-hh |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe folgendes Problem:
Aufgabe: Schargerade gp : x -> (5/2/p) + t (2/0/1)
Berechnen Sie den Winkel alpha, den die Geraden mit der xy-Ebene bilden.
Lösungsversuch:
n = (0/0/1)
u = (2/0/1)
sin alpha = (n . u) /(I n I . I u I)
Stimmt der Ansatz? Warum nicht cos alpha? Verstehe den Zusammenhang nicht! Bitte, wer kann mir das kurz erklären?
xy-Ebene ist die Ebene, die mit den Achsen-Koordinaten (Spurgeraden?)
aufgespannt wird, also (1/0/0) und (0/1/0), richtig?
Spielt das Vektorprodukt hier eine Rolle? Was gäbe das Vektorprodukt an?
Vielen Dank für eure Hilfe!!!
wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Fugre |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Ich habe folgendes Problem:
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> Aufgabe: Schargerade gp : x -> (5/2/p) + t (2/0/1)
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> Berechnen Sie den Winkel alpha, den die Geraden mit der
> xy-Ebene bilden.
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> Lösungsversuch:
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> n = (0/0/1)
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> u = (2/0/1)
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> sin alpha = (n . u) /(I n I . I u I)
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> Stimmt der Ansatz? Warum nicht cos alpha? Verstehe den
> Zusammenhang nicht! Bitte, wer kann mir das kurz erklären?
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> xy-Ebene ist die Ebene, die mit den Achsen-Koordinaten
> (Spurgeraden?)
> aufgespannt wird, also (1/0/0) und (0/1/0), richtig?
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> Spielt das Vektorprodukt hier eine Rolle? Was gäbe das
> Vektorprodukt an?
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> Vielen Dank für eure Hilfe!!!
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> wolfgang
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Hallo Wolfgang,
wenn du diese Formel meinst ist alles richtig:
[mm] $\sin \alpha=\frac{\vec u * \vec n}{|\vec u|*|\vec n|}$
[/mm]
Machen wir es kurz mit deiner Aufgabe.
Aus [mm] $E:\vec x=r*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+s*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}$$
[/mm]
folgt [mm] $E:\vec [/mm] x [mm] \circ \vektor{0 \\ 0 \\ 1}=0$
[/mm]
und die Gerade: [mm] $g_p:\vec x=\vektor{ 5 \\ 2 \\ p} [/mm] + [mm] t*\vektor{2 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
In die Formel eingesetzt:
[mm] $\sin \alpha=\frac{\vektor{2 \\ 0 \\ 1} * \vektor{0 \\ 0 \\ 1}}{|\vektor{2 \\ 0 \\ 1}|*|\vektor{0 \\ 0 \\ 1}|}$
[/mm]
$ [mm] \sin \alpha=\frac{1}{\sqrt5}$
[/mm]
[mm] $\to \alpha \approx [/mm] 26,6°$
Die Frage nach dem Sinus ist berechtigt, man sollte sich einmal das Ganze
vorstellen. Die Gerade, auf der der Normalenvektor der Ebene liegt, schneidet
die Gerade genau $90°$ anders als die Ebene es täte. Da die
Sinuskurve einfach eine verschobene Kosinuskurve ist und folgender
Zusammenhang besteht [mm] $\cos(\alpha)=\sin(\alpha+90^\circ)$, [/mm] kann man
einfach den Sinus benutzen.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein,
so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
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