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Hallo zusammen,
es geht um vektorwertige Funktionen [mm]\varphi(t)=\left( \varphi^1(t),\dots,\varphi^n(t) \right)[/mm] von beschränkter Variation, d.h. alle Komponenten sind von beschränkter Variation und
<p style="text-align:center;"> [mm]|\varphi|(t)=\sup\underset{k}{\sum}|\varphi(t_k)-\varphi(t_{k-1})|.[/mm]
In einem paper steht dann, dass offensichtlich folgende Darstellung gilt:
<p style="text-align:center;">[mm]\varphi(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int}}n(s) d|\varphi|(s),[/mm]
wobei [mm]n(s)[/mm] ein Einheitsvektor ist.
Meine Frage:
Wie beweise ich diese Darstellung? Und warum ist [mm]n(s)[/mm] ein Einheitsvektor? Dass [mm]|n(s)|\geq 1[/mm] verstehe ich denke ich, denn angenommen es wäre kleiner als 1, dann kommt (nachdem man die Norm reingezogen hat) der Widerspruch [mm]|\varphi(t)|<|\varphi(t)|[/mm].
Aber wie geht es in die andere Richtung? Und stimmt meine Argumentation überhaupt?
Danke schonmal!
lG Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Mo 03.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
$ [mm] \varphi(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int}}n(s) d|\varphi|(s), [/mm] $
Nach Definition des Riemann-Stiltjes Integrals:
[mm] $\int_0^t [/mm] n(s) [mm] \, d|\varphi|(s) =\lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^{n-1} n(c_i)(|\varphi|(x_{i+1})-|\varphi|(x_i))$
[/mm]
wobei [mm] $(x_i)_{i=0,\ldots n}$ [/mm] eine Zerlegung des Intervalls [0,t] ist und [mm] $c_i$ [/mm] jeweils ein Wert in [mm] $[x_{i+1},x_i]$ [/mm] (alles ganz klassisch Riemann Integral, nur mit [mm] $|\varphi|$ [/mm] gewichtet, statt [mm] $x_{i+1}-x_i$).
[/mm]
Jetzt:
1. [mm] $|\varphi|(x_{i+1})-|\varphi|(x_i) =\sup\sum_{t_0=x_i}^{t_m=x_{i+1}}|\varphi(t_k)-\varphi(t_{k-1})|. [/mm] $
Also wir können die beiden Summen zusammenfassen zu einer (sofern die Grenzwerte existieren, was sie tun, weil [mm] $\varphi$ [/mm] von beschränkter Totalvariation ist)
2. Dasselbe Spielchen dann mit der Def des Integrals, d.h. wir können eine große Summe schreiben:
[mm] $\int_0^t [/mm] n(s) [mm] \, d|\varphi|(s) =\sup \sum_{i=0}^{n-1} n(c_i) |\varphi(x_{i+1})-\varphi(x_i)|$
[/mm]
3. Und jetzt ist es denk ich recht offensichtlich:
[mm] $|\varphi(x_{i+1})-\varphi(x_i)|$ [/mm] ist die Länge des Schritts von [mm] $\varphi(x_i)$ [/mm] nach [mm] $\varphi(x_{i+1})$, [/mm] für [mm] n(c_i) [/mm] nehmen wir also die Richtung, d.h.
[mm] "$n(c_i) |\varphi(x_{i+1})-\varphi(x_i)| [/mm] = [mm] \varphi(x_{i+1})-\varphi(x_i)$"
[/mm]
(die Anführungszeichen, weil das Ganze nur im Grenzwert gelten muß)
[mm] $\int_0^t [/mm] n(s) [mm] \, d|\varphi|(s) =\sup \sum_{i=0}^{n-1}\varphi(x_{i+1})-\varphi(x_i) [/mm] = [mm] \varphi(t)$
[/mm]
ciao
Stefan
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