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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Vektorzerlegung im 4R Raum
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Vektorzerlegung im 4R Raum: Vektorzerlegung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:40 Fr 18.11.2005
Autor: Zaki30

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo Leute,

folgende Aufgabe:

Zerlegen Sie den Vektor  [mm] \vec{d}= \pmat{ 1 & 1 & -3 & 2 } [/mm] in 2 Vektoren [mm] \vec{e} [/mm] und [mm] \vec{f}, [/mm] so dass gilt [mm] \vec{e} [/mm] || [mm] \vec{g} [/mm] und [mm] \vec{f} \perp \vec{g} [/mm] mit  [mm] \vec{g}=\pmat{ 2 & 0 & -2 & 0 }. [/mm]

Ich hab versucht über den Ansatz [mm] \vec{e} \* \vec{g}=0 [/mm] -> Voraussetzung für Kollinearität und
[mm] |\vec{f}+\vec{g}|=|\vec{f}|+|\vec{g}| [/mm] für senkrecht zueinander.

Ich komme dabei aber irgendwie zu keinem vernünftigen Ergebnis.

Gibt es hierfür ein Schema, nach dem man Vorgehen kann?
Ist mein Ansatz überhaupt richtig?

Danke für eure Hilfe
        
Bezug
Vektorzerlegung im 4R Raum: Gleichungssystem
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 Fr 18.11.2005
Autor: Loddar

Hallo Zaki,

[willkommenmr] !!


Deine Ansätze sind leider nicht ganz richtig [notok] ...


Seien [mm] $\vec{e} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{e_1\\e_2\\e_3\\e_4}$ [/mm] und [mm] $\vec{f} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{f_1\\f_2\\f_3\\f_4}$ [/mm] die beiden gesuchten Vektoren.


Dann gilt aufgrund der Zerlegung (d.h. die Addition von [mm] $\vec{e}$ [/mm] und [mm] $\vec{f}$ [/mm] ergibt wieder [mm] $\vec{d}$) [/mm] :

[mm] $e_1 [/mm] + [mm] f_1 [/mm] \ = \ 1$

[mm] $e_2 [/mm] + [mm] f_2 [/mm] \ = \ 1$

[mm] $e_3 [/mm] + [mm] f_3 [/mm] \ = \ -3$

[mm] $e_4 [/mm] + [mm] f_4 [/mm] \ = \ 2$



Da [mm] $\vec{f}$ [/mm] und [mm] $\vec{g}$ [/mm] senkrecht aufeinander stehen sollen:

[mm] $\vec{f} [/mm] * [mm] \vec{g} [/mm] \ = \ [mm] 2*f_1 [/mm] + [mm] 0*f_2 [/mm] - [mm] 2*f_3 [/mm] + [mm] 0*f_4 [/mm] \ = \ [mm] 2f_1 [/mm] - [mm] 2f_2 [/mm] \ =\ 0$    [mm] $\gdw$ $f_1 [/mm] \ = \ [mm] f_3$ [/mm]


Die Parallelität (= lineare Abhängigkeit) von [mm] $\vec{e}$ [/mm] und [mm] $\vec{g}$ [/mm] liefert mit [mm] $\vec{e} [/mm] \ = \ [mm] \lambda*\vec{g}$ [/mm] :

[mm] $e_1 [/mm] \ = \ [mm] 2*\lambda$ [/mm]

[mm] $e_2 [/mm] \ = \ [mm] 0*\lambda [/mm] \ =\ 0$

[mm] $e_3 [/mm] \ = \ [mm] -2*\lambda$ [/mm]

[mm] $e_4 [/mm] \ = \ [mm] 0*\lambda [/mm] \ =\ 0$


Nun musst Du dieses (lineare) Gleichungssystem lösen, das mir auch eine eindeutige Lösung geliefert hat.


Gruß
Loddar

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