Vektorunterraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:41 Mo 11.12.2006 | | Autor: | Dally |
| Aufgabe | | Kann ein zweidimensionaler Vektorraum ein Untervektorraum eines dreidimensionalen Vektorraums sein? |
Ich kenne die Kriterien für einen Untervektorraum aber mir ist nicht ganz klar wie ich das übertragen soll.
Ein zweidimensionaler Vektorraum ist abgeschlossen bezüglich der Addition und Multiplikation.
Und ein Nullvektor ist auch da.
Aber ist das der selbe Nullvektor wie im dreidimensionalen Raum? Spielt das eine Rolle oder ist eine Nullvektor immer ein Nullvektor?
Und kann man die Abgeschlossenheit für Addition und Multiplikation einfach so von einem dreidimensionalen in einen zweidimensionalen Raum übertragen?
Ich bin gerade echt verwirrt.
Mfg
Dally
|
|
| |
|
> Kann ein zweidimensionaler Vektorraum ein Untervektorraum
> eines dreidimensionalen Vektorraums sein?
> Ich kenne die Kriterien für einen Untervektorraum aber mir
> ist nicht ganz klar wie ich das übertragen soll.
> Ein zweidimensionaler Vektorraum ist abgeschlossen
> bezüglich der Addition und Multiplikation.
> Und ein Nullvektor ist auch da.
> Aber ist das der selbe Nullvektor wie im dreidimensionalen
> Raum? Spielt das eine Rolle oder ist eine Nullvektor immer
> ein Nullvektor?
Hallo,
stell Dir vor, Du hast einen dreidimensionalen Vektorraum V.
Was bedeutet das? Er hat eine Basis, welche aus drei linear unabhängigen Vektoren [mm] v_1,v_2, v_3 [/mm] besteht. Klar, oder?
Nun nimmst Du Dir die beiden Vektoren [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] her. Sie sind natürlich linear unabhängig. Jetzt guck' Dir den Raum U an, welchen sie erzeugen. Natürlich ist U ein Unterraum von V. Und welche Dimension hat U? Nun, er wird erzeugt von zwei linear unabhängigen Vektoren, also: dim U=2.
Alles ganz einfach, oder?
Ich ahne aber, was Dich verwirrt hat...
Nehmen wir den Raum [mm] \IR^3, [/mm] mit der Basis [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
Es ist der Raum, der von [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] aufgespannt wird, ein zweidimensionaler Unterraum vom [mm] \IR^3. [/mm] Nämlich die "x-y-Ebene" - allerdings betrachtet im [mm] \R^3! [/mm] Die Null dieses Unterraumes ist [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}, [/mm] also die Nul des Ausgangsraumes.
Diese Ebene [mm] <\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}> [/mm] ist nicht gleich [mm] \IR^2, [/mm] sondern isomorph (falls Ihr das hattet) zu [mm] \IR^2.
[/mm]
Es ist also [mm] <\vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1}> [/mm] kein Unterraum von [mm] <\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}>=\IR^3.
[/mm]
Nun bleibt mir nur noch zu hoffen, daß ich a. Deine Frage richtig verstanden habe und ich b. mehr zur Aufklärung als zur Verwirrung beigetragen habe.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:37 Mo 11.12.2006 | | Autor: | Dally |
Ja da hast du richtig getippt. Genau da lag mein Denkfehler.(Hinterher hört sich das alles immer so einfach an)
Ach ja, danke für die schnelle Antwort.
Mfg
Dally
|
|
|
|
